戴理文，王勝平

(1.東華理工大學(xué) 測(cè)繪工程學(xué)院，江西 南昌 330013；2.流域生態(tài)與地理環(huán)境監(jiān)測(cè)國(guó)家測(cè)繪地理信息局重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，江西 南昌 330013)

總體最小二乘[1-4]是在最小二乘的基礎(chǔ)上考慮系數(shù)矩陣誤差平差的一種方法，是EIV(Errors-in-Variables)模型的嚴(yán)密估計(jì)方法，總體最小二乘方法得到廣泛的發(fā)展，文獻(xiàn)[5-7]研究一般權(quán)陣下的總體最小二乘的迭代算法；文獻(xiàn)[8-10]研究附有約束條件的總體最小二乘方法；文獻(xiàn)[11]針對(duì)EIV模型系數(shù)矩陣中存在隨機(jī)元素與固定元素的情況，提出Partial EIV(Partial Error-in-Variables)模型，文獻(xiàn)[12]分析總體最小二乘方法的研究進(jìn)展，總結(jié)Partial EIV模型可以提高計(jì)算效率的優(yōu)勢(shì)；文獻(xiàn)[13-14]分別研究不相關(guān)觀測(cè)與相關(guān)觀測(cè)時(shí)的解算方法；文獻(xiàn)[15]推導(dǎo)附有不等式約束的Partial EIV模型解法；文獻(xiàn)[16]推導(dǎo)附有相對(duì)權(quán)比的Partial EIV模型平差方法；相對(duì)于Partial EIV模型，文獻(xiàn)[17]針對(duì)某些特定數(shù)據(jù)的結(jié)構(gòu)，在經(jīng)典通用平差模型的基礎(chǔ)上考慮觀測(cè)量系數(shù)矩陣與參數(shù)系數(shù)矩陣的隨機(jī)誤差，推導(dǎo)通用EIV模型的解算方法。

方差分量估計(jì)[18-20]又稱隨機(jī)模型的驗(yàn)后估計(jì)，由于隨機(jī)模型不確定性進(jìn)而對(duì)權(quán)進(jìn)行修正的方法。文獻(xiàn)[21]分析EIV模型的最小二乘方差分量估計(jì)方法；文獻(xiàn)[22]引入權(quán)修正因子，推導(dǎo)Partial EIV模型的Helmert方差分量估計(jì)；文獻(xiàn)[23]得到Partial EIV模型的非負(fù)最小二乘方差分量估計(jì)。文獻(xiàn)[24]推導(dǎo)EIV模型的最小范數(shù)二次無(wú)偏估計(jì)，分析由參數(shù)估值偏差引起的方差分量估值的偏差，推導(dǎo)方差分量估值偏差的表達(dá)式；文獻(xiàn)[25]推導(dǎo)概括函數(shù)平差模型的通用方差分量估計(jì)。

基于上述分析，本文以通用EIV模型為平差模型，對(duì)公式進(jìn)行轉(zhuǎn)換推導(dǎo)通用EIV模型的方差分量估計(jì)表達(dá)式，通過(guò)算例實(shí)驗(yàn)說(shuō)明本文方法的可行性。

1 通用EIV函數(shù)模型及其解算

通用EIV模型是在經(jīng)典通用平差模型的基礎(chǔ)上考慮觀測(cè)向量的系數(shù)矩陣與參數(shù)的系數(shù)矩陣，固定矩陣推廣到隨機(jī)矩陣，其函數(shù)模型形式為[17]

(B+EB)(y+ey)-(A+EA)x-w=0.

(1)

式中：B和EB為m×n的觀測(cè)向量的系數(shù)矩陣及其改正數(shù)矩陣，y和ey為n×1的觀測(cè)向量及其改正數(shù)誤差，A和EA為m×u的參數(shù)的系數(shù)矩陣及其改正數(shù)矩陣，x為u×1待估參數(shù)，w為m×1常數(shù)向量。

將式(1)展開(kāi)得：

By+Bey+(yT?Im)eB+EBey-

Ax-(xT?Im)eA-w=0.

(2)

上式等價(jià)于：

By-Ax+[YT?In-xT?ImB+EB]

(3)

寫(xiě)成附有參數(shù)的條件平差模型：

By-Ax+CV-w=0.

(4)

其中：

C=[yT?In-xT?InB+EB]，

vec表示矩陣?yán)边\(yùn)算。

因此，通用EIV模型的隨機(jī)模型：

(5)

式中：QB,QA,Qy分別為觀測(cè)向量系數(shù)矩陣?yán)毕蛄?、參?shù)系數(shù)矩陣?yán)毕蛄考坝^測(cè)向量的協(xié)因數(shù)陣，σ2為單位權(quán)方差。

對(duì)通用EIV模型進(jìn)行解算，其殘差平方和最小為準(zhǔn)則為：

(6)

構(gòu)造拉格朗日極值函數(shù)為：

Φ=VTQ-1V+2λT(By-Ax+CV-w).

(7)

對(duì)待估量求一階偏導(dǎo)并令其等于0。

(8)

(9)

(10)

由式(9)得：

(11)

將式(11)代入式(9)和(10)得：

(12)

將式(12)代入式(8)得：

(14)

(15)

由此可以得到觀測(cè)值改正數(shù)為：

(16)

其中：

2 方差分量估計(jì)

考慮到平差前給定的權(quán)不準(zhǔn)確，并且式(5)中三類數(shù)據(jù)定權(quán)時(shí)給定的單位權(quán)方差不相等，即其形式為：

我國(guó)的國(guó)土空間規(guī)劃工作正處于探索階段，在具體的執(zhí)行過(guò)程中還存在著一定的問(wèn)題。這就要求相關(guān)的政府部門(mén)積極借鑒國(guó)外好的經(jīng)驗(yàn)，在“多規(guī)合一”的基礎(chǔ)上對(duì)我國(guó)的空間規(guī)劃體系進(jìn)行優(yōu)化與完善，從而促進(jìn)我國(guó)的相關(guān)規(guī)劃任務(wù)得以順利推行，促進(jìn)國(guó)土空間規(guī)劃體系得到持續(xù)的發(fā)展。

(17)

根據(jù)協(xié)方差傳播律可以得到Δ的方差為：

(18)

此時(shí)，p=3，若觀測(cè)向量系數(shù)矩陣沒(méi)有誤差，eB=0，則p=2，同理，p值隨著其它觀測(cè)量的誤差變化。

本文以最小二乘方差分量估計(jì)方法為例，進(jìn)行公式推導(dǎo)， 根據(jù)式(2)及式(16)可得到：

因此有：

(19)

D(Δ)=E(ΔΔT)=E{RTf(RTf)T}=

(20)

存在向量t=RTf，可得到：

(21)

E{vh(ttT)}=E(yvh)=Avhσ,Wvh.

(22)

式中：σ為由方差分量組成的向量，Wvh為yvh的權(quán)陣：

文獻(xiàn)[20]給出了vec與vh之間的關(guān)系，對(duì)任意一個(gè)對(duì)稱矩陣G存在vec(G)=Dvh(G)，其中矩陣是列滿秩矩陣且滿足Wvh=DT(Wt?Wt)D，其中Wt表示向量t的權(quán)陣。

對(duì)式(22)進(jìn)行最小二乘解算，其準(zhǔn)則為：

(23)

進(jìn)而得到方差分量估值的表達(dá)式為：

(24)

文獻(xiàn)[20-21]通過(guò)轉(zhuǎn)換，得到法矩陣N和列向量K的形式為：

(25)

其中：

計(jì)算得到方差分量估值。

3 算例分析

本文算例采用文獻(xiàn)[21]中的直線擬合數(shù)據(jù)，其具體數(shù)據(jù)如表1所示。

表1 坐標(biāo)觀測(cè)值及相應(yīng)的權(quán)值

由于通用EIV模型中涉及觀測(cè)向量系數(shù)矩陣的誤差，若假設(shè)觀測(cè)向量系數(shù)矩陣沒(méi)有誤差時(shí)，直線擬合模型為：

(26)

[ξ1,ξ2]T為待估參數(shù)，直線擬合模型是常見(jiàn)的含有非隨機(jī)元素與隨機(jī)元素的模型，在使用Partial EIV模型進(jìn)行解算時(shí)還需要給出向量h和固定矩陣B，由式(26)可知，向量h和矩陣B的形式為：

(27)

表2 不同方法的解算結(jié)果

圖1 方差分量估值變化圖

4 結(jié)果分析

1)考慮更具有一般性的通用EIV模型，在平差解算之后進(jìn)行方差分量估計(jì)的公式推導(dǎo)，得到方差分量估計(jì)的一般表達(dá)式；

2)從表2可以看出，當(dāng)不考慮通用EIV模型觀測(cè)向量系數(shù)矩陣的誤差時(shí)，該方法退化為普通EIV模型形式，解算得到的結(jié)果與已有文獻(xiàn)結(jié)果相同，得到不同類觀測(cè)數(shù)據(jù)的方差分量估值，不失一般性；

3)本文在將通用EIV模型轉(zhuǎn)換為附有參數(shù)的條件平差模型再進(jìn)行方差分量估計(jì)，其形式簡(jiǎn)單，更易理解。

5 結(jié)束語(yǔ)

在應(yīng)用方面，某些特定數(shù)據(jù)在一定條件下更適用于通用EIV模型，其形式上類似與概括函數(shù)平差模型，不過(guò)此時(shí)是考慮所有可能含有觀測(cè)向量的隨機(jī)誤差，其模型更具有適用性；在通用EIV模型平差解算的基礎(chǔ)上，本文考慮方差分量估計(jì)的解算，進(jìn)一步完善通用EIV模型的發(fā)展，算例實(shí)驗(yàn)說(shuō)明通用EIV模型的一般性，得到與已有方法相同的參數(shù)估值與方差分量估值，進(jìn)一步完善測(cè)量平差理論。