陳 寧,關(guān)博文,海智剛

(沈陽(yáng)建筑大學(xué) 信息與控制工程學(xué)院,沈陽(yáng) 110168)

1 引 言

2 IFS定義與f(z)=zn+cz的數(shù)學(xué)特性

2.1 線性IFS的定義

平面上生成分形的迭代函數(shù)系(IFS),通常由兩個(gè)或兩個(gè)以上的線性仿射壓縮變換組成.文獻(xiàn)[4]給出了平面上IFS的定義:在歐氏空間(R2,ρE)上的一組線性壓縮映射ωn:R2→R2,n=1,2,…,N,構(gòu)成了一個(gè)IFS,其中:

ωn(x,y)=(anx+bny+en,cnx+dny+fn),n=1,2,…,N

(1)

式(1)中的(x,y)為平面上的點(diǎn)的橫向和縱向坐標(biāo);an,bn,cn,dn,en,fn∈R1為實(shí)數(shù).

文獻(xiàn)[4]指出式(1)必須滿足3個(gè)壓縮條件:an2+cn2< 1,bn2+dn2< 1和an2+bn2+cn2+dn2<(andn-cnbn)2,才是一個(gè)可以生成分形的有效IFS.

在研究中筆者注意到:由于上述IFS中每個(gè)變換都是平面上的壓縮變換,且每個(gè)壓縮變換的吸引域都是除無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)外的整張平面,這些變換在動(dòng)力平面上的公共吸引域與IFS中單個(gè)變換的吸引域相同.因此,IFS的分形或其近似分形可以通過(guò)選取平面上的任意有界閉集作為初始迭代集,也可以從平面上的任意有界點(diǎn)作為初始迭代點(diǎn),通過(guò)隨機(jī)迭代得到分形或其近似值.

2.2 復(fù)映射f(z)=zn+cz的數(shù)學(xué)特性

動(dòng)力平面上的原點(diǎn)(0,0)是復(fù)映射族f(z)=zn+cz的不動(dòng)點(diǎn).由于復(fù)映射的1階導(dǎo)數(shù)為f′(z)=nzn-1+c,所以,當(dāng)|c|<1時(shí),點(diǎn)(0,0)是復(fù)映射的吸引不動(dòng)點(diǎn);當(dāng)|c|>1時(shí),點(diǎn)(0,0)是復(fù)映射的排斥不動(dòng)點(diǎn).如果該映射當(dāng)|c|>1時(shí)有非零不動(dòng)點(diǎn)f(pj)=pj,則取:

(2)

使:

即復(fù)映射f(z)=zn+cz有n-1個(gè)旋轉(zhuǎn)對(duì)稱不動(dòng)點(diǎn).由于動(dòng)力平面上的復(fù)映射f(z)=zn+cz的極值點(diǎn)zc為其1階導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn),使f′(zc)=0,有:

(3)

式(3)表明,與復(fù)映射f(z)=zn+c只有1個(gè)極值點(diǎn)不同,復(fù)映射f(z)=zn+cz在動(dòng)力平面上有n-1個(gè)旋轉(zhuǎn)對(duì)稱的極值點(diǎn).

3 復(fù)映射f(z)=zn+cz的M集與充滿Julia集

圖1 復(fù)映射族f(z)=zn+cz的M集Fig.1 M sets of the complex mapping family of f(z)=zn+cz

易于證明復(fù)映射族f(z)=zn+cz在動(dòng)力平面上是n-1旋轉(zhuǎn)對(duì)稱的,因此,相應(yīng)的充滿Julia集在動(dòng)力平面上也是n-1旋轉(zhuǎn)對(duì)稱的.圖2說(shuō)明在圖1的M集各圖中取參數(shù)構(gòu)造出的充滿Julia集圖形是在原點(diǎn)處分叉的.復(fù)映射族f(z)=zn+cz的充滿Julia集圖形結(jié)構(gòu)與參數(shù)在M集上的幾何對(duì)稱位置有關(guān).雖然對(duì)稱位置上參數(shù)的迭代映射的吸引周期軌道條數(shù)不同,但吸引周期點(diǎn)的“總和”p相同,所以,這些參數(shù)下的充滿Julia集除了相差旋轉(zhuǎn)角度以外,他們的充滿Julia集的圖形結(jié)構(gòu)是完全相同的,如圖2(a)與圖2(b)、圖2(d)與圖2(e)以及圖2(h)與圖2(i)所示.在復(fù)映射族f(z)=zn+czM集的芽苞上的芽苞區(qū)域選取參數(shù)c,相應(yīng)的充滿Julia集有多級(jí)分叉結(jié)構(gòu),如圖2(c)與圖2(f)所示.圖2(g)是M集上A序列周期芽苞參數(shù)的充滿Julia集.

在圖1所表示的復(fù)映射族f(z)=zn+cz的每一個(gè)M集中,均有2個(gè)1周期參數(shù)區(qū)域:1個(gè)是以原點(diǎn)為中心的“1_1”參數(shù)區(qū)域,另一個(gè)是中心在正實(shí)軸上的“(n-1)_1”參數(shù)區(qū)域.由構(gòu)造M集時(shí)參數(shù)區(qū)域的標(biāo)記方法可知,采用1_1區(qū)域中參數(shù)c構(gòu)造的迭代映射,在動(dòng)力平面上只有1個(gè)吸引周期不動(dòng)點(diǎn),通過(guò)式(3)計(jì)算的(n-1)個(gè)極值點(diǎn)的軌道都到達(dá)原點(diǎn)(0,0).由前面討論得到1_1區(qū)域中的參數(shù)|c|<1,且充滿Julia集的幾何特點(diǎn)是包含原點(diǎn)在內(nèi)的并以原點(diǎn)為中心的(n-1)旋轉(zhuǎn)對(duì)稱實(shí)心區(qū)域.圖3(a)表示了n=4時(shí),在圖1bM集的1_1區(qū)域取參數(shù)c3時(shí),動(dòng)力平面上的充滿Julia集,以及根據(jù)式(3)計(jì)算出的3個(gè)極值點(diǎn)迭代到吸引不動(dòng)點(diǎn)(0,0)的軌道,充滿Julia集的幾何特點(diǎn)是以原點(diǎn)為中心的3旋轉(zhuǎn)對(duì)稱實(shí)心結(jié)構(gòu).

如果在正實(shí)軸上的“(n-1)_1”芽苞區(qū)域選取參數(shù)c構(gòu)造迭代映射f(z)=zn+cz,這個(gè)區(qū)域中參數(shù)下的映射在動(dòng)力平面上有(n-1)個(gè)旋轉(zhuǎn)對(duì)稱分布的1周期吸引不動(dòng)點(diǎn)(pj,j=0,1,2,…,n-2),可以通過(guò)式(2)直接計(jì)算得到,也可以通過(guò)式(3)的(n-1)個(gè)旋轉(zhuǎn)對(duì)稱分布的極值點(diǎn)(zcj,j=0,1,…,n-2)的迭代得到(如圖3(b)和圖3(c)所示).(n-1)個(gè)吸引不動(dòng)點(diǎn)在動(dòng)力平面上有(n-1)個(gè)旋轉(zhuǎn)對(duì)稱分布的吸引域,形成在原點(diǎn)處有(n-1)個(gè)旋轉(zhuǎn)對(duì)稱分叉的充滿 Julia集圖形結(jié)構(gòu).由于這個(gè)參數(shù)區(qū)域的參數(shù)模值大于1,所以原點(diǎn)是這個(gè)迭代映射的斥性不動(dòng)點(diǎn),是充滿Julia集的邊界上的(n-1)個(gè)旋轉(zhuǎn)對(duì)稱分布吸引域的邊界的交點(diǎn).圖3(b)和圖3(c)分別為取自圖1(b)中的n=4 M集的3_1周期芽苞上的參數(shù)c4和c5的迭代映射在動(dòng)力平面上的充滿Julia集圖形,3種顏色分別代表迭代映射的3個(gè)吸引不動(dòng)點(diǎn)的吸引域,每個(gè)吸引域上給出了極值點(diǎn)zcj、吸引不動(dòng)點(diǎn)pj以及從zcj到pj的迭代軌道.

圖2 復(fù)映射f(z)=zn+cz的充滿Julia集及其軌道Fig.2 Filled-in Julia sets and the orbits of f(z)=zn+cz

圖3 在復(fù)映射f(z)=z4+cz M集的″1_1″與″3_1″周期芽苞區(qū)域中選取參數(shù)生成的充滿Julia集及3個(gè)極值點(diǎn)的迭代軌道、吸引不動(dòng)點(diǎn)Fig.3 Filled-in Julia set, 3 iterating orbits and 3 attracting fixed points respectively from the 3 parameters chosen from the ″1_1″and″3_1″cycle bud regions of the M set of f(z)=z4+cz

4 構(gòu)造復(fù)映射族 f(z)=zn+cz IFS及分形

如前所述,復(fù)映射族f(z)=zn+cz的M集上有2個(gè)可以構(gòu)造具有吸引不動(dòng)點(diǎn)迭代映射的參數(shù)區(qū)域“1_1”和“(n-1)_1”,但是可以構(gòu)造分形的有效IFS的參數(shù)區(qū)域是“(n-1)_1”.雖然在“1_1”參數(shù)區(qū)域選取參數(shù)可以在動(dòng)力平面上構(gòu)造出具有吸引不動(dòng)點(diǎn)的充滿Julia集,但是如果在“1_1”參數(shù)區(qū)域選取N個(gè)參數(shù)構(gòu)造IFS,由于IFS中的所有N個(gè)迭代映射的吸引不動(dòng)點(diǎn)都是原點(diǎn)(0,0),而且原點(diǎn)是復(fù)映射族f(z)=zn+cz的零點(diǎn),所以無(wú)論怎樣隨機(jī)挑選IFS中的迭代映射去迭代吸引不動(dòng)點(diǎn)(0,0),迭代軌道永遠(yuǎn)停留在原點(diǎn)(0,0)處,即M集的“1_1”參數(shù)區(qū)域不能用于有效構(gòu)造IFS.

圖4 在復(fù)映射f(z)=z4+cz的M集的3_1芽苞區(qū)域選參數(shù)構(gòu)造分形Fig.4 Construction of the fractal from f(z)=z4+cz with the parameters chosen on the 3_1 cycle bud region in the M set

圖5是n=3,4,5,6時(shí),放大圖1中的各“(n_1)_1”芽苞參數(shù)區(qū)域的M集圖形.圖6是采用上述算法,分別由圖5中各圖的參數(shù)且N=2或3或4時(shí),由復(fù)映射f(z)=zn+cz構(gòu)造的非線性IFS的n-1旋轉(zhuǎn)對(duì)稱分形圖的一個(gè)旋轉(zhuǎn)對(duì)稱部分的放大分形圖.

圖5 復(fù)映射族f(z)=zn+cz M集的(n-1)_1芽苞區(qū)域放大圖Fig.5 Enlargement of the (n-1)_1 cycle bud region of the M sets of f(z)=zn+cz

5 結(jié) 語(yǔ)

單參復(fù)映射族f(z)=zn+cz具有(n-1)個(gè)極值點(diǎn),在參數(shù)平面上的M集由考察參數(shù)下相應(yīng)迭代映射的(n-1)個(gè)極值點(diǎn)的迭代軌道有界構(gòu)造.用符號(hào) “number1_number2”表示M集1個(gè)周期芽苞參數(shù)區(qū)域中的所有參數(shù)都可以在動(dòng)力平面上構(gòu)造出具有number1條number2吸引周期軌道的迭代映射.

該映射族的M集在對(duì)稱位置參數(shù)下的迭代映射在動(dòng)力平面上的動(dòng)力學(xué)特性可以不同,但是這些迭代映射所有吸引周期軌道的吸引周期點(diǎn)的“總和”相同,其充滿Julia集圖形結(jié)構(gòu)相同.

圖6 來(lái)自復(fù)映射族f(z)=zn+cz的分形Fig.6 Fractals from the f(z)=zn+cz

該映射族在n≥3時(shí)的M集中有2個(gè)1周期參數(shù)區(qū)域:包含原點(diǎn)(0,0)的單位圓區(qū)域“1_1”和正實(shí)軸上的單位圓外的區(qū)域“(n_1)_1”.

由于“1_1”區(qū)域中的參數(shù)|c|<1,相應(yīng)迭代映射的(n-1)個(gè)極值點(diǎn)的迭代軌道都被吸引不動(dòng)點(diǎn)(0,0)吸引,所以,在這個(gè)區(qū)域選取N(N≥2)個(gè)參數(shù)構(gòu)造不出有效的IFS.

如果在“(n_1)_1”參數(shù)區(qū)域選取N個(gè)參數(shù)構(gòu)造迭代映射,由于|c|>1,原點(diǎn)(0,0)退化成斥性不動(dòng)點(diǎn),而(n-1)個(gè)極值點(diǎn)的迭代軌道被(n-1)個(gè)旋轉(zhuǎn)對(duì)稱分布的吸引不動(dòng)點(diǎn)吸引,所以,N個(gè)迭代映射的充滿Julia集均是以原點(diǎn)(0,0)為交匯點(diǎn)的(n-1)個(gè)旋轉(zhuǎn)對(duì)稱分叉圖形.如果N個(gè)迭代映射的N(n-1)個(gè)吸引不動(dòng)點(diǎn)在N個(gè)充滿Julia集的公共吸引域X內(nèi),則N個(gè)迭代映射構(gòu)成了非線性IFS:{X,f(z)=zn+ciz,i=1,2,…,N}.

利用本文提出的雙隨機(jī)迭代法可以大量構(gòu)造來(lái)自于復(fù)映射族f(z)=zn+cz的具有(n-1)旋轉(zhuǎn)對(duì)稱分形.