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        ?

        逆向算子Heinz均值不等式*

        2019-06-05 07:27:02
        關(guān)鍵詞:符號(hào)

        宋 園

        (滁州職業(yè)技術(shù)學(xué)院,安徽 滁州 239000)

        1 符號(hào)說(shuō)明

        用B(H)表示可分Hilbert空間H上的所有有界線性算子生成的代數(shù).設(shè)A,B∈B(H)是可逆正算子且v∈[0,1],則A,B的加權(quán)算術(shù)均值、加權(quán)幾何均值和Heinz均值分別為

        2 問(wèn)題的提出

        T Furuta等[1]證明了

        A#vB≤AvB.

        (1)

        由(1)式可得Heinz均值不等式

        (2)

        M Tominaga[2]證明了逆向算子Young不等式:設(shè)A,B∈B(H),0

        AvB≤S(h)A#vB,

        (3)

        (4)

        (5)

        對(duì)于A,B,當(dāng)0≤p≤1時(shí),

        A≥B?Ap≥Bp;

        (6)

        而當(dāng)p>1時(shí),(6)式不一定成立.

        更多關(guān)于Young不等式和Heinz不等式可參看文獻(xiàn)[4-8].筆者將研究逆向算子Heinz均值不等式(5)的平方次冪和高次冪是否成立.

        3 主要結(jié)果及其證明

        證明由引理1,有

        證畢.

        引理4[10]設(shè)A,B∈B(H)是可逆正算子且r≥1,則‖Ar+Br‖≤‖(A+B)r‖.

        定理 1設(shè)A,B∈B(H)是可逆正算子且0

        (7)

        (M-A)(m-A)A-1=A+mMA-1-m-M≤0,

        (M-B)(m-B)B-1=B+mMB-1-m-M≤0,

        A+mMA-1≤m+M,

        (8)

        B+mMB-1≤m+M.

        (9)

        由引理3、引理2,以及(2),(8),(9)式可得

        定理2設(shè)A,B∈B(H)是可逆正算子且0

        (10)

        (11)

        由引理3、引理4,以及(7),(11)式可得

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