宋 園

(滁州職業(yè)技術(shù)學(xué)院，安徽 滁州 239000)

1 符號(hào)說(shuō)明

用B(H)表示可分Hilbert空間H上的所有有界線性算子生成的代數(shù).設(shè)A,B∈B(H)是可逆正算子且v∈[0,1]，則A,B的加權(quán)算術(shù)均值、加權(quán)幾何均值和Heinz均值分別為

2 問(wèn)題的提出

T Furuta等[1]證明了

A#vB≤AvB.

(1)

由(1)式可得Heinz均值不等式

(2)

M Tominaga[2]證明了逆向算子Young不等式：設(shè)A,B∈B(H)，0

AvB≤S(h)A#vB，

(3)

(4)

(5)

對(duì)于A,B，當(dāng)0≤p≤1時(shí)，

A≥B?Ap≥Bp；

(6)

而當(dāng)p>1時(shí)，(6)式不一定成立.

更多關(guān)于Young不等式和Heinz不等式可參看文獻(xiàn)[4-8].筆者將研究逆向算子Heinz均值不等式(5)的平方次冪和高次冪是否成立.

3 主要結(jié)果及其證明

證明由引理1，有

證畢.

引理4[10]設(shè)A,B∈B(H)是可逆正算子且r≥1，則‖Ar+Br‖≤‖(A+B)r‖.

定理 1設(shè)A,B∈B(H)是可逆正算子且0

(7)

(M-A)(m-A)A-1=A+mMA-1-m-M≤0，

(M-B)(m-B)B-1=B+mMB-1-m-M≤0，

即

A+mMA-1≤m+M，

(8)

B+mMB-1≤m+M.

(9)

由引理3、引理2，以及(2)，(8)，(9)式可得

定理2設(shè)A,B∈B(H)是可逆正算子且0

(10)

(11)

由引理3、引理4，以及(7)，(11)式可得