宋 園
(滁州職業(yè)技術(shù)學(xué)院,安徽 滁州 239000)
用B(H)表示可分Hilbert空間H上的所有有界線性算子生成的代數(shù).設(shè)A,B∈B(H)是可逆正算子且v∈[0,1],則A,B的加權(quán)算術(shù)均值、加權(quán)幾何均值和Heinz均值分別為
T Furuta等[1]證明了
A#vB≤AvB.
(1)
由(1)式可得Heinz均值不等式
(2)
M Tominaga[2]證明了逆向算子Young不等式:設(shè)A,B∈B(H),0 AvB≤S(h)A#vB, (3) (4) (5) 對(duì)于A,B,當(dāng)0≤p≤1時(shí), A≥B?Ap≥Bp; (6) 而當(dāng)p>1時(shí),(6)式不一定成立. 更多關(guān)于Young不等式和Heinz不等式可參看文獻(xiàn)[4-8].筆者將研究逆向算子Heinz均值不等式(5)的平方次冪和高次冪是否成立. 證明由引理1,有 證畢. 引理4[10]設(shè)A,B∈B(H)是可逆正算子且r≥1,則‖Ar+Br‖≤‖(A+B)r‖. 定理 1設(shè)A,B∈B(H)是可逆正算子且0 (7) (M-A)(m-A)A-1=A+mMA-1-m-M≤0, (M-B)(m-B)B-1=B+mMB-1-m-M≤0, 即 A+mMA-1≤m+M, (8) B+mMB-1≤m+M. (9) 由引理3、引理2,以及(2),(8),(9)式可得 定理2設(shè)A,B∈B(H)是可逆正算子且0 (10) (11) 由引理3、引理4,以及(7),(11)式可得3 主要結(jié)果及其證明