彭云夢，鐘文勇

(吉首大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，湖南 吉首 416000)

1 問題的提出

分?jǐn)?shù)階微分方程是指含有分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的方程，它起源于物理學(xué)、人口動力學(xué)和經(jīng)濟(jì)學(xué)等研究領(lǐng)域,是人們理解現(xiàn)實(shí)世界數(shù)學(xué)模型的重要工具[1].與經(jīng)典分析類似,分?jǐn)?shù)階微分方程有分?jǐn)?shù)階常微分方程、分?jǐn)?shù)階偏微分方程、分?jǐn)?shù)階泛函微分方程和分?jǐn)?shù)階積分方程等.分?jǐn)?shù)階微積分和分?jǐn)?shù)階微分方程之所以能迅速發(fā)展,主要是因?yàn)樗鼈儾粩鄶U(kuò)展的廣闊的應(yīng)用前景[2].近年來，新定義下的分?jǐn)?shù)階微分問題成為國內(nèi)外學(xué)者研究的一個熱門問題.Ricardo Almeida等[3]研究了相對于另一個函數(shù)的Caputo型分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)意義下局部初值問題解的唯一性和存在性；Gaston M N'Guérékata[4]研究了Riemann-Liouville分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)意義下非局部初值問題解的唯一性和存在性；鐘文勇等[5]研究了一類非線性分?jǐn)?shù)階微分方程非局部邊值問題解的唯一性和存在性.對于非局部初值問題

(1)

2 預(yù)備知識

文中假設(shè)階數(shù)α為正數(shù)，用C=C[a,b]表示定義在[a,b]上的所有實(shí)值連續(xù)函數(shù)構(gòu)成的Banach空間(該空間中的范數(shù)用‖·‖表示),Ck[a,b]表示[a,b]上具有直到k階連續(xù)導(dǎo)數(shù)的實(shí)值函數(shù)全體.

定義1[6]定義于區(qū)間[a,b]的實(shí)值函數(shù)x相對于另一個函數(shù)ψ的α階Riemann-Liouville分?jǐn)?shù)階積分

其中：函數(shù)ψ:[a,b]→R為遞增函數(shù)；對于?t≥a，都有ψ′(x)≠0.

定義2[3]定義于區(qū)間[a,b]的實(shí)值函數(shù)x相對于另一個函數(shù)ψ的α階Riemann-Liouville分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)

其中n=[α]+1,[α]表示α的整數(shù)部分.

定義3[3]設(shè)函數(shù)x∈Cn-1[a,b],則x的α階ψ-Caputo分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)

引理2[3]若函數(shù)x∈Cn-1[a,b],則

引理3[4](Krasnoselkii定理) 設(shè)M是Banach空間X中的一個非空閉凸子集.假設(shè)算子A,B滿足以下條件:(ⅰ)對于?x,y∈M,均有Ax+By∈M；(ⅱ)A是緊的且連續(xù)；(ⅲ)B是壓縮映射.那么,存在z∈M,使得z=Az+Bz.

引理4[7](Banach不動點(diǎn)定理) 完備的度量空間中的壓縮映照必然有唯一的不動點(diǎn).

引理5[7](Arzela-Ascoli定理)C[a,b]中有界的等度連續(xù)函數(shù)族必是致密集.

3 主要結(jié)果及其證明

先作以下假設(shè)：

(H1)函數(shù)f:[a,b]×R→R是連續(xù)的二元函數(shù);

(H2)f(t,x)關(guān)于第二變元滿足Lipschitz條件,即存在正常數(shù)L,使得|f(t,x1)-f(t,x2)|≤L|x1-x2|,對于?t∈[a,b],x1,x2∈R都成立;

(H4)對于?(t,x)∈[a,b]×R,都有|f(t,x)|≤q(t),其中q∈C([a,b],R+).

首先證明分?jǐn)?shù)階Cauchy問題(1)與Volterra積分方程之間的等價關(guān)系.

定義4若函數(shù)x∈C[a,b]且滿足問題(1),則稱它為問題(1)的一個解.

定理1函數(shù)x∈C[a,b]是問題(1)的解,當(dāng)且僅當(dāng)x滿足以下分?jǐn)?shù)階積分方程：

(2)

(3)

根據(jù)引理2可知,當(dāng)α∈(0,1)時,

(4)

(3),(4)式聯(lián)立,得到

利用初值條件x(a)+g(x)=xa,即得方程(2).

接著給出分?jǐn)?shù)階Cauchy問題(1)解的唯一性和存在性的充分條件.

證明定義算子F:C→C，

首先證明F定義是適當(dāng)?shù)?即F(Hr)?Hr,其中Hr∶={x∈C|‖x‖≤r}.對于x∈Hr,由假設(shè)(H2)和F的定義可知，

接下來證明F是壓縮的.給定x1,x2∈Hr,由假設(shè)(H2)和(H3)，有

定理3若假設(shè)(H1)—(H4)成立,則問題(1)在區(qū)間[a,b]上至少存在1個解.

(Bx)(t)∶=xa-g(x).

由假設(shè)(H1)和(H4)，可得不等式

即當(dāng)x,y∈Hr時,Ax+By∈Hr.

接下來證明B是壓縮映射.由B的定義可得‖(Bx)(t)‖≤|xa|+G≤r,因此B的定義是適當(dāng)?shù)?即B(Hr)?Hr.并且,當(dāng)x,y∈Hr時，由假設(shè)(H3)，有

|(Bx)(t)-(By)(t)|≤|g(x)-g(y)|≤p‖x-y‖，

即‖Bx-By‖≤p‖x-y‖,因此B是壓縮映照.

最后,分3步證明A是緊映射.

(ⅰ)A是連續(xù)的.假設(shè)U中的xn是收斂于x的序列.由假設(shè)(H2)和A的定義，可得

(ⅱ)將Hr中的有界集映射到有界集.給定x∈Hr,由A的定義和假設(shè)(H4),有

所以A是一致有界的.

(ⅲ)(Ax)(t)是等度連續(xù)的.因?yàn)檫B續(xù)函數(shù)f在緊集[a,b]×{x:|x|≤r,x∈R}上是有界的,所以定義d0∶=sup{|f(t,x)|:t∈[a,b],|x|≤r,x∈R}.假設(shè)t1,t2∈[a,b],t1

由中值定理和函數(shù)u(t)(u(t)=tα,0<α<1)在[a,b]上一致連續(xù)可知，(Ax)(t)是等度連續(xù)的.

由A是緊映射和Arzela-Ascoli定理可知，A是全連續(xù)的.由引理3可知，至少存在1個z∈Hr,滿足z=Az+Bz,即問題(1)在區(qū)間[a,b]上至少存在1個解.

定理3去掉了對Lipschitz常數(shù)L的限制,給出了問題(1)至少存在1個解的充分條件.