吳和成，胡琳

（南京航空航天大學(xué) 經(jīng)濟(jì)與管理學(xué)院，南京 211106）

通常在產(chǎn)品設(shè)計(jì)定型或鑒定時(shí)，需要定量評(píng)估產(chǎn)品的可靠性水平，以確認(rèn)其是否符合研制要求[1]。某些體積較大或質(zhì)量較大的產(chǎn)品，受試驗(yàn)條件和經(jīng)費(fèi)的限制，一般無(wú)法進(jìn)行可靠性鑒定試驗(yàn)，因此需要找到工程上更實(shí)用的評(píng)估方法。

實(shí)際上，產(chǎn)品在研制階段進(jìn)行了很多次可靠性試驗(yàn)，其在試驗(yàn)過(guò)程中出現(xiàn)的故障也采用與正規(guī)的可靠性增長(zhǎng)試驗(yàn)相同的程序來(lái)糾正[2]。在此過(guò)程中，產(chǎn)品的可靠性不斷提高，此為變母體的過(guò)程。又由于產(chǎn)品在研制過(guò)程中經(jīng)歷的試驗(yàn)項(xiàng)目均在不同環(huán)境下完成，因此其又是變環(huán)境的試驗(yàn)過(guò)程。事實(shí)上，產(chǎn)品的研制試驗(yàn)數(shù)據(jù)包含了產(chǎn)品的可靠性信息，因此充分利用此類信息進(jìn)行可靠性評(píng)估是可行的[3]。此外，在可靠性增長(zhǎng)評(píng)估中，為提高評(píng)估結(jié)果的可信度，文獻(xiàn)中多采用擴(kuò)大樣本量的方法[4-7]。文中通過(guò)利用被評(píng)估產(chǎn)品的同類或相似產(chǎn)品的研制數(shù)據(jù)，以提高可靠性綜合評(píng)估精度。

由于產(chǎn)品及其同類或相似產(chǎn)品在研制階段獲取的試驗(yàn)數(shù)據(jù)所具有的變母體、變環(huán)境的特性不符合可靠性增長(zhǎng)統(tǒng)計(jì)分析模型的前提假設(shè)，因此為了利用研制試驗(yàn)數(shù)據(jù)來(lái)評(píng)估產(chǎn)品的可靠性，首要應(yīng)解決各種試驗(yàn)的數(shù)據(jù)在可靠性增長(zhǎng)模型前提下的折合問(wèn)題。Duane模型和 AMSAA模型為常用的可靠性增長(zhǎng)模型，在進(jìn)行可靠性評(píng)估時(shí)Duane模型只能給出MTBF的點(diǎn)估計(jì)[8-13]，而AMSAA模型克服了這一缺點(diǎn)。因此，文中主要研究在 AMSAA模型前提下，產(chǎn)品研制階段試驗(yàn)數(shù)據(jù)的折合問(wèn)題。時(shí)間環(huán)境折合系數(shù)的求解可以表示為具有多約束極小形式的最優(yōu)化過(guò)程，而在此過(guò)程中，最重要的是優(yōu)化準(zhǔn)則的選取。文獻(xiàn)中常用的優(yōu)化準(zhǔn)則為：擬合優(yōu)度檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的均值最小[14-16]。此準(zhǔn)則只考慮了均值這單一因素，具有片面性。文中選取擬合優(yōu)度檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的離散系數(shù)最小作為優(yōu)化準(zhǔn)則，其含義是當(dāng)各產(chǎn)品的擬合優(yōu)度檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量變異性最小時(shí)，運(yùn)算出的環(huán)境折合系數(shù)即為所求的解[17]。文中提出的方法綜合利用了均值和標(biāo)準(zhǔn)差信息，經(jīng)過(guò)試驗(yàn)數(shù)據(jù)驗(yàn)算，符合工程實(shí)際，是一個(gè)可取的優(yōu)化準(zhǔn)則，進(jìn)而可進(jìn)一步求解產(chǎn)品設(shè)計(jì)定型時(shí)MTBF的點(diǎn)估計(jì)、置信區(qū)間和單側(cè)置信下限。

1 時(shí)間環(huán)境折合系數(shù)的求解

為了利用產(chǎn)品研制階段的試驗(yàn)數(shù)據(jù)求解其定型時(shí) MTBF的點(diǎn)估計(jì)、置信區(qū)間和單側(cè)置信下限，需先求解時(shí)間環(huán)境折合系數(shù)。

1.1 前提假設(shè)

利用產(chǎn)品研制試驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行可靠性綜合評(píng)估有以下假設(shè)：

1）產(chǎn)品經(jīng)歷的可靠性增長(zhǎng)過(guò)程是變母體和變環(huán)境的。

2）產(chǎn)品及其同類或相似產(chǎn)品經(jīng)歷的改進(jìn)均屬于即時(shí)改進(jìn)類型。

3）用時(shí)間環(huán)境折合系數(shù)kij表示產(chǎn)品經(jīng)歷的所有試驗(yàn)所具有的環(huán)境應(yīng)力變動(dòng)（i表示產(chǎn)品的編號(hào)，j代表產(chǎn)品 i所經(jīng)歷的試驗(yàn)項(xiàng)目），時(shí)間環(huán)境折合系數(shù)可以將各種研制試驗(yàn)環(huán)境應(yīng)力下的試驗(yàn)時(shí)間轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)使用環(huán)境下的試驗(yàn)時(shí)間。即第i個(gè)產(chǎn)品的第q次故障的試驗(yàn)時(shí)間tiq通過(guò)kij進(jìn)行折合后為tiq·kij，表示該產(chǎn)品在實(shí)際使用環(huán)境下的故障時(shí)試驗(yàn)時(shí)間。

4）當(dāng)產(chǎn)品在研制期間經(jīng)歷的試驗(yàn)項(xiàng)目較多時(shí)，可將所有試驗(yàn)項(xiàng)目歸結(jié)為幾類環(huán)境應(yīng)力，被歸結(jié)為同一類環(huán)境應(yīng)力的試驗(yàn)項(xiàng)目具有相同的時(shí)間環(huán)境折合系數(shù)。

1.2 數(shù)學(xué)描述

已知有p個(gè)（p≥2）同類或相似產(chǎn)品在研制階段共經(jīng)歷了mi個(gè)（mi≥2）試驗(yàn)項(xiàng)目，產(chǎn)品i在研制期間發(fā)生的總故障數(shù)為ni。Ti(j-1)、Tij分別表示產(chǎn)品i的第j個(gè)試驗(yàn)項(xiàng)目的起止節(jié)點(diǎn)，產(chǎn)品i落在某個(gè)試驗(yàn)項(xiàng)目?jī)?nèi)的第q次故障的累計(jì)試驗(yàn)時(shí)間為tiq（i=1,2,…, p；j=1, 2,…, mi；q=1,2,…, ni）。

求產(chǎn)品所經(jīng)歷的每個(gè)試驗(yàn)項(xiàng)目對(duì)應(yīng)的時(shí)間環(huán)境折合系數(shù)ki1,ki2,…,kimi。

1）計(jì)算折合后的故障時(shí)累計(jì)試驗(yàn)時(shí)間。對(duì)于一組假定的時(shí)間環(huán)境折合系數(shù)ki1,ki2,…,kimi，根據(jù)式（1）計(jì)算折合后的產(chǎn)品i在整個(gè)研制過(guò)程發(fā)生第q次故障時(shí)的累計(jì)試驗(yàn)時(shí)間,用ttiq表示：

式中：Ti(j-1)≤tiq≤Tij；TTi0為折合后產(chǎn)品 i在整個(gè)研制過(guò)程的起始節(jié)點(diǎn)；TTi(j-1)、TTij分別為產(chǎn)品 i的第j個(gè)試驗(yàn)折合到整個(gè)研制過(guò)程的起止節(jié)點(diǎn)。

3）確定環(huán)境折合系數(shù)。如果存在一組時(shí)間環(huán)境折合系數(shù)能夠?qū)⑺型惢蛳嗨飘a(chǎn)品的每一研制試驗(yàn)項(xiàng)目所對(duì)應(yīng)的試驗(yàn)時(shí)間轉(zhuǎn)換為產(chǎn)品在基準(zhǔn)使用環(huán)境下的試驗(yàn)時(shí)間，并認(rèn)為經(jīng)折合后的同類或相似產(chǎn)品在研制過(guò)程中的可靠性增長(zhǎng)規(guī)律均服從 AMSAA模型，且其增長(zhǎng)規(guī)律可以用AMSAA模型來(lái)擬合。出于此判定規(guī)則，可以得到所求的適用于同類或相似產(chǎn)品的一組時(shí)間環(huán)境折合系數(shù)應(yīng)滿足的約束條件。由于每個(gè)產(chǎn)品在進(jìn)行AMSAA模型擬合時(shí)，擬合優(yōu)度檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量含有待定的環(huán)境折合系數(shù)k，文中綜合利用ij的方差和均值信息，確定更符合工程實(shí)際的關(guān)于的函數(shù)E，可由式（3）求得各時(shí)間環(huán)境折合系數(shù)：

式中：Ui為產(chǎn)品i的增長(zhǎng)趨勢(shì)檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的值；為產(chǎn)品i的AMSAA模型擬合優(yōu)度檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的值，其可分別由式（4）求得；和分別為產(chǎn)品i在顯著性水平為αi下的增長(zhǎng)趨勢(shì)檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的臨界值及擬合優(yōu)度檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的臨界值。

時(shí)間環(huán)境折合系數(shù)的尋優(yōu)過(guò)程采用窮舉搜索法，此過(guò)程可運(yùn)用MATLAB軟件實(shí)現(xiàn)。即K在工程上合理的范圍（一般可根據(jù)工程經(jīng)驗(yàn)的方法給出）和步長(zhǎng)被給定后，通過(guò)軟件運(yùn)算得出的一組K值，即為產(chǎn)品及其同類或相似產(chǎn)品共同的時(shí)間環(huán)境折合系數(shù)。

2 研制試驗(yàn)數(shù)據(jù)可靠性綜合評(píng)估

運(yùn)用上述方法確定時(shí)間環(huán)境折合系數(shù)后，便可求解產(chǎn)品設(shè)計(jì)定型時(shí) MTBF的點(diǎn)估計(jì)、置信區(qū)間和單側(cè)置信下限。

已知被評(píng)估的產(chǎn)品在設(shè)計(jì)定型前共經(jīng)歷了 m個(gè)試驗(yàn)項(xiàng)目；在研制期間的總故障數(shù)為 n；第 j個(gè)試驗(yàn)項(xiàng)目的起止節(jié)點(diǎn)為 Tj-1、Tj；落在某個(gè)試驗(yàn)項(xiàng)目?jī)?nèi)的第q次故障發(fā)生時(shí)的累計(jì)試驗(yàn)時(shí)間為 tq（mi≥2；j=1, 2,…, m；q=1,2,…, n；）。求產(chǎn)品設(shè)計(jì)定型時(shí)的MTBF的點(diǎn)估計(jì)、置信區(qū)間和單側(cè)置信下限。

2.1 總故障數(shù)不為0

依據(jù)上述方法確定該產(chǎn)品及其同類或相似產(chǎn)品共同的時(shí)間環(huán)境折合系數(shù)k1,k2,…,km后，按照式（5）計(jì)算出折合到整個(gè)研制過(guò)程中第 q次故障發(fā)生時(shí)的累計(jì)試驗(yàn)時(shí)間ttq：

式中：TTm為該產(chǎn)品整個(gè)研制過(guò)程最后一個(gè)試驗(yàn)折合后的截止時(shí)間。

2）計(jì)算MTBF的點(diǎn)估計(jì)、雙側(cè)置信區(qū)間和單側(cè)置信下限。研制試驗(yàn)結(jié)束時(shí)MTBF的點(diǎn)估計(jì)由式（8）得到：

置信度為γ的MTBF雙側(cè)置信區(qū)間為：

式中：θL,γ、θU,γ分別為置信度等于 γ的 MTBF置信下限和置信上限；π1、π2表示置信度為γ的時(shí)間截尾區(qū)間估計(jì)系數(shù)。

置信度為γ的MTBF單側(cè)置信下限為：

2.2 總故障數(shù)為0

當(dāng)被評(píng)估產(chǎn)品在研制階段的總故障數(shù)為0時(shí)，可利用已經(jīng)得到的其同類或相似產(chǎn)品的時(shí)間環(huán)境折合系數(shù)進(jìn)行可靠性評(píng)估。由式（5）得到折合后整個(gè)研制試驗(yàn)的截止時(shí)間TTm，則置信度為(1-α)的MTBF的單側(cè)置信下限為：

3 實(shí)例分析

某航天產(chǎn)品有3個(gè)同類產(chǎn)品，其研制階段的試驗(yàn)數(shù)據(jù)見(jiàn)表 1，求解擬進(jìn)行設(shè)計(jì)定型的 1號(hào)產(chǎn)品的MTBF單側(cè)置信下限。

運(yùn)用MATLAB軟件按上述方法計(jì)算，可求得置信度為 0.9、0.95、0.99情況下，分別用優(yōu)化準(zhǔn)則為擬合優(yōu)度統(tǒng)計(jì)量的均值最小[15]和離散系數(shù)最小的方法求得時(shí)間環(huán)境折合系數(shù)，并由此計(jì)算產(chǎn)品設(shè)計(jì)定型時(shí)MTBF的單側(cè)置信下限，見(jiàn)表2。

由表 2可知，在文中給出的方法下，置信度為0.9、0.95、0.99的情況下求得的產(chǎn)品 MTBF單側(cè)置信下限均高于文獻(xiàn)[15]求得的結(jié)果，即在相同的置信度下，產(chǎn)品 MTBF置信區(qū)間更短，也即在文中方法下，產(chǎn)品 MTBF估計(jì)的精度更高。同時(shí)，由于綜合環(huán)境試驗(yàn)比實(shí)際使用環(huán)境嚴(yán)酷得多，其環(huán)境折合系數(shù)應(yīng)更大。因此，文中提出的運(yùn)用優(yōu)化準(zhǔn)則為擬合優(yōu)度檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的離散系數(shù)最小的方法求解，其評(píng)估產(chǎn)品設(shè)計(jì)定型時(shí) MTBF的置信下限的精度更高，更符合工程實(shí)際。

表1 某航天產(chǎn)品3個(gè)同類產(chǎn)品的研制試驗(yàn)故障數(shù)據(jù)

表1 方法比較——1號(hào)航天產(chǎn)品MTBF單側(cè)置信下限

4 結(jié)論

文中提出的基于 AMSAA模型，利用被評(píng)估產(chǎn)品及其同類或相似產(chǎn)品研制階段的試驗(yàn)數(shù)據(jù)，通過(guò)對(duì)擬合優(yōu)度檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的離散系數(shù)進(jìn)行尋優(yōu)而確定時(shí)間環(huán)境折合系數(shù)的新方法，綜合考慮了統(tǒng)計(jì)變量的均值和方差兩個(gè)方面的信息，克服了以往僅利用統(tǒng)計(jì)變量的均值信息求解的片面性，因此依據(jù)該方法得到的時(shí)間環(huán)境折合系數(shù)更具合理性。以此為基礎(chǔ)評(píng)估產(chǎn)品設(shè)計(jì)定型時(shí)刻的可靠性，不僅解決了產(chǎn)品樣本量不足的問(wèn)題，同時(shí)又提高了評(píng)估精度。