陳玉陽，吳和成，胡明月

（1.大連理工大學(xué) 石油與化學(xué)工程學(xué)院，遼寧 盤錦 124221；2.南京航空航天大學(xué)，a.經(jīng)濟(jì)與管理學(xué)院，b.理學(xué)院，南京 211106）

指數(shù)型產(chǎn)品的失效率評(píng)估問題，在可靠性理論和應(yīng)用中比較常見，而且一直受到關(guān)注，但不同試驗(yàn)類型的數(shù)據(jù)對(duì)于元件失效率或元件的可靠性評(píng)估帶來的困難各異。對(duì)于定數(shù)截尾或定時(shí)截尾試驗(yàn)數(shù)據(jù)，可以得到指數(shù)型元件失效率的顯式估計(jì)[1]。對(duì)于貯存設(shè)備，因其不處于運(yùn)行中，往往得不到其準(zhǔn)確的失效時(shí)間，只能通過定期檢測(cè)來確定設(shè)備是否失效，而失效設(shè)備的確切壽命是未知的。

對(duì)于不確定數(shù)據(jù)的可靠性估計(jì)研究，Dempster等[2]于1977年提出，在不完全數(shù)據(jù)情況下，利用EM算法來解決可靠性估計(jì)的問題。木拉提等[3]對(duì)刪失數(shù)據(jù)的對(duì)數(shù)正態(tài)分布參數(shù)估計(jì)和混合正態(tài)分布參數(shù)的最大似然估計(jì)進(jìn)行了模擬，模擬結(jié)果表明，EM算法是有效的，估值精度滿足要求。Tan[4]將EM算法應(yīng)用于串并聯(lián)系統(tǒng)中，有效地解決了基于不確定數(shù)據(jù)的系統(tǒng)可靠性估計(jì)問題。1976年 Turnbull[5]提出了求刪失數(shù)據(jù)的廣義最大似然估計(jì)的 SC（self-consistant）算法，隨后GU等[6]建立了SC算法估計(jì)的一致性和正態(tài)性，近年來SC算法仍然廣泛應(yīng)用于可靠性評(píng)估中。徐永紅等[7]提出基于均值插補(bǔ)法和最近鄰插補(bǔ)法的非參數(shù)估計(jì)方法，相比于經(jīng)典 SC算法，該算法具有更高的精確度和更好的穩(wěn)健性。平均秩次法[8]是一種在隨機(jī)截尾條件下經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)的計(jì)算方法。沈安慰[9]在可靠性數(shù)據(jù)分析中引入累積法，結(jié)合平均秩次法解決隨機(jī)刪失數(shù)據(jù)下的參數(shù)估計(jì)問題。Olgierd[10]認(rèn)為，在實(shí)際應(yīng)用中，獲取的數(shù)據(jù)往往是不確定的，并提出用模糊 Bayes方法對(duì)可靠性評(píng)估進(jìn)行研究。Peng等[11]基于包含區(qū)間刪失數(shù)據(jù)的可修系統(tǒng)，提出蒙特卡洛期望最大化算法（MCEM），可以有效地對(duì)系統(tǒng)的可靠性進(jìn)行評(píng)估和預(yù)測(cè)，并通過仿真和實(shí)例證明了方法的有效性。A.Regattieri等[12]通過輕型商用車制造系統(tǒng)案例研究，說明了故障過程建模（FPM）方法對(duì)于不確定數(shù)據(jù)的可靠性估計(jì)是有效的。David等[13]基于模糊概率理論，對(duì)僅含有刪失數(shù)據(jù)的元件可靠性進(jìn)行了估計(jì)。B. García-Mora等[14]認(rèn)為，在可靠性試驗(yàn)中，不能準(zhǔn)確地觀測(cè)到產(chǎn)品的失效時(shí)間，他們利用廣義非線性模型對(duì)產(chǎn)品的失效率進(jìn)行估計(jì)，并可以預(yù)測(cè)未來某一時(shí)刻產(chǎn)品的可靠度。Zhao等[15]應(yīng)用三角模糊數(shù)的方法對(duì)航空發(fā)動(dòng)機(jī)的可靠性進(jìn)行了預(yù)測(cè)。Ogryczak W[16]針對(duì)選址問題，綜合考慮空間的利用率，應(yīng)用條件中位數(shù)方法求解了k-centrum模型中的參數(shù)。范大茵[17]應(yīng)用條件中位數(shù)的方法來估計(jì)元件的失效率，并討論了可靠性置信下限的問題。胡斌等[18]認(rèn)為，條件中位數(shù)方法對(duì)尚未發(fā)生的事件進(jìn)行了外推，并在其基礎(chǔ)上加以改進(jìn)。

對(duì)于不確定數(shù)據(jù)的可靠性估計(jì)，國內(nèi)外文獻(xiàn)通?；?EM 方法，用條件期望代替壽命的估計(jì)，但是EM方法必須通過牛頓迭代法計(jì)算，不僅計(jì)算繁瑣，還必須考慮迭代是否收斂的問題。最大似然估計(jì)法計(jì)算簡(jiǎn)便，估計(jì)量具有一致性和有效性，但有時(shí)難以得到估計(jì)量的解析式。模糊理論方法可以綜合考慮不確定信息，但是信息簡(jiǎn)單的模糊處理將導(dǎo)致估值精度降低。條件中位數(shù)方法計(jì)算簡(jiǎn)便，且必存在收斂于方程的根。文中基于文獻(xiàn)[17]和[18]提出的基于條件中位數(shù)的改進(jìn)方法，針對(duì)僅知失效元件數(shù)的試驗(yàn)數(shù)據(jù)，對(duì)指數(shù)型元件的失效率進(jìn)行估計(jì)。

1 試驗(yàn)數(shù)據(jù)

設(shè)元件的壽命x服從參數(shù)為λ的指數(shù)分布，其分布密度為：

式中：λ未知，且λ∈ R+。在t0=0時(shí)刻以n個(gè)元件進(jìn)行壽命試驗(yàn)，記 0= t0＜ t1＜ t2＜… ＜ tk，在時(shí)刻ti觀測(cè)時(shí)間區(qū)間[ti-1,ti）內(nèi)失效的元件數(shù)，結(jié)果見表1。此類數(shù)據(jù)的特點(diǎn)是：僅知在某時(shí)間段內(nèi)失效的元件數(shù)，而不知失效元件的確切壽命。

表1 試驗(yàn)數(shù)據(jù)

2 元件失效率的估計(jì)

如要估計(jì)元件在 t時(shí)刻的可靠度 R(t)=e-λt，則先要估計(jì)元件分布中的參數(shù)λ。在完全樣本情形，即有全部被試驗(yàn)元件的壽命數(shù)據(jù) x1, x2,… ,xn，則λ的最大似然估計(jì)值為：

對(duì)于表1數(shù)據(jù)，容易得到參數(shù)的似然函數(shù)：

若對(duì)觀測(cè)區(qū)間沒有限制，則由式（4）難以得到參數(shù)λ最大似然估計(jì)的顯式表達(dá)式。如對(duì)于觀測(cè)區(qū)間為等間距情形，可以獲得λ最大似然估計(jì)的顯式表達(dá)式。 不妨 記， 對(duì)一 切 i = 1,2,… ,k 。 再記，則：

從而：

對(duì)于觀測(cè)時(shí)間間隔不等情形，無法得到元件失效率最大似然估計(jì)的解析式。因此，對(duì)于一般情形下，一個(gè)自然的想法是否可以用區(qū)間[ti-1,ti）中的一個(gè)數(shù)作為元件壽命的估計(jì)值。由此，再利用式（2）得到元件失效率λ的一個(gè)估計(jì)值。由于元件壽命服從指數(shù)分布，因此，如用區(qū)間中點(diǎn)作為元件壽命的估計(jì)值不合理。一個(gè)有統(tǒng)計(jì)意義的數(shù)值，即利用條件中位數(shù)作為元件壽命的估計(jì)值具有直觀合理性。

3 失效率估計(jì)的改進(jìn)方法

以滿足下列方程的 μi作為壽命在[ti-1,ti）中的元件壽命的估計(jì)[17]：

即有：

從而有：

將[ti-1,ti）內(nèi)失效的 ri個(gè)失效的元件的壽命均近似看作 μi，則由式（2）可以得到 λ的近似估計(jì)值為下列方程的根：

整理得：

如記：

即g(λ)是λ的嚴(yán)格單調(diào)遞減函數(shù)。另外，容易驗(yàn)證 g (0) ＞ 0,g(+ ∞ ) ＜ 0，故g(λ)=0有唯一正解。

文獻(xiàn)[18]對(duì)此方法加以改進(jìn)，認(rèn)為條件中位數(shù)方法對(duì)尚未發(fā)生的事件進(jìn)行了外推，其給出的估計(jì)為：

將μi代入，并整理，得：

相比于文獻(xiàn)[17]，文獻(xiàn)[18]效果更好，但缺乏統(tǒng)計(jì)含義。為兼顧效果和含義，提出一種基于條件中位數(shù)的改進(jìn)方法，即用代替μk+1作為未失效元件的壽命估計(jì)。

將μi代入，并整理，得：

從上述方程求出λ，即得元件失效率的估計(jì)值。顯然，式（17）的求解需要數(shù)值解法。

4 估計(jì)的優(yōu)良性

為比較三種方法的估計(jì)效果，采用文獻(xiàn)[18]的方法進(jìn)行仿真。

4.1 仿真原理

假設(shè)n個(gè)元件在t0=0時(shí)刻開始貯存，在規(guī)定時(shí)刻ti( i = 1,2,...,k )進(jìn)行定檢，并且其貯存失效率 λ已知。按 指 數(shù) 分 布 隨 機(jī) 生 成 失 效 時(shí) 刻 ξj( j = 1,2,...n)， 若ti-1＜ ξj≤ ti，認(rèn)為元件在定檢區(qū)間 （ti-1,ti]內(nèi)發(fā)生一次失效，由此得到產(chǎn)品在定檢區(qū)間內(nèi)的失效數(shù)ri( i = 1,2,...k )和 rk+1。把 n，ti( i = 1,2,...,k )，ri( i = 1,2,...k)和 rk+1分別代入式（12）、（15）、（17），迭代求解出 λ的對(duì)應(yīng)估計(jì)值? 。重復(fù)該過程m次，得到m個(gè)，分析諸的統(tǒng)計(jì)特性并與真值 λ比較，對(duì)文獻(xiàn)[17]、文獻(xiàn)[18]和文中方法的估計(jì)效果進(jìn)行分析。

4.2 仿真步驟

1）給常量 λ，n，m和 ti( i = 1,2,...,k )賦值，令失效數(shù) ri( i = 1,2,...,k)和rk+1的初值為0。

2）生成失效時(shí)刻 ξj( j = 1,2,...n)：利用隨機(jī)數(shù)生成命令產(chǎn)生（0, 1）指數(shù)分布的偽隨機(jī)數(shù)ηj，按式（18）計(jì)算jξ：

ξj就是貯存失效率為λ時(shí)元件的隨機(jī)失效時(shí)刻。

3）求定檢區(qū)間失效數(shù) ri( i =1,2,...k)和rk+1：將ξj與定檢時(shí)刻ti進(jìn)行比較，ξj必落入某一個(gè)定檢區(qū)間。若 ti-1＜ ξj≤ ti， 則 ri=ri+1； 若 ξj＞ tk， 則rk+1= rk+1+ 1。取 j= 1,2,...n，重復(fù)n次后，得到求解模型方程所需的 ri( i = 1,2,...k )和 rk+1。

4） 求 解 仿 真 方 程 ： 將n， ti( i = 1,2,...,k)，ri( i = 1,2,...k )和 rk+1代入式（12）、（15）、（17），分別得到三種方法的仿真過程。迭代求解非線性方程，求出真值λ的對(duì)應(yīng)估計(jì)值

6）計(jì)算三種方法的估計(jì)均值、估計(jì)標(biāo)準(zhǔn)差和相對(duì)估計(jì)誤差。

4.3 仿真結(jié)果

數(shù)字仿真用 Matlab語言實(shí)現(xiàn)。取 m=1000。取t1=0.5，t2=1.5，t3=2，t4=3，t5=4.5，t6=5，t7=6.5，t8=7.5，t9=9，t10=11（單位：a），真值λ分別等于0.1，0.25，0.4，0.5，0.8，1，1.2（單位：1/a）。分別對(duì) n=50，n=100，n=200進(jìn)行仿真，仿真的結(jié)果見表2。

由表2可以看出：當(dāng)真值λ取0.1，0.25， 0.8，1，1.2時(shí)，應(yīng)用文獻(xiàn)[17]的方法得到的估計(jì)值的相對(duì)誤差較大。當(dāng)λ=0.1，n=50時(shí)，相對(duì)誤差達(dá)到64.16%，而文獻(xiàn)[18]和文中方法得到的估計(jì)值的相對(duì)誤差較小。當(dāng)真值λ取0.4和0.5時(shí)，三種方法得到的估計(jì)值的相對(duì)誤差都較小。當(dāng)λ=0.5，n=50時(shí)，三種方法得到的估計(jì)值的相對(duì)誤差分別為 3.39%，3.37%和2.87%，文中方法得到的估計(jì)值更貼近真值。當(dāng)真值λ=0.4，n分別為50、100、200時(shí)，文中方法得到的估計(jì)值的相對(duì)誤差分別為 1.13%，0.89%和 0.67%。即隨著樣本量的增加，應(yīng)用文中方法得到的估計(jì)值的相對(duì)誤差越來越小。

表2 仿真結(jié)果

續(xù)表2

表3 某指數(shù)型元件試驗(yàn)數(shù)據(jù)

因此，文中提出的方法相比于文獻(xiàn)[17]和文獻(xiàn)[18]的方法，估計(jì)值的均值更接近真值，相對(duì)誤差較小，估計(jì)結(jié)果得到改善。

4.4 實(shí)例分析

某指數(shù)型元件試驗(yàn)數(shù)據(jù)見表3，其中n=20，k=6，代入式（17），應(yīng)用Matlab計(jì)算得到λ=0.3687。則元件的可靠度為 R( t) =e-0.3678t

5 結(jié)語

針對(duì)文中試驗(yàn)數(shù)據(jù)的特點(diǎn)，提出了一種失效率的估計(jì)方法。對(duì)于僅知在某時(shí)間段內(nèi)失效的元件數(shù)，而不知失效元件的確切壽命這類數(shù)據(jù)，提出估計(jì)失效率的改進(jìn)的條件中位數(shù)方法，進(jìn)而可以估計(jì)元件的可靠度。仿真結(jié)果表明，文中提出的方法估計(jì)結(jié)果得到改善，可以應(yīng)用于實(shí)際中。