趙中閣，劉楊

（中國航空綜合技術(shù)研究所，北京 100028）

目前傳統(tǒng)的動力學分析中，主要應用的是線性振動理論。在實際工程應用中，其將振動系統(tǒng)線性化后進行數(shù)學求解，在大部分情況下都能給出比較滿意的結(jié)果。正是因為線性振動理論的種種優(yōu)點，在工程實踐中，研究人員總是把所研究的動力學系統(tǒng)盡可能地線性化。在實際的工程環(huán)境中，大部分的振動實際上都是非線性的，因而將系統(tǒng)線性化會直接忽略其非線性特性，導致得到的理論結(jié)果與實際的振動響應有一定的誤差，甚至有時會引發(fā)嚴重的后果[2]。所謂線性振動只是系統(tǒng)在運動較小時的一種近似，并不足以完整描述系統(tǒng)的振動特性。由于對產(chǎn)品動力學環(huán)境關(guān)注越來越高，特別是在航空航天和兵器等工程領(lǐng)域中的重要性日益突出，線性振動理論和方法已不能滿足要求，大量的重要實際問題迫切需要用非線性動力學理論和方法加以研究分析。

有關(guān)非線性結(jié)構(gòu)動力學的研究已經(jīng)進行了相當長的時間，直到 20世紀后半葉，Ibanez[1]和 Masri等[2]。首先提出了關(guān)于非線性動力學系統(tǒng)模型的參數(shù)識別問題。由于不同的非線性系統(tǒng)具有各自的特性，所以非線性的識別方法也是多種多樣的。總體來說，可分為兩類，即時域法和頻域法。直接提取動力學系統(tǒng)隨時間響應的方法稱為時域法，將時域數(shù)據(jù)進行轉(zhuǎn)化，在頻域內(nèi)進行分析的方法叫頻域法。

時域法的識別是對動力學系統(tǒng)隨時間的響應進行識別，這類方法的優(yōu)點在于實驗數(shù)據(jù)易于獲取，無需對數(shù)據(jù)進行過多的后處理。頻率法通常是通過頻率響應函數(shù)或頻譜分析對非線性加以識別。目前比較主流的非線性識別方法都是頻域法。較早研究頻域法作系統(tǒng)識別是通過釆用沃爾特拉和維納級數(shù)（Volterra and Wiener series），由 Schetzen提出[3]。Gifford最先把這個方法應用于非線性識別[4]，而后Storer等人在這方面進行了擴展[5]。Khan等[7]人通過高階頻響函數(shù)研究了單自由度系統(tǒng)參數(shù)的識別，他們繼而研究了關(guān)于多自由度動力學系統(tǒng)的參數(shù)識別問題[8]。Bendat[9]采用高階頻譜的方法研究了系統(tǒng)識別問題。Roberts等人[10]發(fā)展了此頻譜識別法。其他較早使用頻域法作系統(tǒng)參數(shù)識別的還有 Yasuda和他的合作者[13-14]，他們把諧波平衡法應用到參數(shù)識別過程中。

基于系統(tǒng)的頻響函數(shù)以及一階諧波平衡下描述函數(shù)的定義，Omer Tanrikulu提出了描述函數(shù)法（Describing Functions）識別非線性的方法[15]。Mehmet Bulent ?zer在此基礎上提出了確定非線性位置的方法，并提出使用Sherman-Morrison求逆法近似求解描述函數(shù)的方法[16]。Arslan和 Aykan提出了計算非線性頻響函數(shù)的方法[17]，之后 Aykan提出了通過部分激勵點的頻響函數(shù)計算完整頻響函數(shù)矩陣的方法，以及將描述函數(shù)變換回恢復力的計算方法[18]。描述函數(shù)法識別非線性計算速度快、精度高，是一種實用有效的結(jié)構(gòu)非線性識別方法。

1 描述函數(shù)法識別非線性

1.1 原理

諧波激勵下的多自由度非線性系統(tǒng)的運動方程可寫為：

式中： [M]、[C]、[K]分別為線性系統(tǒng)的質(zhì)量、阻尼和剛度矩陣；{f}為系統(tǒng)外部激勵力（向量）；{x}為系統(tǒng)響應位移（向量）；{N( x,x˙)}為系統(tǒng)的非線性力，其根據(jù)非線性的類型表征為位移或速度的函數(shù)。

對于諧波激勵{f} = {F }eiωt，系統(tǒng)的響應也為諧波{x} = { X }eiωt。由于系統(tǒng)的響應為諧波，則非線性力也為諧波，其可寫成：

式中：[Δ(x, x˙)]為與響應相關(guān)的“非線性特性矩陣”，其由表征非線性力的描述函數(shù)組成[16]：

式中：v為非線性描述函數(shù)，其為激勵幅值的函數(shù)。根據(jù)非線性類型不同，具有不同的函數(shù)表達形式，且目前主要的無記憶非線性類型的描述函數(shù)皆為已知。

從方程(1)可以得到：

非線性頻率響應函數(shù)（FRF）為：

與之對應的潛在線性頻響函數(shù)為：

需要注意的是，對于不同的激勵量級，由于響應的不同，非線性矩陣一般不同。由此可知，不同激勵量級下，非線性頻響函數(shù)矩陣一般不同。

包含描述函數(shù)的非線性矩陣可寫為：

其中線性頻響函數(shù)矩陣[HL]可通過小激勵幅值下進行計算近似得到，而非線性頻響函數(shù)矩陣[HN]卻十分難以計算，得到完整準確的非線性頻響矩陣所需工作量過大。因此這里對方程(11)進行變形，使得可以通過非線性頻響函數(shù)矩陣的一列來計算描述函數(shù)。

方程(8)兩邊右乘[HN]有：

式中：

取方程(9)的第i列可以得到：

取方程(10)的第r行可以得到：

則用于非線性位置識別的“非線性指標（NLN）”可寫為[16]：

方程(12)中，若在r自由度存在著非線性，則其[Δr]不為0，則NLNr亦不為0，其表明第r自由度存在非線性。NLNr可以通過方程(11)的右邊計算得到：

其中，線性頻率響應函數(shù)已知。非線性頻響函數(shù)的第i列可以通過僅對多自由度系統(tǒng)的第i自由度進行激勵測量全部自由度響應的方法得到。 NLNr為頻率依賴，所以可以將計算的所有頻率的 NLNr求和來識別非線性位置。

在通過NLN對非線性位置識別后，由于方程(11)中僅存未知量為[Δr]，而在非線性位置已知的情況下，該矩陣的非0元素位置已知，且均可用描述函數(shù)表示。即可通過方程（11）計算出不同頻率下的描述函數(shù)，進而擬合出非線性描述函數(shù)在不同位移下的圖形，然后通過曲線擬合識別出非線性的類型和參數(shù)，以實現(xiàn)對結(jié)構(gòu)非線性的完全識別。

1.2 優(yōu)點

所有非線性識別方法的共同點是它們都試圖去探測、定位和識別非線性。非線性的強弱決定了不同方法的適用性。然而，非線性的級別是很難定義的，并且無法確定是否有一種方法能適用于所有情況的非線性。

目前在工程實際中進行非線性識別時，普遍需要討論的是兩個方面：激勵類型和先驗數(shù)據(jù)。激勵類型可應用于非線性模態(tài)試驗。目前普遍用于非線性系統(tǒng)識別的激勵類型為步進正弦、正弦掃頻和隨機三種。其中步進正弦長試驗時間的要求通常無法滿足工業(yè)的需求[21-22]。隨機振動試驗的主要障礙是其不受控制的本質(zhì)，全隨機信號有些情況下甚至無法成功激發(fā)出系統(tǒng)的非線性[24]。正弦掃頻試驗將掃頻試驗的速率和正弦試驗可控制的本質(zhì)結(jié)合起來，保證了高速和可控性[23]。而描述函數(shù)法識別非線性正是適用正弦掃頻激勵，即其工程可行性較高。

除了激勵類型外，現(xiàn)有的非線性識別方法的另一個特點是通常都需要一定數(shù)量的先驗數(shù)據(jù)。大多數(shù)可用的方法需要系統(tǒng)的一些已知數(shù)據(jù)，一些方法需要全部或部分質(zhì)量、剛度和阻尼值[25]，而一些方法需要所分析結(jié)構(gòu)的線性頻率響應函數(shù)（FRF）以及非線性的類型[26-27]。與上述方法相比，描述函數(shù)法識別非線性對先驗數(shù)據(jù)的需求程度較低，僅需要結(jié)構(gòu)的線性FRF即可對非線性完成識別。

在當前的非線性研究領(lǐng)域，描述函數(shù)法由于有著上述的優(yōu)點使得其工程可實現(xiàn)性較高，有著很大的研究價值。

2 案例分析

非線性系統(tǒng)包括單自由度系統(tǒng)和多自由度系統(tǒng)兩種。非線性單元的位置包括在自由度與地之間和在兩個自由度之間兩種。筆者對常見非線性分別進行了單自由度系統(tǒng)非線性位于該自由度與地之間、多自由度非線性在某兩個自由度之間、多自由度系統(tǒng)包含多種非線性并位于不同位置的仿真，通過仿真結(jié)果驗證了描述函數(shù)法識別非線性的能力。

2.1 單自由度系統(tǒng)

某單自由度系統(tǒng)，線性系統(tǒng)的數(shù)值參數(shù)為：m=1 kg，c=1.25 N·s/m，k=500 N/m。由于單自由度非線性系統(tǒng)的非線性單元一定位于該自由度和地之間，所以對于單自由度系統(tǒng)，位置辨識沒有意義，可以直接進行類型和參數(shù)的識別。

通過 Matlab使用濾波器法求得系統(tǒng)的時域強迫響應[20]。仿真的輸入是步進為0.05 Hz的正弦信號，其頻率范圍為3～8 Hz，輸入的正弦信號中混有Matlab生成的均值為 0、標準差為輸入信號最大幅值 5%的正態(tài)分布的隨機信號作為噪聲。

非線性系統(tǒng)中的非線性單元類型為符號二次剛度，其描述函數(shù)為，其中，p（p=2.3×103）為非線性參數(shù)。

通過Matlab仿真，激勵信號分別為10、0.1 N，將激勵為0.1 N時的頻響函數(shù)作為線性頻響函數(shù)，可以得到該單自由度系統(tǒng)的頻響函數(shù)和不同響應位移下的描述函數(shù)如圖1所示。對得到的描述函數(shù)進行曲線擬合，可以得到該描述函數(shù)類型為v=，參數(shù) p=2286。由此可以看出，描述函數(shù)法對于單自由度非線性系統(tǒng)的類型識別準確，參數(shù)識別精度較高。

圖1 符號二次剛度非線性的單自由度系統(tǒng)的頻響函數(shù)和描述函數(shù)

2.2 多自由度系統(tǒng)

與單自由度系統(tǒng)相比，多自由度非線性系統(tǒng)的情況更為復雜。多自由度系統(tǒng)通常可以分為非線性單元僅在兩個自由度之間（存在一種或多種）或多種非線性單元分別存在于不同自由度之間的情況。

對于第一種情況，多自由度系統(tǒng)如圖2所示，非線性僅位于自由度1和自由度2之間，此時自由度3和4之間沒有非線性（k3′4不存在）。對于第二種情況，如圖2表示（k3′4存在），此時兩種非線性分別位于自由度1和2之間以及自由度3和4之間。多自由度線性 系 統(tǒng) 的 數(shù) 值 參 數(shù) 為 ： k1= k2= k3= k4= k5=1000 N/m，c1= c2= c3= c4= c5= 5 N·s/m，m1=1 kg, m2=3 kg, m3=4 kg, m4=5 kg

圖2 含有非線性的多自由度系統(tǒng)

通過 Matlab使用濾波器法求得系統(tǒng)的時域強迫響應。仿真的輸入是步進為0.05 Hz的正弦信號，其頻率范圍為1～8 Hz，輸入的正弦信號中，混有Matlab生成的均值為 0、標準差為輸入信號最大幅值 5%的正態(tài)分布的隨機信號作為噪聲。

2.1.1 多自由度系統(tǒng)非線性位于不同自由度之間

此多自由度系統(tǒng)自由度1和自由度2之間的非線性單元為間隙-飽和特性。間隙-飽和是一種混合非線性，其在同一位置包含間隙和飽和兩種非線性，其中間隙為0.01 m，線性剛度為500 N/m，飽和值為5 N（飽和位移s=0.2 m）。

通過Matlab仿真，激勵信號分別為10、0.1 N。將激勵為0.1 N時的頻響函數(shù)作為線性頻響函數(shù)，可以得到該多自由度系統(tǒng)的頻響函數(shù)如圖3所示，計算得到的非線性指標如圖4a所示。由此可知，非線性位于自由度1和2之間，得到不同響應位移下的描述函數(shù)如圖4b所示。通過描述函數(shù)圖形即可判斷非線性類型為間隙-飽和，對該類型非線性描述函數(shù)

圖3 間隙-飽和非線性的多自由度系統(tǒng)頻響函數(shù)

進行曲線擬合，可知參數(shù)：a=0.0099 m，k=469.7 N/m，s=0.0210 m。由此可以看出，對于簡單的多自由度非線性系統(tǒng)，描述函數(shù)法識別非線性單元的位置準確快速，類型正確，參數(shù)具有一定精度。

圖4 間隙-飽和非線性的多自由度系統(tǒng)非線性指標和描述函數(shù)

2.1.2 多自由度系統(tǒng)多種非線性位于不同位置

此系統(tǒng)包含兩個非線性單元，分別為三次剛度和間隙特性。其中間隙位于自由度1和2之間，間隙為0.01 m，線性剛度為100 N/m；三次剛度位于自由度3和4之間，非線性參數(shù)為1.7×106。

通過Matlab仿真，激勵信號分別為10、0.1 N。將激勵為0.1N時的頻響函數(shù)作為線性頻響函數(shù)，可以得到該多自由度系統(tǒng)的頻響函數(shù)如圖5a所示，計算得到的非線性指標如圖5b所示。由此可知，該系統(tǒng)包含兩個非線性單元，一種位于自由度1和2之間，另一種位于自由度3和4之間。得到的不同響應位移下的自由度1,2之間和自由度3,4之間的非線性的描述函數(shù)如圖 6所示，可以看出，自由度 1,2之間的非線性類型為間隙，其非線性描述函數(shù)為

讀圖可得參數(shù) a=0.0100 m，曲線擬合可以得到參數(shù)k=99.94 N/m；對自由度3,4之間的描述函數(shù)進行曲線擬合，可以得到自由度3和4之間的非線性描述函數(shù)為，參數(shù)p=1.774×106N/m3。由此可以看出，對于相對復雜的多自由度非線性系統(tǒng)，描述函數(shù)法識別的非線性單元的位置準確快速，類型正確，參數(shù)精度較高。

圖5 三次剛度和間隙非線性位于不同位置的多自由度系統(tǒng)的頻響函數(shù)和非線性指標

圖6 三次剛度和間隙非線性位于不同位置的多自由度系統(tǒng)的非線性描述函數(shù)

3 結(jié)論

1）文中介紹了描述函數(shù)方法識別非線性的原理，并在此基礎上，給出了基于頻響函數(shù)矩陣的某一列計算描述函數(shù)的方法，簡化了描述函數(shù)的計算過程。

2）通過Matlab仿真驗證了描述函數(shù)識別非線性方法的有效性。

3）相較于其他非線性識別方法，應用描述函數(shù)法進行非線性識別計算速度快，對非線性位置和類型識別直觀準確，非線性參數(shù)識別精度較高，適宜應用于工程實踐。