張若軍，王桂波，張思維，黃婉君，王 勃，肖 勇

(1.中國(guó)船舶信息中心 應(yīng)用聲學(xué)研究中心，北京 100101；2.國(guó)防科技大學(xué) 裝備綜合保障技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，湖南 長(zhǎng)沙 410073)

0 引 言

低頻噪聲由于傳播距離遠(yuǎn)、透聲能力強(qiáng)，會(huì)對(duì)人們的日常生活以及身體健康造成嚴(yán)重的干擾和影響，因而降噪需求突出。隔聲處理是控制低頻噪聲的有效方法之一。傳統(tǒng)的隔聲材料在低頻段的隔聲性能需要遵循質(zhì)量密度定律，即面密度決定隔聲材料的隔聲量。增加隔聲材料面密度才能提高低頻隔聲量，由此帶來隔聲材料重量增加的問題，這也使得傳統(tǒng)隔聲材料應(yīng)用受限。因此，探索輕質(zhì)條件下的低頻噪聲的隔離技術(shù)具有重要的意義。近年來，“聲子晶體局域共振板”概念的提出為實(shí)現(xiàn)輕質(zhì)條件下的低頻隔聲提供了新的理論基礎(chǔ)和技術(shù)途徑。

2011年，法國(guó)Oudich等[1]研究了聲子晶體板，通過理論分析驗(yàn)證減振特性。隨后，國(guó)防科技大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院肖勇等[2]對(duì)集成局域共振單元的薄板結(jié)構(gòu)開展了隔聲特性研究，分析了全頻帶的隔聲特性，指出局域共振單元可以打破質(zhì)量密度定律。辛鋒先等[3-4]系統(tǒng)研究了簡(jiǎn)支邊界及固支邊界型薄板的隔聲特性及振動(dòng)特性。本文通過在簡(jiǎn)支邊界條件的基礎(chǔ)上，薄板上集成局域共振單元，采用模態(tài)形函數(shù)[5]，從而求解基板位移，計(jì)算得到其隔聲量。

據(jù)此，本文將以典型的輕質(zhì)板和局域共振單元為研究對(duì)象，開展隔聲計(jì)算方法、參數(shù)分析及實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)，系統(tǒng)研究并完善局域共振聲子晶體板的理論預(yù)報(bào)方法，加深對(duì)其低頻隔聲機(jī)理及特性的認(rèn)識(shí)，并為其在低頻降噪工程中的應(yīng)用設(shè)計(jì)提供指導(dǎo)，最后通過大量實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了聲子晶體板的低頻隔聲特性。本文對(duì)邊界條件下的薄板隔聲理論以及對(duì)低頻隔聲應(yīng)用轉(zhuǎn)化具有重要的參考意義。

1 數(shù)值求解及驗(yàn)證

1.1 模型求解

聲子晶體薄板由基板和共振單元組成（見圖1），基板的彎曲位移可以表示為w（x，y，t），在聲場(chǎng)作用下，則動(dòng)力學(xué)響應(yīng)方程為：

對(duì)斜入射的平面波，其聲壓速度勢(shì)為：

簡(jiǎn)支邊界下板的橫向位移可以寫為：

圖1 聲子晶體板結(jié)構(gòu)示意圖Fig.1 Schematic of simply supporte locally resonant plate

式中Ψmn(x,y)和pmn（t）分別為簡(jiǎn)支邊界條件的模態(tài)函數(shù)和相應(yīng)的模態(tài)位移。

式中：αmn為基板彎曲位移的每階模態(tài)系數(shù)；ω為角頻率。

將基板兩側(cè)的聲場(chǎng)用基板的位移勢(shì)函數(shù)表示，則基板兩側(cè)聲場(chǎng)勢(shì)函數(shù)可以表示為[6]：

將式（1）化簡(jiǎn)，方程兩邊乘以模態(tài)函數(shù)Ψrs(x,y)，根據(jù)模態(tài)函數(shù)的正交性，方程兩邊做模態(tài)基函數(shù)的加權(quán)積分，通過積分運(yùn)算，求解積分方程可以獲得方程的數(shù)值解。

得到由MN個(gè)方程組成的有限大代數(shù)方程組，寫成矩陣形式：

式中相關(guān)推導(dǎo)及方程表達(dá)式可參考文獻(xiàn)[7]。通過式（9）求得每一階模態(tài)系數(shù)αrs，再代入式（4），可以求得基板的位移、速度和聲壓速度勢(shì)。

1.2 結(jié)果分析及驗(yàn)證

數(shù)值計(jì)算時(shí)，聲波垂直入射（θ=0，φ=0），Lx=Ly=0.06 m，h=0.000 5 m，Nx=Ny=1，fobj=610 Hz，μ=0.2。鋁板參數(shù)：ρs=2 700 kg/m3，E=70 GPa，υ=0.3，η=0.005，ρ0=2 700 kg/m3，c0=343 m/s，ФI=1 Pa。

根據(jù)收斂理論，如果給定的數(shù)值結(jié)果在某一頻率下收斂，那么針對(duì)該算例的結(jié)果可以根據(jù)收斂特性，判斷出對(duì)于低于該給定頻率的所有數(shù)值計(jì)算結(jié)果都收斂[8]。圖2所示結(jié)果表明：計(jì)算頻率低于10 kHz時(shí)，當(dāng)指標(biāo)M和N大于10時(shí)，傳聲損失結(jié)果收斂。由圖3可知，有限元計(jì)算曲線與數(shù)值結(jié)果預(yù)測(cè)曲線基本一致，都能準(zhǔn)確地預(yù)測(cè)隔聲峰值和谷值。

圖2 傳聲損失的收斂性（f=10 kHz）Fig.2 The convergence for STL (f=10 kHz)

圖3 結(jié)果對(duì)比（μ=0.20，fobj=610 Hz）Fig.3 Results comparison (μ=0.20，fobj=610 Hz)

2 低頻隔聲特性分析及實(shí)驗(yàn)

2.1 振子數(shù)目對(duì)板的隔聲性能的影響

數(shù)值計(jì)算時(shí)，Lx=Ly=0.06 m，h=0.001 m，μ=0.2，fobj=300 Hz。由圖4可知，振子固有頻率處板的傳聲損失峰隨著振子數(shù)目N的增大而在逐漸增大，一定程度后趨于收斂?？紤]到波在板中的彎曲波波數(shù)[9]

結(jié)合式（10）可知，當(dāng)Nx=Ny=3時(shí)，計(jì)算算例中的彎曲波長(zhǎng)約等于局域振子之間的間隔Δx；當(dāng)Nx=Ny=6時(shí)，彎曲波的半個(gè)波長(zhǎng)等于局域振子之間的間隔Δx；當(dāng)Nx=Ny=12時(shí)，彎曲波的1/4波長(zhǎng)等于局域振子之間的間隔Δx；當(dāng)Nx=Ny=24時(shí)，彎曲波的1/8波長(zhǎng)等于局域振子之間的間隔Δx。

根據(jù)彎曲波的波長(zhǎng)與局域振子之間的間隔的相關(guān)關(guān)系，可判斷：當(dāng)振子之間的間隔減小，聲子晶體板的隔聲峰將向設(shè)計(jì)的固有頻率靠近，隔聲峰數(shù)值大小進(jìn)一步趨于收斂，在此基礎(chǔ)上再繼續(xù)減小振子之間的間隔，峰值處隔聲性能趨于穩(wěn)定（Nx=Ny=30）。綜上可知，如果固定基板的參數(shù)和振子的附加質(zhì)量，在某一振子共振頻率下，通過選擇合適的振子數(shù)目，可以得到理想頻率處的隔聲性能。

圖4 不同振子數(shù)N下的傳聲損失Fig.4 STL under different number of local resonators

2.2 實(shí)驗(yàn)測(cè)試

實(shí)際應(yīng)用中，主要關(guān)心材料的隔聲量大小，隔聲量越大，意味著材料的隔聲性能越好。為此，需要在一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)統(tǒng)一的環(huán)境中，采取標(biāo)準(zhǔn)統(tǒng)一的測(cè)量方法進(jìn)行測(cè)量，這樣才能使結(jié)果具有實(shí)際意義。

隔聲實(shí)驗(yàn)室包括發(fā)聲室和接受室，如圖5所示均由混響室構(gòu)成，測(cè)試樣件安裝在2個(gè)混響室的中間。其中球形聲源采用白噪聲激勵(lì)，通過多通道的實(shí)驗(yàn)測(cè)試系統(tǒng)來分析實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)。本文的局域共振結(jié)構(gòu)參考文獻(xiàn)[10]中的梁片結(jié)構(gòu)，將梁片共振頻率設(shè)計(jì)到300 Hz附近，具體的聲子晶體板樣件如圖6所示。

實(shí)驗(yàn)測(cè)試按照GB/T 19889.3-2005的測(cè)試方法，測(cè)試結(jié)果如圖7所示?？芍?，在設(shè)計(jì)低頻處（約315 Hz）聲子晶體板的隔聲量比同質(zhì)量板高10 dB，實(shí)驗(yàn)再一次驗(yàn)證了2.1節(jié)中的低頻隔聲特性。

圖5 隔聲實(shí)驗(yàn)示意圖Fig.5 Schematic of sound transmission test

圖6 聲子晶體板樣件Fig.6 Experimental specimen of locally resonant phononic plate

圖7 實(shí)驗(yàn)測(cè)試結(jié)果Fig.7 Measured frequency response function of STL

3 結(jié) 語(yǔ)

本文基于系統(tǒng)研究了簡(jiǎn)支邊界條件下聲子晶體薄板的低頻隔聲特性。通過引入有限元仿真計(jì)算，驗(yàn)證了數(shù)值結(jié)果的有效性，進(jìn)一步分析了振子數(shù)目對(duì)聲子晶體板的隔聲性能影響規(guī)律。最后通過大樣實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了聲子晶體板得低頻隔聲特性。研究表明：通過調(diào)節(jié)振子數(shù)目、振子共振頻率，可以實(shí)現(xiàn)聲子晶體板在設(shè)計(jì)頻率處的低頻隔聲性能，無(wú)限制的增多數(shù)目并不能帶來預(yù)期的效益，隔聲峰數(shù)值收斂條件下的振子數(shù)目為最佳。聲子晶體低頻隔聲薄板的設(shè)計(jì)理念為輕質(zhì)薄板隔聲設(shè)計(jì)提供了一種有效、實(shí)用的方法?？傊Y(jié)合本文方法，根據(jù)實(shí)際板結(jié)構(gòu)的邊界約束條件，可以開展針對(duì)性設(shè)計(jì)，自主調(diào)節(jié)聲子晶體板結(jié)構(gòu)參數(shù)，實(shí)現(xiàn)板結(jié)構(gòu)的輕質(zhì)低頻隔聲。