劉司偉，曹樹剛，王 輝，潘瑞凱，張 渤

(重慶大學(xué)煤礦災(zāi)害動(dòng)力學(xué)與控制國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室/資源及環(huán)境科學(xué)學(xué)院，重慶 400044)

0 引言

復(fù)合頂板變形失穩(wěn)是眾多控制因素綜合作用的結(jié)果，許多專家學(xué)者都對(duì)此進(jìn)行了研究。康紅普[1]利用FLAC分別研究了地應(yīng)力、層理、節(jié)理分布及其剛度和強(qiáng)度、圍巖強(qiáng)度等多種因素對(duì)層狀巖層矩形巷道圍巖變形和破壞的控制作用；賈蓬等[2]利用RFPA2D研究了地應(yīng)力和厚跨比兩種因素對(duì)巷道層狀頂板的影響；李長(zhǎng)權(quán)等[3]、賈明魁[4]利用RFPA2D研究了不同厚度軟弱夾層對(duì)層狀頂板穩(wěn)定性和破壞形態(tài)的影響；吳德義等[5]利用ANSYS研究了巷道寬度、復(fù)合頂板巖性、復(fù)合頂板厚度、結(jié)構(gòu)面黏聚力和內(nèi)摩擦角5個(gè)因素對(duì)復(fù)合頂板離層的影響程度。上述研究的不足之處在于：或是試驗(yàn)方法為單一變量法，或是在試驗(yàn)結(jié)果的分析過程中沒有考慮影響因素之間的交互作用，而且研究的影響因素個(gè)數(shù)較少等，使得研究結(jié)果存在一定偏差。

文章在研究復(fù)合頂板變形失穩(wěn)影響因素敏感性的過程中，將從試驗(yàn)方法和試驗(yàn)結(jié)果分析兩個(gè)方面入手，充分考慮各影響因素之間的交互作用。首先，通過正交設(shè)計(jì)確定實(shí)驗(yàn)方案；然后，對(duì)試驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行主成分分析和基于復(fù)共線性診斷的線性回歸分析；最后，得出復(fù)合頂板變形失穩(wěn)影響因素的敏感系數(shù)，進(jìn)而確定主要影響因素。

1 正交試驗(yàn)

1.1 正交設(shè)計(jì)

通過閱讀大量的文獻(xiàn)篩選出對(duì)復(fù)合頂板變形失穩(wěn)影響相對(duì)顯著的6種因素[1-9]：頂板巖性特征、巷道斷面尺寸、原巖應(yīng)力、各分層的厚度、軟弱夾層的位置和軟弱夾層的厚度。將6個(gè)影響因素劃分為5個(gè)水平，正交表選用L25(56)，試驗(yàn)指標(biāo)為頂板的最大下沉量。

將復(fù)合頂板的巖性設(shè)置為砂巖和泥巖兩種巖性組合，復(fù)合頂板的分層數(shù)目設(shè)置為4層。由于復(fù)合頂板下部為堅(jiān)硬砂巖、上部為泥巖的情況較為少見，本次不考慮該種組合方案，剩余5中組合見表1。

表1 巖性組合

將巷道斷面的形狀確定為矩形，斷面尺寸用巷道高度(m)/巷道寬度(m)來(lái)表示；原巖應(yīng)力用水平應(yīng)力(MPa)/垂直應(yīng)力(MPa)來(lái)表示；在四層復(fù)合頂板中，設(shè)置兩層厚度相同的泥巖和兩層厚度相同的砂巖，用泥巖分層厚度(m)/砂巖分層厚度(m)表示；軟弱夾層的層數(shù)設(shè)置為一層，其在復(fù)合頂板中的位置用軟弱夾層底部距巷道頂板表面的垂距(m)表示。上述4個(gè)因素以及軟弱夾層厚度(mm)在5個(gè)水平上的具體參數(shù)見表2。

表2 因素水平設(shè)置

1.2 數(shù)值模擬試驗(yàn)

利用FLAC3D軟件進(jìn)行三維數(shù)值模擬試驗(yàn)。數(shù)值模型的總尺寸保持不變，長(zhǎng)×寬×高為50 m×50 m×30 m，單元個(gè)數(shù)為55 000，節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)為59 823，模型的底邊采用固定邊界條件，四周限制水平移動(dòng)，本構(gòu)模型選擇Mohr—Coulomb模型。數(shù)值計(jì)算模型如圖1所示，頂?shù)装鍘r石物理力學(xué)參數(shù)見表3。

數(shù)值模擬試驗(yàn)按照表4所給定的試驗(yàn)條件進(jìn)行，試驗(yàn)過程中記錄巷道開挖穩(wěn)定后的頂板最大下沉量yi，試驗(yàn)結(jié)果見表4。

圖1 數(shù)值計(jì)算模型Fig.1 Numericalcalculation model

巖性密度/(g·cm-3)體積模量/GPa剪切模量/GPa內(nèi)聚力/MPa內(nèi)摩擦角φ/(°)抗拉強(qiáng)度/MPa基本頂石灰?guī)r2.8020.010.05.00406.00復(fù)合頂板砂巖2.6515.08.04.00385.00泥巖2.553.02.01.00351.50軟弱夾層 2.301.00.50.05250.01煤 1.402.51.70.18300.20底板泥巖2.553.02.01.00351.50粉砂巖2.710.86.36.70354.00

表4 正交試驗(yàn)方案及試驗(yàn)結(jié)果

這里將因素用j表示(j=1，2，3，4，5，6)，將水平用k表示(l=1，2，3，4，5)。定義統(tǒng)計(jì)量Zkj表示第j個(gè)因素中水平k的5次試驗(yàn)結(jié)果之和，模擬試驗(yàn)結(jié)果如下：

2 試驗(yàn)結(jié)果的主成分分析

2.1 主成分分析步驟

(1)為了避免各影響因素量綱的影響，首先對(duì)統(tǒng)計(jì)量Zkj作標(biāo)準(zhǔn)差標(biāo)準(zhǔn)化變化，變換后的數(shù)據(jù)矩陣記為Xkj。

(2)根據(jù)式(1)求得相關(guān)系數(shù)矩陣R，其特征值由大到小為λ1，λ2，…，λj；對(duì)應(yīng)的單位化特征向量為l1，l2，…，lj，主成分計(jì)算見式(2)。

yj=lj1x1+lj2x2+…+ljjxj(2)

(3)每個(gè)主成分所能反映的差異比重為λj/n(n為所有特征值之和)，稱λj/n為第j各主成分yj的貢獻(xiàn)率。前m個(gè)主成分貢獻(xiàn)率之和稱為累積貢獻(xiàn)率。一般選取m，使累積貢獻(xiàn)率達(dá)到70%～90%[10]。

(4)將前m個(gè)主成分按貢獻(xiàn)率加權(quán)得到綜合評(píng)價(jià)函數(shù)[11]。

2.2 主成分分析結(jié)果

計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)矩陣Xkj如下：

根據(jù)Xkj進(jìn)行主成分分析，分析結(jié)果見表5。

表5 主成分分析結(jié)果

從表5中可知，前3個(gè)主成分即可包含91.47%原始數(shù)據(jù)所反映的信息，因此只保留前3個(gè)主成分即可。主成分y1，y2，y3的具體表達(dá)式如下：

式中：x1——代表復(fù)合頂板巖性特征對(duì)頂板變形量的影響；

x2——代表矩形巷道斷面尺寸對(duì)頂板變形量的影響；

x3——代表地應(yīng)力對(duì)頂板變形量的影響；

x4——代表復(fù)合頂板各分層的厚度對(duì)頂板變形量的影響；

x5——代表軟弱夾層位置對(duì)頂板變形量的影響；

x6——代表軟弱夾層厚度對(duì)頂板變形量的影響。

將主成分y1，y2，y3按各自的特征值貢獻(xiàn)率加權(quán)后得到主成分綜合評(píng)價(jià)函數(shù)Y：

Y=0.283 4x1-0.070 1x2-0.304 3x3+

0.026 0x4-0.139 8x5+0.332 3x6(4)

直接比較Y中各影響因素的敏感系數(shù)，得到影響效果排名：軟弱夾層厚度>地應(yīng)力>復(fù)合頂板巖性特征>軟弱夾層位置>矩形巷道斷面尺寸>復(fù)合頂板各分層的厚度。其中主要影響因素為軟弱夾層厚度、地應(yīng)力和復(fù)合頂板巖性特征。

3 試驗(yàn)結(jié)果的復(fù)共線性診斷

主成分分析在應(yīng)用過程中默認(rèn)各影響因素之間存在一定的相關(guān)性，但相關(guān)性不強(qiáng)[12]。若各影響因素之間存在較強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系，即復(fù)共線性關(guān)系，則通過主成分分析的結(jié)論不一定可靠，需要進(jìn)行修正[13]。因此，有必要對(duì)標(biāo)準(zhǔn)矩陣Xkj進(jìn)行復(fù)共線性診斷，判斷是否存在某些列數(shù)據(jù)之間存在近似的線性相關(guān)關(guān)系。

3.1 復(fù)共線性診斷步驟

(1)選擇診斷方法：選用條件指數(shù)—方差分解比法[14]來(lái)對(duì)標(biāo)準(zhǔn)矩陣Xkj進(jìn)行復(fù)共線性診斷。

(3)按照式(5)計(jì)算條件指數(shù)nj，并找出條件指數(shù)nj大于30的所在行，即可診斷出具有復(fù)共線性關(guān)系的組數(shù)。

(4)在條件指數(shù)大于30的行中，按照式(6)計(jì)算方差分解比πjk，并尋找方差分解比πjk大于0.5的列，即可診斷出具有復(fù)共線性關(guān)系的數(shù)據(jù)列。

(5)將Xkj中存在復(fù)共線性關(guān)系的數(shù)據(jù)列進(jìn)行線性回歸，并運(yùn)用r檢驗(yàn)法進(jìn)行回歸模型顯著性檢驗(yàn)。

3.2 復(fù)共線性診斷結(jié)果

按照上述診斷方法，將診斷結(jié)果列于表6中。

表6 復(fù)共線性診斷

從條件指數(shù)的判據(jù)看標(biāo)準(zhǔn)矩陣Xkj的數(shù)據(jù)列之間應(yīng)該存在2組復(fù)共線性關(guān)系，但是從方差分解比的判據(jù)出發(fā)，只能判斷出1組復(fù)共線性關(guān)系，即第6行所診斷出來(lái)的由第1列、第2列、第3列、第4列、第5列和第6列組合而成的1組復(fù)共線性關(guān)系。

3.3 回歸分析

(1)第1組復(fù)共線性關(guān)系的線性回歸分析

由第6行的條件指數(shù)和方差分解比可得，第1列、第2列、第3列、第4列、第5列和第6列之間存在1組復(fù)共線性關(guān)系。根據(jù)線性表述的可逆性，可以任意剔除其中一列，考慮到第1列數(shù)據(jù)表示的是定性指標(biāo)巖性特征的影響，難以定量表示，所以本文選擇剔除第1列。

利用MATLAB進(jìn)行多元線性回歸?；貧w結(jié)果如下：

0.750 8x5+0.527 8x6(7)

對(duì)式(7)進(jìn)行顯著性檢驗(yàn)，根據(jù)r檢驗(yàn)法的相關(guān)計(jì)算公式計(jì)算得R=1.000 0，這說明x1與x2，x3，x4，x5，x6之間存在完全線性關(guān)系，即所有點(diǎn)都在該回歸直線上，則不必再進(jìn)行回歸系數(shù)的顯著性檢驗(yàn)。

(2)第2組復(fù)共線性關(guān)系的線性回歸分析

除去標(biāo)準(zhǔn)化矩陣Xkj的第一列后形成新的矩陣X。對(duì)矩陣X重復(fù)上述復(fù)共線性診斷過程，結(jié)果見表7。

表7 復(fù)共線性診斷

由第5行的條件指數(shù)和方差分解比可得x2，x3，x4，x5，x6之間存在1組復(fù)共線性關(guān)系?？紤]到x6表示的是軟弱夾層厚度的影響，但軟弱夾層的厚度難以準(zhǔn)確測(cè)量而且變化不定，所以選擇剔除表6中的x6。

利用MATLAB進(jìn)行多元線性回歸?；貧w結(jié)果見式(8)：

采用同前的方法對(duì)多元線性回歸模型進(jìn)行顯著性檢驗(yàn)。檢驗(yàn)結(jié)果R=1.000 0，說明x6與x2，x3，x4，x5之間存在完全線性關(guān)系，即所有點(diǎn)均在該回歸直線上，所以省略了回歸系數(shù)的顯著性檢驗(yàn)。

(3)回歸結(jié)果分析

根據(jù)式(7)可知，巖性特征變化對(duì)頂板變形量的影響可由其余5種影響因素的作用效果線性表述；根據(jù)式(8)可知，軟弱夾層厚度的變化對(duì)頂板變形量的影響可由巷道斷面尺寸、地應(yīng)力、各分層厚度和軟弱夾層位置的作用效果線性表述。因此，在主成分分析的過程中應(yīng)剔除巖性特征和軟弱夾層厚度兩種影響因素，否則會(huì)造成這兩種影響因素的重復(fù)評(píng)價(jià)而其敏感性系數(shù)虛高。主成分分析的評(píng)價(jià)結(jié)果也驗(yàn)證了這個(gè)問題。

4 基于多元線性回歸的主成分分析

由于在標(biāo)準(zhǔn)矩陣Xkj中存在2組多元線性相關(guān)關(guān)系，造成了某些影響因素在主成分分析中的重復(fù)評(píng)價(jià)，進(jìn)而導(dǎo)致各個(gè)影響因素的敏感性系數(shù)存在偏差。因此，需要將式(7)和式(8)帶入式(4)中，得修正主成分綜合評(píng)價(jià)函數(shù)Y*：

Y*= -0.350 1x2-0.883 6x3-0.341 1x4-0.170 9x5(9)

函數(shù)Y*的系數(shù)代表著各個(gè)影響因素對(duì)復(fù)合頂板變形失穩(wěn)的敏感性大小。從中可以看出，地應(yīng)力對(duì)復(fù)合頂板變形失穩(wěn)的影響最大，是矩形巷道斷面尺寸和復(fù)合頂板各分層厚度影響效果的2倍多，是軟弱夾層位置變化影響效果的5倍多；矩形巷道斷面尺寸對(duì)復(fù)合頂板變形失穩(wěn)的影響較大，是軟弱夾層位置變化影響效果的2倍左右；復(fù)合頂板各分層的厚度對(duì)其變形失穩(wěn)的影響也較大，是軟弱夾層位置變化影響效果的2倍左右，但稍小于矩形巷道斷面尺寸的影響；復(fù)合頂板中軟弱夾層的位置變化對(duì)復(fù)合頂板變形失穩(wěn)的影響最小。

總體而言，對(duì)復(fù)合頂板變形影響大的主要因素是地應(yīng)力、矩形巷道斷面尺寸和復(fù)合頂板各分層厚度。

5 結(jié)論

(1)利用FLAC3D數(shù)值模擬軟件進(jìn)行了正交設(shè)計(jì)所確定的25組正交試驗(yàn)，獲取了在6個(gè)影響因素交互作用時(shí)巷道復(fù)合頂板的變形下沉量，克服了以往試驗(yàn)中忽略各控制因素交互作用的缺陷。

(2)主成分分析中得出的主要影響因素與修正評(píng)價(jià)函數(shù)Y*給出的主要影響因素具有較大差異。究其原因，由于主成分分析的缺陷所致，使其結(jié)果重復(fù)評(píng)價(jià)了某些影響因素的作用。

(3)針對(duì)主成分分析的缺點(diǎn)對(duì)試驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行了基于復(fù)共線性診斷的多元線性回歸分析，得出了2組多元線性相關(guān)關(guān)系。由于這2組線性相關(guān)關(guān)系的存在使得主成分分析的結(jié)果存在一定程度的偏差。

(4)修正評(píng)價(jià)函數(shù)Y*給出了最終的評(píng)價(jià)結(jié)果：地應(yīng)力、矩形巷道斷面尺寸和復(fù)合頂板各分層厚度是復(fù)合頂板變形失穩(wěn)的3個(gè)主要控制因素。