朱榮武（特級(jí)教師）

【教學(xué)內(nèi)容】

蘇教版五年級(jí)下冊(cè)第66、67頁(yè)。

【教學(xué)片斷與思考】

一、推理素養(yǎng)培育，現(xiàn)狀如何？

推理，是人們工作和生活必備的素養(yǎng)與能力。但在筆者所見(jiàn)的一線教學(xué)中，推理能力培養(yǎng)仍然像“空中花園”，美麗而又虛無(wú)縹緲。人們一邊承認(rèn)和贊嘆培育推理素養(yǎng)的價(jià)值和作用，一邊又將其培養(yǎng)任務(wù)束之高閣，致使培養(yǎng)目標(biāo)落空。推理素養(yǎng)的培育不僅要有觀念上的認(rèn)知認(rèn)同，還要有前瞻性的培育路徑架構(gòu)，更要有務(wù)實(shí)的教學(xué)引領(lǐng)和精準(zhǔn)的思維引領(lǐng)。要依據(jù)教學(xué)內(nèi)容，建立課時(shí)、學(xué)期、學(xué)年的推理素養(yǎng)培育目標(biāo)體系，要在教學(xué)中通過(guò)推理思維的具體分析來(lái)設(shè)計(jì)和組織數(shù)學(xué)活動(dòng)，讓學(xué)生在推理思維的親歷中獲得方法、體驗(yàn)與經(jīng)驗(yàn)，從而切實(shí)發(fā)展推理素養(yǎng)。

二、深度學(xué)習(xí)，深在何處？

深，不等于難、不在于多。深應(yīng)深在對(duì)知識(shí)原理的理解上，深在對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的感知感悟上，深在思維過(guò)程的“更清晰、更深入、更全面、更合理”上。分?jǐn)?shù)基本性質(zhì)的發(fā)現(xiàn)過(guò)程主要是一個(gè)合情推理的過(guò)程，既要讓學(xué)生經(jīng)歷“現(xiàn)象——發(fā)現(xiàn)——猜想”的歸納推理思維過(guò)程，還要讓學(xué)生經(jīng)歷“從商不變規(guī)律到分?jǐn)?shù)基本性質(zhì)”的這種由此及彼的類(lèi)比推理過(guò)程。在此過(guò)程中，既要讓學(xué)生體會(huì)“發(fā)現(xiàn)”的樂(lè)趣，還要讓學(xué)生擁有對(duì)“發(fā)現(xiàn)”負(fù)責(zé)的態(tài)度和改變或修正“發(fā)現(xiàn)”的勇氣以及理智。同時(shí)，依據(jù)對(duì)大量類(lèi)似現(xiàn)象的觀察、比較、抽象、概括，進(jìn)而發(fā)現(xiàn)并提出猜想，更是深度思維的行進(jìn)過(guò)程。

三、發(fā)現(xiàn)分?jǐn)?shù)基本性質(zhì)的內(nèi)在思維線索是什么？

從商不變的規(guī)律到小數(shù)的性質(zhì)再到分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)，這些規(guī)律都是“從變中把握不變”的發(fā)現(xiàn)思維結(jié)果。讓學(xué)生從熟悉的舊知入手，再一次體會(huì)并應(yīng)用這一思維方法去發(fā)現(xiàn)新的規(guī)律，思維方法的再現(xiàn)和遷移不僅能將學(xué)生帶到“最近發(fā)展區(qū)”，而且能有效激發(fā)學(xué)生的認(rèn)知?jiǎng)訖C(jī)，為新的發(fā)現(xiàn)活動(dòng)鋪設(shè)一條思維路徑，讓探究發(fā)現(xiàn)之路“有法可依”“有杖可拄”。

四、猜想要教嗎？

從數(shù)學(xué)思維的活動(dòng)過(guò)程看，人們依據(jù)對(duì)現(xiàn)象的思考、質(zhì)疑，發(fā)現(xiàn)有規(guī)律存在并嘗試用語(yǔ)言來(lái)描述，這即是發(fā)現(xiàn)問(wèn)題的過(guò)程，對(duì)發(fā)現(xiàn)的問(wèn)題進(jìn)行物化整理得到一個(gè)結(jié)論性的內(nèi)容即提出問(wèn)題，這一結(jié)論性的內(nèi)容就是一個(gè)有待驗(yàn)證的數(shù)學(xué)命題。這樣，猜想也就誕生了，猜想的提出是思維創(chuàng)新的結(jié)果，具有十分重要的教育價(jià)值。兒童天生有猜想的沖動(dòng)，但在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中，猜想動(dòng)機(jī)需要教師激發(fā)、猜想過(guò)程需要教師引領(lǐng)、猜想方法需要教師教授。誠(chéng)如波利亞所言：我不相信有十拿九穩(wěn)的方法，用它可以學(xué)會(huì)猜測(cè)……有效地應(yīng)用合情推理是一種實(shí)際技能，并且像任何其他實(shí)際技能一樣，要通過(guò)模仿和練習(xí)來(lái)學(xué)會(huì)它。探索發(fā)現(xiàn)分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)時(shí)，教師要盡可能地引領(lǐng)學(xué)生經(jīng)歷“原生態(tài)的”發(fā)現(xiàn)思維過(guò)程，鼓勵(lì)和引導(dǎo)學(xué)生展開(kāi)觀察比較、質(zhì)疑反思、抽象概括等思維活動(dòng)，感受猜想過(guò)程，積累猜想經(jīng)驗(yàn)，在猜想活動(dòng)中學(xué)會(huì)猜想。

基于以上思考，我在教學(xué)中進(jìn)行了如下嘗試。

●教學(xué)片斷一：

問(wèn)題一：觀察這幾組式子“6÷2→60÷20 和36÷18→6÷3”，你發(fā)現(xiàn)什么變了？是怎樣變的？什么沒(méi)變？

問(wèn)題二：0.1=（）寫(xiě)出一組等式，看看什么變了？是怎樣變的？什么沒(méi)變？

（學(xué)生獨(dú)立研究后，開(kāi)始全班交流問(wèn)題）

生：我發(fā)現(xiàn)每組式子中被除數(shù)和除數(shù)都變了，商都沒(méi)變。

生：第一組式子中被除數(shù)和除數(shù)同時(shí)乘10，第二組式子中被除數(shù)和除數(shù)同時(shí)除以6。

生：我想到了商不變的規(guī)律——被除數(shù)和除數(shù)同時(shí)乘或除以一個(gè)相同的數(shù)（0 除外），商不變。

師：是?。∩滩蛔兊囊?guī)律就是從大量除法式子的變與不變的研究中歸納發(fā)現(xiàn)的。第二個(gè)問(wèn)題呢？

生：0.1=0.10=0.100=0.1000=0.10000……可以寫(xiě)出無(wú)數(shù)個(gè)。

生：這里雖然小數(shù)末尾的0的個(gè)數(shù)逐個(gè)增多，但小數(shù)的大小是不變的。

生：我想到的是小數(shù)的性質(zhì)——小數(shù)的末尾添上0 或去掉0，小數(shù)的大小不變。

師：是的。小數(shù)的性質(zhì)也是從大量變與不變的例子中研究發(fā)現(xiàn)的?？磥?lái)，研究數(shù)學(xué)現(xiàn)象的變化特點(diǎn)，從變中把握不變，是發(fā)現(xiàn)規(guī)律的重要方法和途徑。

【思考：從數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)論的角度看，小數(shù)的性質(zhì)和商不變的規(guī)律都是數(shù)學(xué)抽象和概括共同作用的結(jié)果。學(xué)習(xí)者從“6÷2=60÷20、0.1=0.10=0.100”等特例入手，基于感性認(rèn)識(shí)，通過(guò)分析和舍棄，抽出共同點(diǎn)撇開(kāi)差異點(diǎn)，得到具體事物的簡(jiǎn)單本質(zhì)性的認(rèn)識(shí)，然后把這些簡(jiǎn)單本質(zhì)性的認(rèn)識(shí)聯(lián)系起來(lái)，通過(guò)歸納邏輯推廣到同類(lèi)事物，從而形成一種普遍性的認(rèn)識(shí)。在這一認(rèn)知過(guò)程中，認(rèn)知發(fā)現(xiàn)的思維起點(diǎn)和線索都是“于變中把握不變”，學(xué)生在學(xué)習(xí)小數(shù)的性質(zhì)和商不變規(guī)律的時(shí)候已經(jīng)在不經(jīng)意間應(yīng)用到了這一思維方法，對(duì)此已經(jīng)有了較為深刻的體驗(yàn)，積累了相關(guān)思維經(jīng)驗(yàn)。本節(jié)課通過(guò)兩個(gè)研究問(wèn)題再一次喚醒這一思維方法和經(jīng)驗(yàn)，并讓學(xué)生在對(duì)這兩個(gè)規(guī)律發(fā)現(xiàn)過(guò)程和方法的比較、歸納中獲得“研究數(shù)學(xué)現(xiàn)象的變化特點(diǎn)，從變中把握不變，是發(fā)現(xiàn)規(guī)律的重要方法和途徑”這一方法性認(rèn)知，思維方法、經(jīng)驗(yàn)的再現(xiàn)和重組，優(yōu)化了學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)和方法系統(tǒng)，讓思維水平再一次得到了切實(shí)提升。這些，為本節(jié)課的學(xué)習(xí)奠定了堅(jiān)實(shí)的方法基礎(chǔ)?！?/p>

●教學(xué)片斷二：

師：這兩個(gè)圓前后什么變了？什么沒(méi)變？

生：這里平均分的份數(shù)變了，從3 份變到6 份再變到9 份，圓的大小沒(méi)變。

生：涂色部分的大小也沒(méi)變。

師：比較這些分?jǐn)?shù)，你有什么發(fā)現(xiàn)？

生：它們是相等的。

師：相等？這怎么可能？它們的分子和分母都不一樣??？

生：雖然它們的分子分母不同，但表示涂色部分的大小是一樣的。

生：是的，涂色部分的大小始終是沒(méi)變的。

生：無(wú)數(shù)個(gè)。

（學(xué)生在《學(xué)習(xí)單》上先研究再交流展示）

生：從左往右看，這里分子分母都乘了2、4，反過(guò)來(lái)都除以了2、4。結(jié)果還是相等的。

師：比較這三組分?jǐn)?shù)的分子分母的變化特點(diǎn)，說(shuō)一說(shuō)它們都是怎么變的？

生：分子分母要乘都乘，要除都除。

生：乘的數(shù)都一樣，除的數(shù)也都一樣。

生：如果乘或除的數(shù)不一樣的話，分?jǐn)?shù)的大小就變了。

生：那個(gè)數(shù)必須是同一個(gè)數(shù)才行，如果是不同的數(shù)，結(jié)果就不一樣了。

師：也就是說(shuō)同時(shí)乘的數(shù)是一個(gè)小數(shù)，分?jǐn)?shù)的大小也不變。

師：通過(guò)剛才的研究，你們能說(shuō)說(shuō)自己有什么發(fā)現(xiàn)嗎？

生：在分?jǐn)?shù)里分子分母變了，但分?jǐn)?shù)仍可以相等。

生：分子分母同時(shí)乘一個(gè)數(shù)，或者同時(shí)除以一個(gè)數(shù)，大小不變。

生：這個(gè)數(shù)必須是同一個(gè)數(shù)。生：而且不能是0。

師：為什么不能是0？

生：因?yàn)? 不能做除數(shù)，也不能做分母。

師：是的。大家能不能把這個(gè)發(fā)現(xiàn)總結(jié)的更簡(jiǎn)潔一些？

……

【思考：猜想的生成總是源自對(duì)特例的觀察，人們對(duì)特例相似性的歸納總結(jié)便初步得出了一個(gè)猜想。然后在好奇心的驅(qū)使下，人們會(huì)不斷地尋找相關(guān)例證來(lái)證實(shí)或證否已有猜想，若進(jìn)一步的例證能夠證實(shí)已有猜想，則猜想的可信度進(jìn)一步得到強(qiáng)化，思維進(jìn)一步清晰，內(nèi)容進(jìn)一步明朗。在此基礎(chǔ)上通過(guò)數(shù)學(xué)語(yǔ)言予以總結(jié)描述，這樣就得到了一個(gè)明確陳述的一般命題，對(duì)命題的進(jìn)一步例證直至證明，猜想才可以成為真理。這即是歸納推理的一般過(guò)程。在兒童的世界里，尤其是在課堂學(xué)習(xí)的環(huán)境下，兒童的思維尚達(dá)不到這樣的自覺(jué)，仍需要教師的引領(lǐng)和引導(dǎo)。本節(jié)課，我以歸納推理的思維過(guò)程為線索，以切實(shí)經(jīng)歷歸納推理的思維過(guò)程為目標(biāo)，帶領(lǐng)學(xué)生經(jīng)歷了“建立特例——觀察——比較——概括——引發(fā)聯(lián)想——初步得出猜想——再次研究特例——強(qiáng)化猜想——?dú)w納總結(jié)”等思維過(guò)程，不僅發(fā)現(xiàn)了數(shù)學(xué)知識(shí)，更積累了“歸納——猜想”的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，進(jìn)一步增強(qiáng)了發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題的能力?！?/p>

●教學(xué)片斷三：

師：同學(xué)們真是厲害！從兩組相等的分?jǐn)?shù)中得到了一個(gè)數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)，為了穩(wěn)妥起見(jiàn)，咱們?cè)僬乙粋€(gè)例子來(lái)驗(yàn)證一下吧。

（呈現(xiàn)下圖）

師：從中你發(fā)現(xiàn)“變與不變”了嗎？

生：我發(fā)現(xiàn)它們的長(zhǎng)度是不變的，單位變了，數(shù)也變了。

生：這三個(gè)分?jǐn)?shù)是相等的。

師：這個(gè)例子能說(shuō)明剛才的發(fā)現(xiàn)是對(duì)的嗎？

生：能！分子分母同時(shí)乘或除以了10、100。

師：現(xiàn)在你們確信這個(gè)發(fā)現(xiàn)是對(duì)的嗎？

生：確信！

師：為什么底氣這么足？

生：因?yàn)槲覀儎倓傃芯窟^(guò)了。

生：因?yàn)榉謹(jǐn)?shù)的分子和分母是同時(shí)乘或除以一個(gè)相同的數(shù)，0除外。

生：因?yàn)檫@些分?jǐn)?shù)的分子分母變了，但是涂色部分的大小是不變的，所以始終相等。

師：是的，同學(xué)們說(shuō)的有道理。但是數(shù)學(xué)家和你們的想法不一樣，他們認(rèn)為雖然在這三組分?jǐn)?shù)中是這樣，但是分?jǐn)?shù)有無(wú)數(shù)個(gè)，得保證所有的分?jǐn)?shù)都有這樣的特點(diǎn)才行，你們覺(jué)得有道理嗎？

生：有道理。如果有的分?jǐn)?shù)不是這樣，那這個(gè)發(fā)現(xiàn)就不對(duì)了。

師：是啊！那怎么辦呢？

生：那就一直研究下去。

生：那不行，這樣你一輩子也研究不完的。

生：那怎么辦？

師：這時(shí)候，就需要想辦法“證明”了。今天老師就帶領(lǐng)大家做一次“證明”好不好？大家還記得除法的商不變規(guī)律吧，分?jǐn)?shù)和除法是有聯(lián)系的，你能用商不變的規(guī)律來(lái)解釋說(shuō)明分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)嗎？

（學(xué)生展開(kāi)說(shuō)理活動(dòng)）

【思考：一個(gè)數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)（猜想）是否正確，還需要驗(yàn)證，這一點(diǎn)學(xué)生是理解并認(rèn)同的，這說(shuō)明五年級(jí)的學(xué)生已經(jīng)具備了一定的科學(xué)態(tài)度和理性精神。但這種態(tài)度和精神尚有局限性，其一他們認(rèn)為驗(yàn)證就是繼續(xù)舉例，方法欠缺；其二他們認(rèn)為只要再找到若干正例即可說(shuō)明發(fā)現(xiàn)是對(duì)的，嚴(yán)謹(jǐn)性不足。于是在以1 分米的長(zhǎng)度為例驗(yàn)證后，我和學(xué)生展開(kāi)進(jìn)一步的對(duì)話，并以數(shù)學(xué)家的想法讓學(xué)生知道：驗(yàn)證，還有很多工作要做。這種“理智上的誠(chéng)實(shí)”品質(zhì)是需要結(jié)合具體的學(xué)習(xí)活動(dòng)來(lái)培養(yǎng)的。在學(xué)生思維受阻之時(shí)，及時(shí)引出“證明”這一邏輯論證方式，盡管學(xué)生尚不理解證明的真正內(nèi)涵，但至少可以知道：“證明”是一種有效而且必要的方法過(guò)程。用商不變規(guī)律來(lái)解釋說(shuō)明，這本質(zhì)上是一個(gè)類(lèi)比推理的過(guò)程，雖算不上嚴(yán)格意義的證明，卻以兒童可接受的方式經(jīng)歷了“證明”過(guò)程，并對(duì)類(lèi)比推理的思維過(guò)程和方法有了深刻的體驗(yàn)?！?/p>