吳巧娜

解決問題是小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的重要內(nèi)容，其中兩步計(jì)算解決問題種類繁多。在基本的“加減乘除”四種關(guān)系式中，可以組合成“加加、加減、乘除、除加”等16 種復(fù)合關(guān)系。而每種復(fù)合關(guān)系，還可以細(xì)化成多種類型。張?zhí)煨⒔淌跒閲鴥?nèi)從20 世紀(jì)50年代末至今的所有通用教材中的應(yīng)用題做了幾千張卡片，進(jìn)行分析、比較、研究后得出：兩步復(fù)合應(yīng)用題從數(shù)量關(guān)系來看，大致有93 種題型。筆者所在的團(tuán)隊(duì)對(duì)照這93 種題型，找出了人教版中所有的兩步計(jì)算應(yīng)用題，進(jìn)行了初步的整理，形成了一份93 題的樣卷。對(duì)8 個(gè)學(xué)校（城區(qū)、鄉(xiāng)鎮(zhèn)各4 個(gè)）共641 名四年級(jí)學(xué)生進(jìn)行了第一次測(cè)試調(diào)查，結(jié)果統(tǒng)計(jì)后發(fā)現(xiàn)：錯(cuò)誤主要集中在“比多比少”“倍數(shù)問題”這兩類問題當(dāng)中。

這兩類解決問題的起始教學(xué)都在第一學(xué)段，那么第一學(xué)段的學(xué)生解決這些問題又會(huì)是怎樣的情況？第二次調(diào)查測(cè)試由此展開：這次調(diào)查對(duì)象是三年級(jí)共158 名學(xué)生，從中挑選了兩類問題當(dāng)中典型的20 道錯(cuò)題，統(tǒng)計(jì)后發(fā)現(xiàn)：三年級(jí)的得分率竟然反超了四年級(jí)。本文試著對(duì)這兩類解決問題的檢測(cè)情況進(jìn)行分析，結(jié)合教材編排、教學(xué)方式尋找錯(cuò)因，以期獲得相應(yīng)的解決策略。

比多比少典型錯(cuò)題展示錯(cuò)題 得分率 錯(cuò)誤展示 錯(cuò)因分析四年級(jí) 三年級(jí)一班和二班共有78 個(gè)學(xué)生，一班40 個(gè)學(xué)生，二班比三班少4 個(gè)學(xué)生，三班有多少個(gè)學(xué)生？75.9% 80.5%78-40=38 個(gè)38-4=34 個(gè)梨有34 個(gè)，蘋果18個(gè)，橙子31 個(gè)，橙子比梨和蘋果個(gè)數(shù)的差多多少個(gè)？24.7% 56.2%34+8=52（個(gè)）52-31=21（個(gè)）少、和、差等關(guān)鍵詞產(chǎn)生了強(qiáng)烈的思維定勢(shì)。學(xué)生對(duì)關(guān)鍵詞孤立地理解，而沒有去深究它們之間的數(shù)量關(guān)系。

71.7% 70.3%倍數(shù)問題商店運(yùn)來一批紅糖，賣出20 千克，賣出的是剩下的4 倍。這批紅糖一共有多少千克？20×4=80 千克80+20=100 千克參加合唱隊(duì)的人數(shù)是舞蹈隊(duì)的3 倍，參加合唱隊(duì)有75 人，參加器樂隊(duì)的人數(shù)比舞蹈隊(duì)少8 人。參加器樂隊(duì)的有多少人？55.6% 67.5%3×75=225 人225-8=217 人把“一倍數(shù)”當(dāng)成“幾倍數(shù)”，而當(dāng)題中的信息表述順序顛倒時(shí)，這個(gè)錯(cuò)誤就更明顯了。

【教學(xué)過程】

一、教材梳理

對(duì)于這兩類解決問題，人教版教材的教學(xué)布局如何？第一學(xué)段的教學(xué)對(duì)于第二學(xué)段的學(xué)習(xí)又會(huì)有怎樣的影響？仔細(xì)翻閱教材，發(fā)現(xiàn)人教版中關(guān)于兩步計(jì)算解決問題集中編排在三年級(jí)，統(tǒng)計(jì)了這5 冊(cè)的教材編排分布與題量設(shè)置情況：

三年級(jí)上冊(cè)19 題，以“乘除”和“除乘”為主，解決的是歸一、歸總問題。

三年級(jí)下冊(cè)31 題，以“乘乘”和“除除”為主，解決的是連乘和連除問題。

四年級(jí)上冊(cè)7 題，編排零散，題量較少。

比多比少 倍數(shù)問題內(nèi)容 相差數(shù) 求比一個(gè)數(shù)多幾或少幾 倍的認(rèn)識(shí)冊(cè)數(shù) 一年級(jí)下冊(cè) 二年級(jí)上冊(cè) 三年級(jí)上冊(cè)題量（包括例題、練習(xí)和總復(fù)習(xí)） 9 題 10 題 8 題沒有編排 A 與B相差幾個(gè)？A 有15 個(gè)，A 比B 少4 個(gè)或A 比B 多4 個(gè)，求B 有多少？求一倍數(shù)的問題

通過對(duì)教材編排情況的梳理，筆者發(fā)現(xiàn)：教材編排較散、題量不足、題型欠缺、問題過于單一、缺乏逆向思維的引導(dǎo)、關(guān)鍵詞引起的思維定勢(shì)，都是導(dǎo)致學(xué)生解決問題能力不足的主要原因，三、四年級(jí)成績(jī)反超也有跡可循。

二、原因診斷

1.教學(xué)中的關(guān)鍵詞機(jī)械強(qiáng)化，缺乏聯(lián)想。

在學(xué)習(xí)解決問題的初期，教材其實(shí)一直都在給學(xué)生進(jìn)行關(guān)鍵詞的強(qiáng)化，譬如在學(xué)習(xí)用加法解決問題時(shí)，一般都有“加、和、一共、……比……多”等明確指向加法策略的關(guān)鍵詞。同樣在學(xué)習(xí)減法解決問題時(shí)，也有“吃掉、還剩、賣出、……比……少”等明確指向減法策略的關(guān)鍵詞，特別是“多和少”，學(xué)生的腦海中這兩個(gè)關(guān)鍵字應(yīng)該是最根深蒂固的了。而低段教材中解決問題解答方式都與關(guān)鍵詞的字面指向意思相同，這就使學(xué)生不斷地在進(jìn)行強(qiáng)化，逐漸把關(guān)鍵詞“多、少”優(yōu)化為解決問題的首選策略，成為一種思維定勢(shì)，而忽略數(shù)量之間的關(guān)系分析與思考，對(duì)問題解決往往表現(xiàn)出一種機(jī)械的策略重復(fù)。

要想讓學(xué)生從一個(gè)關(guān)鍵詞馬上聯(lián)想到一個(gè)數(shù)量關(guān)系，腦海中有這類問題的清晰表象，譬如：“少——相差數(shù)——大數(shù)-小數(shù)=相差數(shù)——（）比（）多或少”，這種從一個(gè)字到一組關(guān)系的思維，是需要不斷的積累的。而教材的題量不足、題型欠缺，如果我們按部就班根據(jù)教材進(jìn)行教學(xué)，那么學(xué)生的這種思維反應(yīng)是無法建立的。

2.教學(xué)中的問題過于單一，缺乏整體。

人教版現(xiàn)在對(duì)解決問題已經(jīng)沒有專門的單元編排，而是以基本的數(shù)學(xué)思想方法為主線來選擇和安排教學(xué)內(nèi)容，往往以計(jì)算伴隨著應(yīng)用相融合的形式編排，穿插在不同的單元之中。而且題型比較單一，只有基本題型，缺少變式練習(xí)和逆向練習(xí)。解決問題的整體性不強(qiáng)，這在一定程度上削弱了學(xué)生對(duì)“問題”的敏感性和數(shù)量關(guān)系的分析能力。

對(duì)于解決問題的呈現(xiàn)，教材中不可能對(duì)每種題型都面面俱到，但是必要的題型還是需要涉及的，如：倍的認(rèn)識(shí)中求一倍數(shù)的題型。因?yàn)橹挥姓w呈現(xiàn)，才能幫助學(xué)生在學(xué)習(xí)中建立完整的問題模型。

三、對(duì)癥下藥，形成策略

◆策略一：落實(shí)整體思想，擺脫思維定勢(shì)。

怎樣做才能既揭示出問題自身的規(guī)律，又不至于使它成為一種思維定勢(shì)呢？

給關(guān)鍵詞建立關(guān)聯(lián)、開展關(guān)系訓(xùn)練。引導(dǎo)學(xué)生轉(zhuǎn)換思考角度，從整體上把握，全面觀察數(shù)量之間的關(guān)系，找到問題的關(guān)鍵所在，可以回歸到計(jì)算教學(xué)的原點(diǎn)，從兩數(shù)之間關(guān)系結(jié)構(gòu)的表征著手。

譬如：一年級(jí)下冊(cè)有一類求“原來”的解決問題，是學(xué)習(xí)難點(diǎn)。我們可以把原來、新買、現(xiàn)在這三個(gè)關(guān)鍵詞通過數(shù)的組成和分解建立關(guān)聯(lián)，有了這樣一個(gè)聯(lián)系，學(xué)生就能更清楚地分析這類解決問題的結(jié)構(gòu)。對(duì)解決問題的特點(diǎn)進(jìn)行提煉和概括，學(xué)生的關(guān)注點(diǎn)不再鎖定于表示加減暗示的關(guān)鍵字，而是回到數(shù)量之間的關(guān)系分析與思考，關(guān)注量與量之間的聯(lián)系，從而避免因關(guān)鍵詞誤用而帶來的解題錯(cuò)誤。同時(shí)利用適當(dāng)?shù)念}組訓(xùn)練，對(duì)這三個(gè)關(guān)系進(jìn)行一定的訓(xùn)練，建立通過事情發(fā)展順序的分析，明確“原來”與總數(shù)和部分?jǐn)?shù)的關(guān)聯(lián)，從而避免僅僅依靠對(duì)關(guān)鍵詞的判斷盲目選擇算法，繼而提高學(xué)生根據(jù)問題結(jié)構(gòu)來選擇算法的能力。

◆策略二：借助題組訓(xùn)練，加強(qiáng)逆向思維。

從心理學(xué)的角度來說，學(xué)生都習(xí)慣于順向思考，遇到逆向思考的問題，思維就容易受阻。對(duì)于一些運(yùn)用逆思維解答的數(shù)學(xué)問題，需要通過適當(dāng)?shù)念}組訓(xùn)練，加強(qiáng)學(xué)生的逆向思維，提高學(xué)生根據(jù)問題結(jié)構(gòu)來選擇算法的能力。

以倍數(shù)問題為例，可以通過圖文對(duì)比、圖文轉(zhuǎn)換的題組練習(xí)，逐步建立求一倍數(shù)的模型。同時(shí)注重借助線段圖表征數(shù)量關(guān)系，再通過一個(gè)數(shù)量的修改，又變化出另一組題。這樣兩組題型對(duì)比分析，極力讓學(xué)生找準(zhǔn)一倍數(shù)，直觀地將線段圖與數(shù)量關(guān)系進(jìn)行架構(gòu)，逐漸建立關(guān)于“倍”的完整的問題模型。

任何一個(gè)順向問題都可以變?yōu)槟嫦騿栴}，通過可逆性的變化，問題可以變成條件，條件又可以轉(zhuǎn)化為問題，這樣可以得到一組習(xí)題。在題組的解答過程中，積累從關(guān)鍵詞到一組關(guān)系的思維反應(yīng)，才能更好地構(gòu)建兩步計(jì)算解決問題的完整模型。

解決問題雖然已經(jīng)不再自成體系，而是以基本的數(shù)學(xué)思想方法為主線來選擇和安排教學(xué)內(nèi)容，往往以計(jì)算伴隨著應(yīng)用相融合的形式編排，更加關(guān)注問題的發(fā)現(xiàn)與提出、學(xué)生解決問題策略的多樣化和綜合能力的發(fā)展。所以，作為一線教師的我們，只有透過教材，審視教材，注重對(duì)每一個(gè)獨(dú)立問題的分析和策略的提煉，引導(dǎo)學(xué)生將看似獨(dú)立的若干問題構(gòu)建成一類問題原型。這樣學(xué)生在解決問題時(shí)就不會(huì)表現(xiàn)出機(jī)械的策略重復(fù)，而是能跨越表象看本質(zhì)，通過多元表征得到多樣的解題策略，并將多種解題策略歸于同一類問題解決策略的結(jié)構(gòu)中，形成完整的問題結(jié)構(gòu)，達(dá)到解決一些問題到解決一類問題的目的，提高學(xué)生思維的變通性，讓學(xué)生在解決問題這條路上走得更順、更遠(yuǎn)。