孫曉宇,李志堅

(山西大學 理論物理研究所,山西 太原 030006)

0 引言

量子行走描述了一個粒子在分立的格點空間從初始態(tài)以一定的概率幅向相鄰格點運動的動力學過程,它具有分離時間量子行走[1]和連續(xù)時間量子行走[2]兩種形式,前者的傳播方向由粒子的硬幣態(tài)決定,后者則由不含時的哈密頓量描述。作為經(jīng)典隨機行走在量子力學上的推廣,從一個格點開始演化的量子行走的概率分布不同于經(jīng)典隨機行走擴散而成的高斯分布,量子行走的位置標準偏差正比于時間,表現(xiàn)出彈道傳輸行為。因此,與經(jīng)典隨機行走相比,量子行走表現(xiàn)出許多不同且具有優(yōu)勢的動力學性質(zhì),例如,人們已經(jīng)證明量子行走可以被用來實現(xiàn)量子搜索算法[3],可以作為量子信息理論中的通用計算原胞[4-5]等等。實驗方面,在許多不同的物理系統(tǒng)中已經(jīng)實現(xiàn)了量子行走,例如光學晶格中的超冷原子[6]、囚禁離子[7-8]、核磁共振[9]以及光子系統(tǒng)[10-11]等都可以實現(xiàn)量子行走。這些實驗系統(tǒng)為利用量子行走模擬強關(guān)聯(lián)多體量子系統(tǒng)提供了很好的平臺[12]。

近年來,物理系統(tǒng)的拓撲相及其相關(guān)性質(zhì)引起了人們的廣泛研究[13],除了拓撲絕緣體和拓撲超導(dǎo)體少數(shù)天然材料外,在人工合成系統(tǒng)中也可實現(xiàn)類似的拓撲結(jié)構(gòu)[10,14-17],其中利用分離時間量子行走實現(xiàn)拓撲相引起了人們的極大興趣。一般定義的分離時間量子行走只具有一種非平庸的拓撲相,而劈裂步量子行走表現(xiàn)出更豐富的拓撲相結(jié)構(gòu),通過調(diào)節(jié)外部參數(shù)可以實現(xiàn)平庸與非平庸拓撲相之間的轉(zhuǎn)變[17]。在劈裂步量子行走中,由于能量的周期性,通過選取不同的演化開始時間,系統(tǒng)的拓撲相可以用成對的拓撲不變量來表征,從而確定不同拓撲相的相邊界處能量為0和π的束縛態(tài)的數(shù)目。量子行走系統(tǒng)會受到外界的干擾[18-19],然而在具有手征對稱性的量子行走系統(tǒng)中,當引入不破壞手征對稱性的微擾時,系統(tǒng)的拓撲性質(zhì)具有魯棒性[20]。本文推廣劈裂步量子行走模型,通過Zak相公式證明了平均手征位移可以用來描述系統(tǒng)的拓撲相,進而得到劈裂步量子行走的拓撲相圖,并討論了當微擾存在時平均手征位移的魯棒性。

1 劈裂步量子行走

一般定義的分離時間量子行走的一步演化由硬幣算符Rθ和條件平移算符S相繼作用于其量子態(tài)得到,即

|ψ(t)〉=U(θ)|ψ(t-1)〉,

(1)

U(θ)=S(ΙP?Rθ),

(2)

其中ΙP表示位置空間HP的單位算符,Rθ是硬幣空間HC中的硬幣算符,這里我們以硬幣態(tài)的旋轉(zhuǎn)為硬幣操作,選取

(3)

條件平移算符S的定義為

〈x|?|↑〉〈↑|+|x-1〉〈x|?|↓〉〈↓|).

(4)

分離時間量子行走的態(tài)矢量|ψ(t)〉所處的希爾伯特空間是由位置希爾伯特空間HP和硬幣希爾伯特空間HC構(gòu)成的直積空間,條件平移算符S表明,系統(tǒng)的硬幣態(tài)決定量子行走移動的方向,如果硬幣態(tài)為|↑〉,位于格點x處的粒子向右平移一步到格點x+1,如果硬幣態(tài)為|↓〉,則位于格點x處的粒子向左平移一步到格點x-1。

一般定義的劈裂步量子行走就是將(4)式定義的一步條件平移算符分為只有硬幣態(tài)為|↑〉的粒子向右平移的算符T+和只有硬幣態(tài)為|↓〉的粒子向左平移的算符T-兩次操作,并在二者之間再應(yīng)用一次硬幣態(tài)的旋轉(zhuǎn)操作方程(3),也就是一般定義的劈裂步量子行走的時間演化算符形式為

U(θ1,θ2)=T-(ΙP?Rθ1)T+(ΙP?Rθ2),

(5)

(6)

方程(5)和方程(6)比較,唯一的差別是在前者定義的量子行走中,每演化一步粒子移動到相鄰格點,而在后者定義的量子行走中,每演化一步粒子移動到次近鄰格點,但容易證明方程(6)實際上可以改寫為

(7)

也就是(6)式定義的劈裂步量子行走可等價于由(2)式定義的分離時間量子行走時間演化算符U(θ2)和U(θ1)的連續(xù)兩次操作。

2 劈裂步量子行走的平均手征位移

分離時間量子行走可以看作有效哈密頓量的閃頻模擬器,其演化算符可以用有效哈密頓量Heff作為生成元構(gòu)造,也就是有

(8)

(9)

相應(yīng)地,有效哈密頓量在動量k空間表示為

(10)

其中

(11)

是布洛赫球上的單位矢量,表示系統(tǒng)在硬幣空間的本征態(tài)的極化方向;σ0是二維單位矩陣,σ=(σx,σy,σz)是泡利矩陣;能量E滿足色散關(guān)系

cosE=cos(2k)cosθ1cosθ2-sinθ1sinθ2.

(12)

從方程(11)中容易看出,矢量AΓ={cosθ2,0,sinθ2}垂直于n(k),也就是當動量k在布里淵區(qū)[-π,π]內(nèi)變化時,n(k)繞AΓ且在垂直于AΓ過球心的平面內(nèi)繞布洛赫球旋轉(zhuǎn)。定義手征算符

Γ=A?！う?cosθ2σx+sinθ2σz,

(13)

容易證明Γ滿足Γ=Γ+=Γ-1且Γ-1H(k)Γ=-H(k),這說明劈裂步量子行走具有手征對稱性。在具有手征對稱性的系統(tǒng)中,系統(tǒng)的拓撲結(jié)構(gòu)被手征對稱性所保護,對于一維系統(tǒng),我們可以利用Zak相計算繞數(shù)來表征系統(tǒng)的拓撲結(jié)構(gòu)。Zak相γ由布洛赫球上的單位矢量n(k)定義為

(14)

相應(yīng)的繞數(shù)ν為

(15)

表示當k在布里淵區(qū)變化時,單位矢量n(k)繞AΓ旋轉(zhuǎn)的圈數(shù)。這樣,可以通過Zak相求解繞數(shù)得到系統(tǒng)的拓撲相圖。

除了繞數(shù)之外,我們解析地證明也可以用平均手征位移動力學描述劈裂步量子行走的拓撲相?？紤]粒子初始局域在x=0格點,初態(tài)為|ψ0〉=|0〉?|φ0〉,其中|φ0〉為硬幣態(tài),則t時刻量子行走的平均位移為

(16)

作傅里葉變換,在動量空間中進一步表示為

(17)

相應(yīng)地,平均手征位移C≡〈Γx(t)〉在動量空間中可表示為

(18)

上式的前一項與Zak相γ成正比,后一項是振蕩項,在t→∞的極限下,振蕩項為零。由此可見平均手征位移包含Zak相,且在長時間極限下正比于Zak相。平均手征位移可以作為動力學拓撲不變量來描述系統(tǒng)的拓撲相。另外值得注意的是,在動量空間求平均手征位移時并不需要給出硬幣初始態(tài)的具體形式,平均手征位移與初態(tài)無關(guān)。

(19)

(20)

其中r,r′取值與方程(19)相同。由上式,類似方程(18)可以計算平均手征位移C1和C2,并重新定義

C(0)=C1+C2

C(π)=C1-C2.

(21)

這樣就可以用成對的拓撲不變量(C(0),C(π))來描述系統(tǒng)的拓撲相結(jié)構(gòu),不同拓撲區(qū)域C(0)的差值和C(π)的差值分別對應(yīng)不同拓撲相的相邊界處能量為0和π束縛態(tài)各自的數(shù)目[17]。

Fig.1 Takingand different time stepst,(a),(b) and (c)show the mean chiral displacementC1,C2and topological invariantsC2(C(0),C(π)),respectively,as functions of the coin parameterθ1.In (c), orange and green solid lines are corresponding to topological invariantsC(0) andC(π) whent=7,while the dashed lines are analogue whenttends to ∞.(d) presents the variations of energy dispersion relation for different values ofθ1andθ2圖(c)中橙色和綠色實線(虛線)分別表示演化步數(shù)t=7(t=∞)對應(yīng)的拓撲不變量C(0)和C(π)；圖(d)給出選取不同的θ1和θ2時，能量隨動量變化的色散關(guān)系曲線。圖1 選取和不同的時間演化步數(shù)t=7、∞，圖(a)、(b)和(c)分別給出平均手征位移C1、C2和拓撲不變量(C(0),C(π))隨硬幣參數(shù)θ1的變化曲線

3 平均手征位移的魯棒性

(22)

(a) is the dynamical perturbation case; (b) is the static perturbation case.Fig.2 Takingandthe dashed lines are the mean chiral displacement as functions of the time stepst.The blue and red line are corresponding toandAs a comparison, the solid lines give the ideal cases ofΔ=0. As a reference,dotted lines represent the expected result fort→∞.(a)動態(tài)微擾；(b)靜態(tài)微擾。圖2 選取和藍虛線和紅虛線分別給出當和時，平均手征位移在微擾下隨時間 的變化曲線。藍實線和紅實線對應(yīng)Δ=0的理想情況。作為參考，圖中點線給出t→∞時的預(yù)期理論值。

4 結(jié)論