袁鶴

(吉林師范大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院,吉林 四平 136000)

0 引言

設(shè)R是含有單位元的環(huán)。對于加法映射g:R→R,若存在R上導(dǎo)子d滿足g(xy)=g(x)y+xd(y),則稱g是R上的廣義導(dǎo)子。對于任意的x,y∈R,定義[x,y]=xy-yx.若R上映射f滿足當(dāng)[x,y]=0時(shí)有[f(x),f(y)]=0,則稱f是R上的保交換映射。根據(jù)保交換映射的定義,Bell和Mason[2]給出了強(qiáng)保交換映射的定義:若R上映射f滿足[f(x),f(y)]=[x,y],則稱f在R上是強(qiáng)保交換的。1994年,Bre?ar和Miers[3]證明了半素環(huán)R上強(qiáng)保交換映射f可以表示成f(x)=λx+μ(x),其中λ∈C(R的擴(kuò)展型心),λ2=1(R的單位元)并且μ：R→C是加法映射。2001年，Cheung[4]研究了三角代數(shù)上交換映射的表示形式。之后學(xué)者們從不同的角度研究了三角代數(shù)上的映射[5-16]。2012年,齊霄霏等[15]研究了三角環(huán)上滿足強(qiáng)保交換的滿加法映射的表示形式。接著,本文作者[16]研究了三角環(huán)U上滿足[g1(x),g2(y)]=[x,y]的廣義導(dǎo)子g1,g2的表示形式,證明了在一定條件下g1(x)=λ-1x+[x,u]以及g2(x)=λ2g1(x),其中λ∈Z(U),u∈U.

設(shè)R是一個(gè)環(huán)。對于任意的a,b∈R和正整數(shù)k,定義[a,b]k=[[a,b]k-1,b],其中[a,b]0=a,[a,b]1=ab-ba.若映射f:R→R滿足[f(a),f(b)]k=[a,b]k,則稱f在R上是強(qiáng)k保交換的。齊霄霏[1]研究了素環(huán)上的滿足強(qiáng)2保交換的滿映射的表示形式。本文將推廣齊霄霏[1]的結(jié)果到三角環(huán)上,研究三角環(huán)上的強(qiáng)2保交換廣義導(dǎo)子,證明在一定條件下,三角環(huán)U上的強(qiáng)2保交換廣義導(dǎo)子g可以表示為g(x)=λx+[x,u],其中λ∈Z(U),u∈U并且λ3=1.

1 預(yù)備知識

下面我們給出一些本文將要用到的概念。 設(shè)A和B是交換環(huán)R上有單位元的代數(shù),1A,1B分別是A,B的單位元,M既是左A-忠實(shí)模又是右B-忠實(shí)模,則

在通常的矩陣運(yùn)算下構(gòu)成一個(gè)環(huán)。我們稱U為三角環(huán)。定義投射πA:U→A和πB:U→B分別為

下面我們給出幾個(gè)引理。

引理1 ([17,Theorem 1.4.4])設(shè)U=Tri(A,M,B)是三角環(huán),則U的中心是

Z(U)={a⊕b|am=mb,?m∈M},

并且πA(Z(U))?Z(A),πB(Z(U))?Z(B),存在唯一的同構(gòu)τ:πA(Z(U))→πB(Z(U))滿足am=mτ(a),m∈M.

引理2 ([16,Proposition 2.1])設(shè)U是三角環(huán),g是U上的廣義導(dǎo)子,則對于任意的a∈A,b∈B,m∈M有

其中a0∈A,b0∈B,s,t∈M且

(i)pA是A上的導(dǎo)子,f(am)=pA(a)m+af(m);

(ii)pB是B上的導(dǎo)子,f(mb)=mpB(b)+f(m)b.

引理3 ([18,Theorem 2])設(shè)R是素環(huán),d是R上導(dǎo)子且滿足對于任意的a∈R有ad(a)-d(a)a∈Z(R).若d≠0,則R是交換的。

2 主要結(jié)果

下面我們給出三角環(huán)上強(qiáng)2保交換廣義導(dǎo)子的表示形式。

定理1 設(shè)U是三角環(huán),加法映射g是U上的廣義導(dǎo)子且滿足對于任意的x,y∈U有[[g(x),g(y)],g(y)]=[[x,y],y].若U滿足下列條件之一:

(i)Z2(A)不含A的非零理想;

(ii)Z2(B)不含B的非零理想,

則g(x)=λx+[x,u],其中λ∈Z(U),u∈U且λ3=1.

證明 不失一般性,設(shè)Z2(A)不含A的非零理想。由引理2,對于任意的a∈A,b∈B,m∈M有

其中a0∈A,b0∈B,s,t∈M且

(i)pA是A上的導(dǎo)子,f(am)=pA(a)m+af(m);

(ii)pB是B上的導(dǎo)子,f(mb)=mpB(b)+f(m)b.

由假設(shè),對于任意的a,a′∈A,b,b′∈B,m,m′∈M有

(1)

下面將分三步證明這個(gè)結(jié)果。

第一步:a0⊕b0∈Z(U).

在(1)中取a=b=m′=b′=0,a′=1A,有

即

展開上式,有

(2)

在(1)中取a=b=a′=m′=0,b′=1B,有

即

展開上式,有

(3)

在(1)中取a=b=m′=0,a′=1A,b′=1B,有

即

展開上式,有

由(2)和(3),有

a0(a0m+f(m))b0=m,m∈M.

(4)

在(4)中用mb代替m有

a0(a0mb+f(mb))b0=mb,

即對于任意的b∈B,m∈M有

a0(a0mb+mpB(b)+f(m)b)b0=mb.

在(4)的右邊乘以b,再由b0∈Z(B),有

a0(a0mb+f(m)b)b0=mb.

比較上面兩式,有

a0mpB(b)b0=0.

因?yàn)閍0⊕b0∈Z(U),所以有

再由M是右B-忠實(shí)模,因此有

(5)

在(4)中用am代替m有

a0(a0am+f(am))b0=am,

即對于任意的a∈A,m∈M有

a0(a0am+pA(a)m+af(m))b0=am.

在(4)的左邊乘以a,再由a0∈Z(A),有

a0(a0am+af(m))b0=am.

比較上面兩式,有

a0pA(a)mb0=0.

因?yàn)閍0⊕b0∈Z(U),所以有

再由M是左A-忠實(shí)模,因此對于任意的a∈A有

(6)

在(1)中取m=b=m′=b′=0,對于任意的a,a′∈A有

展開上式,

[[a0a+pA(a),a0a′+pA(a′)],a0a′+pA(a′)]=[[a,a′],a′].

因此

因此f(m)=0.

由(5),對于任意的b∈B有pB(b)=0.類似地,由(6),對于任意的a∈A有pA(a)=0.因此,對于任意的a∈A,b∈B,m∈M有

第三步:t=-s.

在(1)中取m=b=a′=m′=0,a=1A,b′=1B,有

展開上式有(a0t+sb0)b0=0.因?yàn)閍0⊕b0∈Z(U),所以

因此,t=-s.

綜上所述,對于任意的a∈A,b∈B,m∈M有

證畢。

下面我們給出上三角矩陣環(huán)上強(qiáng)2保交換廣義導(dǎo)子的表示形式。

設(shè)n≥2是整數(shù),Tn(S)是含有單位元的環(huán)S上的上三角矩陣環(huán),則Tn(S)可以表示成

其中Sn-1為S上1×(n-1)矩陣空間。

推論1 設(shè)S是含有單位元的不交換素環(huán),Tn(S)是S上的上三角矩陣環(huán)且n≥2.若廣義導(dǎo)子g滿足對于任意的x,y∈Tn(S)有[[g(x),g(y)],g(y)]=[[x,y],y],則g(x)=λx+[x,u],其中λ∈Z(S)In,u∈Tn(S)且λ3=In.

證明 因?yàn)镾是不交換素環(huán),所以S沒有非零中心理想。再由引理3,Z2(S)=Z(S),所以Z2(S)不含S的非零理想。因此,Tn(S)滿足定理1中所有條件.從而g(x)=λx+[x,u],其中λ∈Z(S)In,u∈Tn(S)且λ3=In.

證畢。