胡 聰，趙建平，張仕順，楊 君，徐 娟

（曲阜師范大學，山東 曲阜 273165）

0 引 言

微波濾波器是通信系統(tǒng)必不可少的組成部分。隨著無線通信與微波技術的發(fā)展，系統(tǒng)對微波濾波器的設計要求越來越高。為了滿足不同的需求，需要不斷優(yōu)化濾波器。使用傳統(tǒng)的空間映射方法[1］優(yōu)化設計濾波器時，為了尋找粗模型和細模型之間的對應關系，需要進行復雜的計算，耗費大量的時間，影響濾波器的優(yōu)化效率。因此，尋找一種省時高效的優(yōu)化方法顯得十分重要。

鑒于此，本文提出采用機器學習的方法來得到粗模型和細模型之間的對應關系，使用機器學習代替?zhèn)鹘y(tǒng)空間映射方法的參數(shù)提取過程，以大大減小優(yōu)化濾波器的計算復雜性和優(yōu)化過程所耗費的時間，提高優(yōu)化的效率。

1 基于機器學習的空間映射

1.1 空間映射方法

原始的空間映射方法由John W.Bander等人在1994年首次提出，是一種集電磁場數(shù)值計算方法的精確性和電路理論計算方法的快速性優(yōu)點于一身的優(yōu)化設計方法。

原始空間映射方法假定兩模型設計參數(shù)之間是線性映射關系，但在實際工程中多是非線性問題，導致該方法應用范圍具有局限性。后來，經(jīng)過發(fā)展又相繼提出了主動空間映射方法、置信域主動空間映射方法和隱式空間映射方法等[2］。

在空間映射方法中，一個微波結構被用兩種模型表示[3］：一種是仿真快速、高效，但是仿真結果不精確的粗模型；一種是仿真精度高，但是耗時長的細模型?？臻g映射方法的思想[4］是假定上述兩個模型設計參數(shù)之間存在映射關系，通過構建它們之間的映射關系，把繁瑣冗雜的優(yōu)化工作交給仿真快速高效的粗模型來完成，而細模型只用來驗證優(yōu)化結果是否滿足要求。

空間映射方法的優(yōu)化問題定義為[5］：

其中，R∈ ?m×1是模型的m個響應點組成的f響應矢量，m代表響應時的頻率點；= ?n×1代表由n個參數(shù)組成的參數(shù)矢量；U是合適的目標函數(shù)；是精確空間參數(shù)的待定優(yōu)化值，選取唯一。

設xc和xf分別是粗模型和細模型的設計參數(shù)，Rc和Rf分別是粗模型和細模型的響應，如果能夠找到聯(lián)系細模型和粗模型設計參數(shù)的一個映射P：

使得：

即在細模型中xf參數(shù)下的響應與在粗模型中P(xc)參數(shù)下的響應一致。

這樣就可以通過優(yōu)化粗模型得到其優(yōu)化值，然后對進行映射得到：

王建磐教授師從中國著名數(shù)學家曹錫華教授，于1982年在華東師范大學獲理學博士學位，是新中國首批自己培養(yǎng)的18名博士之一，是中國最早涉獵代數(shù)群與量子群領域的數(shù)學家之一，是代數(shù)群表示的國內(nèi)領軍人物．作為數(shù)學家，除了做數(shù)學研究和培養(yǎng)基礎數(shù)學的博士生之外，他十分關注數(shù)學教育學科的建設與發(fā)展，積極推動中國數(shù)學教育研究國際化．從1999年起，在王建磐和顧泠沅的呼吁和積極組織下，建立了中國第一批數(shù)學教育博士培養(yǎng)點，培養(yǎng)了數(shù)學教育方面的博士．王建磐教授曾任華東師范大學校長，是中國著名的數(shù)學家和教育家．

即可作為細模型優(yōu)化值的近似，從而避免直接對細模型進行優(yōu)化。

1.2 機器學習

在空間映射方法中，最關鍵的部分是粗模型和細模型之間映射關系的確定。本文采用機器學習來構建其映射關系。機器學習的方法眾多[6］，本文采用多分類支持向量機方法[7］。

支持向量機[8］于1963年被提出，在20世紀90年代后得到快速發(fā)展，并衍生出一系列改進和擴展算法，包括多分類SVM、最小二乘SVM（Least-Square SVM，LS-SVM）、支持向量回歸（Support Vector Regression，SVR）、支持向量聚類（Support Vector Clustering）和半監(jiān)督SVM（Semi-Supervised SVM，S3VM）等。

SVM的優(yōu)化問題同時考慮了經(jīng)驗風險和結構風險最小化，因此具有穩(wěn)定性。在進行決策時，支持向量機決策邊界僅由支持向量決定，其余的樣本點不參與經(jīng)驗風險最小化，因此具有稀疏性。在使用核方法的非線性學習中，支持向量機的穩(wěn)健性和稀疏性在確?？煽壳蠼饨Y果的同時降低了核矩陣的計算量和內(nèi)存開銷，并使其具有良好的泛化能力。

需要說明的是，在進行機器學習的過程中，最重要的環(huán)節(jié)是選取樣本。樣本選取的好壞直接影響機器學習的結果。在本文提出的方法中，首先需要給出少量的樣本（至少2組對應關系），然后通過不斷的機器學習過程自動添加樣本。這種方法一方面增加了樣本數(shù)量，使機器學習的結果更精確；另一方面使機器學習的樣本更趨近于優(yōu)化指標。

1.3 基于機器學習的空間映射優(yōu)化流程

（1）給出濾波器性能指標；

（2）優(yōu)化粗模型，找出其最佳設計參量；

（3）給出n個細模型參數(shù)xf(1)、xf(2)…xf(n)，優(yōu)化粗模型，使粗模型響應逼近細模型響應，分別得到粗模型中參數(shù)xc(1)、xc(2)…xc(n)；

（4） 將 參 數(shù)xf(1)、xf(2)…xf(n)和xc(1)、xc(2)…xc(n)作為n組對應關系的樣本添加到支持向量機的機器學習程序中，把最佳設計參量作為目標進行機器學習，得到細模型的參數(shù)；

（5）初始化i=1；

（6）把代入細模型中進行驗證，看優(yōu)化結果是否滿足設計要求，若滿足，則結束優(yōu)化；若不滿足，則優(yōu)化粗模型，使粗模型響應逼近細模型響應，得到粗模型中的參數(shù)；

（7）把和作為一組樣本添加到支持向量機的機器學習程序中，把最佳設計參量作為目標進行機器學習，令i=i+1得到細模型的參數(shù)，轉到步驟（6），直到滿足優(yōu)化指標要求。

2 帶通濾波器優(yōu)化實例

濾波器優(yōu)化指標：

本文要優(yōu)化的濾波器結構示意圖和俯視圖如圖1所示。該濾波器的性能主要與諧振腔微帶線寬度w和諧振腔開口間距大小g有關。由于濾波器結構對稱，因此選取細模型的設計參數(shù)為諧振腔微帶線寬度w和諧振腔開口間距大小g，即xf=[wg］。

圖1 濾波器結構

在ADS軟件中建立濾波器的粗模型（等效電路），如圖2所示。

圖2 濾波器等效電路

選取粗模型的設計參量（電感單位nH，電容單位pF）為：

優(yōu)化粗模型，使其響應滿足上述濾波器優(yōu)化指標，找出其最佳設計參量為：

樣本1的細模型設計參量為w=0.11，g=1.9，即xf(1)=[0.11 1.9］時，細模型響應如圖3（a）所示。優(yōu)化粗模型，使粗模型響應逼近細模型響應，得到粗模型的設計參數(shù)為：

樣本2的細模型設計參量為w=0.17，g=2.1，即xf(2)=[0.17 2.1］時，細模型響應如圖3（b）所示。優(yōu)化粗模型，使粗模型響應逼近細模型響應，得到粗模型的設計參數(shù)為：

圖3 樣本細模型響應

由樣本的細模型響應可見，均不符合優(yōu)化指標。將xf(1)、xc(1)和xf(2)、xc(2)作為兩組對應關系的樣本輸入到支持向量機算法的Matlab程序中，以為目標進行機器學習。在本例中第一次機器學習的輸出預測參量為=[0.14 2］，代入細模型中得到細模型的響應結果如圖4所示。

圖4 第一次機器學習細模型響應

可見，不符合優(yōu)化指標。優(yōu)化粗模型，使粗模型響應逼近細模型響應，得到粗模型的設計參數(shù)為：

將、作為第三組對應關系的樣本添加到支持向量機算法的Matlab程序中，以為目標函數(shù)進行第二次機器學習，輸出預測參量為：

代入細模型，重復上述步驟。

應用基于機器學習的空間映射方法，優(yōu)化過程共進行69次機器學習，圖5給出了方法第68次、第69次機器學習產(chǎn)生的細模型預測參量的細模型響應?？梢园l(fā)現(xiàn)，細模型響應已經(jīng)滿足了優(yōu)化指標，說明利用該方法對濾波器進行優(yōu)化是可行的。

圖5 濾波器細模型響應結果

對于上述濾波器的優(yōu)化，如采用傳統(tǒng)的空間映射方法進行一次參數(shù)提取，過程將耗時1.5 min。而如果采用機器學習的方法代替該過程，只需0.05 s就可完成，明顯減少了參數(shù)提取過程的耗時。但是，利用本文方法對濾波器進行優(yōu)化時，機器學習的次數(shù)會有所增加，這一問題還需下一步研究解決。

3 結 語

本文提出了一種用于優(yōu)化濾波器的基于機器學習的空間映射方法，利用機器學習方法代替?zhèn)鹘y(tǒng)空間映射方法的參數(shù)提取過程，大大節(jié)省了該過程所需要的時間，且通過實例成功地對一帶通濾波器進行了優(yōu)化，結果說明該方法具有可行性。