溫秀蘭　呂仲艷　賀順　王東霞　康傳帥　趙藝兵

摘要 為了提高機(jī)器人末端絕對定位精度，提出了基于改進(jìn)粒子群算法（IPSO）的機(jī)器人幾何參數(shù)標(biāo)定方法.首先，為避免當(dāng)機(jī)器人相鄰兩軸線平行或接近平行時，模型存在奇異性，建立了串聯(lián)機(jī)器人MDH模型;其次，針對機(jī)器人幾何參數(shù)標(biāo)定特點，提出用改進(jìn)粒子群算法優(yōu)化標(biāo)定機(jī)器人幾何參數(shù)，其中粒子初始位置和速度由擬隨機(jī)Halton序列產(chǎn)生，采用濃縮因子法修改粒子飛行速度，建立了用IPSO標(biāo)定機(jī)器人幾何參數(shù)目標(biāo)函數(shù)數(shù)學(xué)模型，確立了用該算法優(yōu)化標(biāo)定幾何參數(shù)的具體步驟.通過對ER10L-C10工業(yè)機(jī)器人仿真與實測標(biāo)定，結(jié)果證實：采用該方法能夠快速標(biāo)定機(jī)器人幾何參數(shù)，經(jīng)標(biāo)定后的機(jī)器人末端絕對定位精度有大幅提高.該算法簡單，魯棒性強(qiáng)，易于在工業(yè)機(jī)器人標(biāo)定中推廣應(yīng)用.

關(guān)鍵詞 機(jī)器人;幾何參數(shù)標(biāo)定;改進(jìn)粒子群算法;絕對定位精度

中圖分類號 TP391;TB92

文獻(xiàn)標(biāo)志碼 A

0 引言

高端制造業(yè)的持續(xù)發(fā)展提高了對工業(yè)機(jī)器人的精度要求，尤其是在激光焊接、激光切割以及航空航天等應(yīng)用領(lǐng)域.工業(yè)機(jī)器人定位性能的衡量指標(biāo)主要有重復(fù)定位精度和絕對定位精度[1].目前工業(yè)機(jī)器人的重復(fù)定位精度可達(dá)到0.02～0.1 mm，而絕對定位精度僅為毫米級.傳統(tǒng)的機(jī)器人在制造業(yè)中主要擔(dān)任著一些重復(fù)性的簡單工作，而且多采用示教再現(xiàn)的模式.這類工作的特點是僅需要機(jī)器人多次重復(fù)到達(dá)同一位置，因此機(jī)器人的高重復(fù)定位精度起了很大作用[2-3].隨著機(jī)器人在航空航天、柔性制造等領(lǐng)域應(yīng)用日漸廣泛，對機(jī)器人系統(tǒng)的高精度控制提出了更嚴(yán)格的要求，與其現(xiàn)有的絕對定位精度及定位穩(wěn)定性之間存在突出的矛盾.機(jī)器人標(biāo)定能夠較好地提高機(jī)器人的絕對定位精度[4-5].機(jī)器人標(biāo)定分為關(guān)節(jié)級標(biāo)定、幾何參數(shù)（即運(yùn)動學(xué)）標(biāo)定與非幾何參數(shù)（非運(yùn)動學(xué)）標(biāo)定.由于機(jī)械加工誤差、裝配誤差、磨損等因素影響，使得工業(yè)機(jī)器人實際參數(shù)和理論設(shè)計參數(shù)存在著偏差，導(dǎo)致其工作性能降低，而且由于結(jié)構(gòu)特征、安裝位姿等要素的影響，現(xiàn)場直接測量獲得的機(jī)器人結(jié)構(gòu)參數(shù)往往不夠準(zhǔn)確，直接導(dǎo)致了末端位姿精度的降低[6].研究發(fā)現(xiàn)，機(jī)器人幾何參數(shù)誤差是影響機(jī)器人作業(yè)精度的主要誤差源，約占總誤差的90%，通過對機(jī)器人幾何參數(shù)的標(biāo)定，可以有效提高機(jī)器人定位精度[7].因此機(jī)器人幾何參數(shù)標(biāo)定問題是機(jī)器人高精度定位控制的基礎(chǔ)和核心問題，也是機(jī)器人領(lǐng)域的難點問題[8].

機(jī)器人幾何參數(shù)標(biāo)定通常分為建模、測量、辨識和補(bǔ)償4步.其中，DH模型是常用的幾何參數(shù)模型之一，該模型通過齊次變換矩陣來描述相鄰連桿之間的空間關(guān)系.但是，當(dāng)機(jī)器人相鄰關(guān)節(jié)旋轉(zhuǎn)軸線平行或接近平行及垂直或接近垂直時出現(xiàn)奇異點，無法滿足模型連續(xù)性的要求，直接影響標(biāo)定結(jié)果的準(zhǔn)確性.為了解決該問題，在傳統(tǒng)的DH模型基礎(chǔ)上Hayati提出了改進(jìn)的DH模型（MDH模型）[9]，通過增加一個旋轉(zhuǎn)參數(shù)，彌補(bǔ)了DH模型的缺陷，解決了相鄰關(guān)節(jié)旋轉(zhuǎn)軸線平行或接近平行時出現(xiàn)奇異點的問題[10].辨識是從測量數(shù)據(jù)中獲取機(jī)器人實際模型參數(shù)信息的過程，其辨識的結(jié)果對機(jī)器人絕對定位精度的提高有直接影響.傳統(tǒng)的辨識方法有最小二乘法、LM 方法、卡爾曼濾波法等.考慮到幾何參數(shù)標(biāo)定屬于復(fù)雜的非線性優(yōu)化問題，智能計算在解決復(fù)雜優(yōu)化問題時有獨(dú)到之處，因此，近年來已有學(xué)者嘗試將遺傳算法、粒子群優(yōu)化算法等智能計算應(yīng)用于對機(jī)器人參數(shù)辨識并取得了一定效果[11-14].其中：文獻(xiàn)[11]建立了六自由度機(jī)器人的MDH模型，通過計算種群的適應(yīng)值按照賭輪法選擇個體，根據(jù)事先設(shè)定的概率進(jìn)行交叉和變異操作，通過仿真證實了算法的有效性;文獻(xiàn)[12]提出了基于改進(jìn)遺傳算法的空間機(jī)器人動力學(xué)參數(shù)辨識研究;文獻(xiàn)[13]提出通過采用擴(kuò)展卡爾曼濾波和神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法提高機(jī)器人標(biāo)定精度;文獻(xiàn)[14]利用閉環(huán)矢量鏈法和DH矩陣法分別建立并聯(lián)機(jī)器人和串聯(lián)機(jī)器人的運(yùn)動學(xué)誤差模型，采用量子粒子群優(yōu)化算法對五軸并聯(lián)機(jī)床幾何參數(shù)進(jìn)行實驗標(biāo)定.總結(jié)現(xiàn)有研究結(jié)果發(fā)現(xiàn)，目前將智能計算用于機(jī)器人幾何參數(shù)標(biāo)定，多是通過仿真結(jié)果驗證算法的有效性.本文建立了串聯(lián)機(jī)器人MDH模型，提出將基于擬隨機(jī)序列產(chǎn)生初始位置和濃縮因子法修改粒子速度的改進(jìn)粒子群算法用于機(jī)器人幾何參數(shù)標(biāo)定，通過仿真實驗和實測機(jī)器人來提高機(jī)器人絕對位置精度.

1 機(jī)器人幾何參數(shù)標(biāo)定的數(shù)學(xué)模型

1.1 MDH模型建立

機(jī)器人常用模型為DH模型，該模型當(dāng)機(jī)器人相鄰兩軸平行或接近平行時存在奇異性，為解決該問題，本文建立圖1所示串聯(lián)機(jī)器人MDH模型.

依據(jù)MDH模型可以得到機(jī)器人連桿相鄰坐標(biāo)系之間的變換關(guān)系[15]，即：

式中ai，di，αi，θi，βi分別表示機(jī)器人第i個關(guān)節(jié)的連桿長度、連桿偏距、關(guān)節(jié)扭角、關(guān)節(jié)角及關(guān)節(jié)扭角的名義值，i=1，2，…，n，n為關(guān)節(jié)數(shù)目，s和c分別表示sin和cos的縮寫.機(jī)器人末端的名義位姿可由名義位姿矩陣Tn求取：

式（2）中，Rn∈R3×3和Pn∈R3×1分別為名義姿態(tài)旋轉(zhuǎn)和位置平移矩陣.由式（1）和（2）可見，機(jī)器人末端位姿是機(jī)器人幾何參數(shù)ai，di，αi，βi及關(guān)節(jié)角θi的函數(shù).當(dāng)幾何參數(shù)ai，di，αi，βi，θi存在誤差Δai，Δdi，Δαi，Δβi，Δθi時，機(jī)器人末端實際位姿可由實際轉(zhuǎn)換矩陣Tr計算：

根據(jù)機(jī)器人微分運(yùn)動學(xué)原理，機(jī)器人末端的位姿變化矩陣dT可以用相對于基坐標(biāo)系的微分變換矩陣μ以及名義位姿矩陣Tn表示為

其中微分變換矩陣μ可表示為

式（5）中d=（dx，dy，dz）T代表一階微分平移向量，δr代表一階微分旋轉(zhuǎn)矩陣，其中Δδ=（δx，δy，δz）T表示機(jī)器人末端實際姿態(tài)相對于名義姿態(tài)的誤差.

將式（2）、（5）代入式（4）得：

式中Δp=（δpx，δpy，δpz）T代表機(jī)器人末端實際位置相對名義位置的誤差.

1.2 目標(biāo)函數(shù)

采用改進(jìn)粒子群算法搜索優(yōu)化機(jī)器人幾何參數(shù)誤差時，其目標(biāo)函數(shù)定義為

式（7）中N為標(biāo)定點數(shù)目，k為調(diào)節(jié)因子.由式 （1）—（7）可見，f是幾何參數(shù)誤差集（Δai，Δdi，Δαi，Δβi，Δθi）的函數(shù)，機(jī)器人幾何參數(shù)標(biāo)定實質(zhì)是通過設(shè)定機(jī)器人在不同組關(guān)節(jié)角（θ1j，θ2j，θ3j，θ4j，θ5j，θ6j）下獲得其末端位置和姿態(tài)的實際值與名義值的誤差，通過優(yōu)化搜索機(jī)器人幾何參數(shù)誤差集（Δai，Δdi，Δαi，Δβi，Δθi），使目標(biāo)函數(shù)f為最小.例如圖1所示待標(biāo)定的六自由度串聯(lián)機(jī)器人，因第 2、3 軸線在理論上是互相平行的，參數(shù)d2，β1，β3，β4，β5，β6不需要辨識，因此待優(yōu)化的幾何參數(shù)誤差為

Δa1，Δa2，Δa3，Δa4，Δa5，Δa6，Δd1，Δd3，Δd4，Δd5，Δd6，Δα1，Δα2，Δα3，Δα4，Δα5，Δα6，Δβ2，Δθ1，Δθ2，Δθ3，Δθ4，Δθ5，Δθ6，共24個參數(shù)，屬于復(fù)雜約束的非線性優(yōu)化問題，非常適宜于用粒子群算法求解.

2 改進(jìn)粒子群算法用于幾何參數(shù)標(biāo)定

粒子群算法是由J.Kennedy和R.C.Eberhart提出的一種新的智能算法.其優(yōu)化機(jī)理也是從隨機(jī)解出發(fā)，根據(jù)適應(yīng)度或目標(biāo)函數(shù)來評價解的品質(zhì)，通過追隨當(dāng)前搜索到的最優(yōu)值來尋找全局最優(yōu)解.該算法以其實現(xiàn)容易、精度高、收斂快等優(yōu)點引起了學(xué)術(shù)界的重視，在移動機(jī)器人路徑規(guī)劃、基于網(wǎng)絡(luò)的數(shù)據(jù)分類、Lévy 噪聲數(shù)據(jù)擬合等實際工程問題中得到成功應(yīng)用[16-18].

2.1 擬隨機(jī)Halton序列

考慮到傳統(tǒng)粒子群算法中粒子的初始位置采用偽隨機(jī)數(shù)隨機(jī)產(chǎn)生，而偽隨機(jī)數(shù)序列隨機(jī)性過強(qiáng)而均勻性不足，比偽隨機(jī)數(shù)序列更加均勻地充滿采樣空間的序列是擬隨機(jī)數(shù)，可以加快收斂速度.本文采用擬隨機(jī)Halton序列在區(qū)間[0，1]上產(chǎn)生參數(shù)值ti（i=1，2，…，M），M通常取足夠大的值使ti均勻地充滿采樣空間[0，1]，表示如下：

Halton序列中的第k個元素由式（9）求得.

2.2 基于IPSO的機(jī)器人幾何參數(shù)標(biāo)定

用IPSO標(biāo)定機(jī)器人幾何參數(shù)誤差時，粒子的速度由下述濃縮因子法修改：

vt+1i=K（vti+C1r1（ptbest，i-pti）+C2r2（gtbest-pti）），

其中φ=c1+c2，φ>4，vti 和pti 分別為第i個粒子在第t代的速度和位置，r1 、r2為[0，1]之間均勻分布隨機(jī)數(shù)，c1、c2 為加速系數(shù)，決定了第i個粒子飛向局部最優(yōu)個體ptbest，i 和全局最優(yōu)個體gtbest的能力，粒子的收斂速度由φ控制.

采用IPSO標(biāo)定機(jī)器人幾何參數(shù)步驟如下：

步驟1.設(shè)置算法初始化控制參數(shù).

步驟2.輸入被標(biāo)定機(jī)器人幾何參數(shù)的名義值.

步驟3.生成粒子的初始位置和初始速度.

采用擬隨機(jī)Halton序列產(chǎn)生兩組psize×N維的實數(shù)向量作為粒子的初始位置pti 和初始速度vti，i=1，2，…，psize，psize為種群規(guī)模，N為待優(yōu)化變量的個數(shù);t=1時設(shè)定粒子i的初始位置為其最優(yōu)位置ptbest，i，選取初始粒子中目標(biāo)函數(shù)值最小的粒子的位置作為初始全局最佳粒子位置gtbest.

步驟4.根據(jù)機(jī)器人所有標(biāo)定點關(guān)節(jié)角、實測位姿及名義位姿計算粒子的目標(biāo)函數(shù)值f（pti），目標(biāo)函數(shù)值越小，粒子越趨于最優(yōu)解..

步驟5.采用式（10）濃縮因子法修改粒子速度vt+1i.

步驟6.根據(jù)修改后的粒子速度改變粒子位置pt+1i.

pt+1i=pti+vt+1i Δt，

其中Δt 是時間步長，設(shè)置為1，

步驟7.計算粒子位置改變后的所有粒子目標(biāo)函數(shù)值f（pt+1i）.

步驟8.更新局部最佳粒子位置ptbest，i.

步驟9.更新全局最佳粒子位置gtbest.

步驟10.判斷是否滿足終止條件，若不滿足，則t=t+1轉(zhuǎn)步驟5.終止條件設(shè)定為算法的最大進(jìn)化代數(shù).

步驟11.輸出被標(biāo)定機(jī)器人幾何參數(shù)值，并計算標(biāo)定前后機(jī)器人末端位置和方向誤差.

3 實驗與結(jié)果

3.1 仿真實驗

3.1.1 位姿產(chǎn)生

為了驗證算法的有效性，從ER10L-C10工業(yè)機(jī)器人手冊中獲取該機(jī)器人DH模型幾何參數(shù)見表1.分別在[-0.01，0.01]（單位：rad）和[-0.05，0.05]（單位：mm）區(qū)間范圍內(nèi)隨機(jī)均勻產(chǎn)生幾何參數(shù)誤差如表2所示，幾何參數(shù)實際值根據(jù)表1理論值和表2設(shè)定的誤差獲得.〖KH+1D〗表1 ER10L-C10機(jī)器人名義參數(shù)

在[-π，π]（單位：rad）區(qū)間內(nèi)按照均勻分布隨機(jī)產(chǎn)生32組理論關(guān)節(jié)角θ1j，θ2j，θ3j，θ4j，θ5j，θ6j，j=1，2，…，32.考慮到機(jī)器人因加工、裝配、磨損等誤差會導(dǎo)致由機(jī)器人示教器設(shè)定的關(guān)節(jié)角與實際關(guān)節(jié)角間有誤差存在，實際關(guān)節(jié)角為在理論關(guān)節(jié)角上加入[-0.1，0.1]（單位：rad）服從均勻分布的隨機(jī)噪聲.將關(guān)節(jié)角及幾何參數(shù)的理論值和實際值分別代入式（2）—（6），即可求出機(jī)器人末端位置和方向的理論值與實際值及位置和方向誤差.

3.1.2 仿真實驗結(jié)果

根據(jù)上述隨機(jī)生成的幾何參數(shù)誤差和關(guān)節(jié)角，采用IPSO優(yōu)化求解機(jī)器人幾何參數(shù)，算法的控制參數(shù)設(shè)定為：粒子種群規(guī)模psize為20、加速系數(shù)c1、c2均為2.05、最大進(jìn)化代數(shù)為2 000.初始種群中角度和長度幾何參數(shù)誤差分別在±0.01 rad和±0.5 mm區(qū)間范圍內(nèi)采用擬隨機(jī)Halton序列產(chǎn)生.圖2為IPSO在Intel（R） Core（TM） i5-4570 CPU主頻3.20 GHz計算機(jī)上采用Matlab10.0優(yōu)化搜索機(jī)器人的幾何參數(shù)過程，完成2 000代進(jìn)化所需時間分別為220 s.圖3繪制了機(jī)器人末端絕對位置誤差在標(biāo)定前及經(jīng)IPSO標(biāo)定后的比較結(jié)果，圖4和圖5分別給出了機(jī)器人末端在標(biāo)定前后繞X軸、Y軸和Z軸旋轉(zhuǎn)的方向誤差，由仿真實驗結(jié)果可見：提出的ICSA不僅能夠快速完成機(jī)器人幾何參數(shù)標(biāo)定，而且標(biāo)定后的位置和方向誤差均小于標(biāo)定前，特別是絕對位置精度大幅提高.

3.2 實測結(jié)果

采用提出方法對埃夫特ER10L-C10工業(yè)機(jī)器人進(jìn)行標(biāo)定實驗，為了能夠同時測量機(jī)器人末端位置和方向，采用Leica AT960激光跟蹤儀，TMAC安裝在機(jī)器人末端的法蘭上，測量環(huán)境如圖6所示.實驗時用跟蹤儀提供的RoboDyn軟件隨機(jī)產(chǎn)生30個位姿點，對應(yīng)生成30組關(guān)節(jié)角進(jìn)行機(jī)器人標(biāo)定實驗.

為了減小測量誤差影響，在設(shè)定的每組關(guān)節(jié)角下對末端位姿重復(fù)測量10次，取其平均值作為實際測量值.采用提出的IPSO對該機(jī)器人幾何參數(shù)進(jìn)行標(biāo)定，標(biāo)定前后機(jī)器人絕對位置誤差和X軸、Y軸和Z軸絕對方向誤差計算結(jié)果如表3所示.其中機(jī)器人末端絕對位置誤差的平均值、標(biāo)準(zhǔn)差和最大值由標(biāo)定前的9.679 4、5.223 0和12.078 1 mm減小為標(biāo)定后的1.778 5、0.482 0和4.643 3 mm.圖7給出了機(jī)器人末端絕對位置誤差在標(biāo)定前后的比較結(jié)果，圖8和圖9分別給出了機(jī)器人末端X軸、Y軸和Z軸在標(biāo)定前后的方向誤差，可見，采用提出的ICSA對機(jī)器人幾何參數(shù)標(biāo)定后其絕對位置精度大幅提高，在不改變硬件設(shè)備情況下能夠使機(jī)器人絕對定位精度明顯提升.

4 結(jié)束語

本文根據(jù)高端制造業(yè)對工業(yè)機(jī)器人高精度的要求，提出了基于改進(jìn)粒子群算法的機(jī)器人幾何參數(shù)標(biāo)定方法，針對當(dāng)機(jī)器人相鄰兩軸線平行及接近平行時模型存在的奇異性問題，建立了機(jī)器人MDH模型，給出了用該算法優(yōu)化求解幾何參數(shù)誤差的具體步驟.仿真實驗及實測結(jié)果證實采用提出方法能夠快速完成機(jī)器人幾何參數(shù)標(biāo)定，經(jīng)標(biāo)定的機(jī)器人末端絕對位置精度會大幅提高，適于在有高精度位置要求的串聯(lián)機(jī)器人幾何參數(shù)標(biāo)定中推廣應(yīng)用.

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Study on robot geometric parameters calibration based on

improved particle swarm algorithm

WEN Xiulan1 LU Zhongyan1 HE Shun1 WANG Dongxia1 KANG Chuanshuai1 ZHAO Yibing1

1 Automation Department，Nanjing Institute of Technology，Nanjing 211167

AbstractIn order to improve the absolute positioning accuracy of a robot end-effector，a calibration method based on an improved particle swarm algorithm （IPSO） is proposed.Firstly，in order to avoid singularity in the model when two adjacent axes of the robot are parallel or close to parallel，the MDH model of series robot is founded.Secondly，according to the calibration features of robot geometric parameters，IPSO is used to optimize and calibrate the robot geometric parameters.The initial positions are generated based on Halton sequences and the particle velocity is modified by the constriction factor approach.The mathematical model of the objective function to calibrate robot geometric parameters based on IPSO is established，and detailed steps are provided for using IPSO to optimize geometric parameters.The results of the simulation and real calibration of the ER10L-C10 industrial robot show that the proposed method can quickly calibrate the geometric parameters of the robot，and the absolute positioning accuracy of the end-effector is greatly improved.The proposed algorithm is simple and robust，and is suitable to be popularized and applied in industry robot calibration.

Key wordsrobot;geometric parameters;improved particle swarm algorithm;absolute positioning accuracy