王素霞，王鑫鑫，董玲珍

(太原理工大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院，太原 030024)

流行病學(xué)是研究傳染病發(fā)病機(jī)理、傳播規(guī)律，并提出防治疾病、改善健康狀況的措施和優(yōu)化策略的科學(xué)。建立數(shù)學(xué)模型是對于流行病學(xué)研究常用且重要的方法。關(guān)于傳染病的研究已經(jīng)取得了不錯的成果，這些工作都始于1927年KERMACK et al提出的SIR倉室模型[1]。之后，越來越多的學(xué)者從不同的方面對于確定性流行病模型進(jìn)行改善和創(chuàng)新，也取得了許多有價值的成果。YU et al[2]對兩組隨機(jī)SIR模型進(jìn)行了研究；JIANG et al[3]對隨機(jī)SIR模型的全局正解的漸近行為進(jìn)行了討論；孟琳琳等[4]考慮了恢復(fù)率受噪音影響的隨機(jī)SIR模型解的漸近行為；DALAL et al[5]對有關(guān)HIV病毒的隨機(jī)傳染病模型進(jìn)行了分析。文獻(xiàn)[6]考慮了如下的SIS模型：

(1)

E*=(S*,I*) .

(2)

顯然，確定系統(tǒng)(1)中的無病平衡點(diǎn)E0也是隨機(jī)系統(tǒng)(2)的平衡點(diǎn)，系統(tǒng)(1)的地方病平衡點(diǎn)E*不再是隨機(jī)系統(tǒng)(2)的平衡點(diǎn)，但可以討論系統(tǒng)(2)的解在系統(tǒng)(2)平衡點(diǎn)E*處的漸近行為。本文就上述系統(tǒng)(2)的解的漸近行為進(jìn)行討論。

在處理種群動力學(xué)模型中，不能有負(fù)解的存在，否則對系統(tǒng)的研究就沒有價值。因此，首先證明解的正性和有界性；其次給出基本再生數(shù)R0<1時，系統(tǒng)(2)的無病平衡點(diǎn)E0的隨機(jī)穩(wěn)定性；然后討論R0>1時，系統(tǒng)(2)的全局正解在系統(tǒng)(1)地方病平衡點(diǎn)E*處的漸近行為；最后用數(shù)值模擬驗(yàn)證上述討論的結(jié)論。

1 解的正性與有界性

對給定的初值N(0)=S(0)+I(0)，由系統(tǒng)(2)知總?cè)丝贜(t)滿足方程

dN(t)=(A-μN(yùn)(t)-αI)dt≤(A-μN(yùn)(t))dt.

則S(t)≤N1,I(t)≤N1,t∈[0,τe)a.s..同樣可得

則S(t)≥N2,I(t)≥N2,t∈[0,τe)a.s.,則系統(tǒng)(2)的解有界。

P{τk≤T}≥ε,?k≥k1.

(3)

V(S,I)=S+1-ln(S)+I+1-ln(I) .

由于u+1-ln(u)≥0,?u>0,可得V(S,I)的非負(fù)性。運(yùn)用Ito’s公式，則有

式中：

因此

兩邊求期望可得：

(4)

即

(5)

從式(3)-式(5)得：

這里,1Ωk是Ωk指示函數(shù)。會k→∞時,有V(S(0),I(0))+K1T≥∞.這與V(S(0),I(0))+K1T為有限數(shù)矛盾，因此τ∞=∞ a.s..

2 無病平衡點(diǎn)的隨機(jī)穩(wěn)定性

證明從隨機(jī)系統(tǒng)(2)中，作變量替換u=S-S0,v=I,則系統(tǒng)(2)寫成

(6)

即證明隨機(jī)系統(tǒng)(2)的無病平衡點(diǎn)E0的穩(wěn)定性等價于證明系統(tǒng)(6)零解的穩(wěn)定性。

定義Lyapunov函數(shù)

式中：c1為待定的正常數(shù),所構(gòu)造的V1是正定函數(shù)。應(yīng)用Ito’s公式有

由于

故系統(tǒng)(6)的零解是隨機(jī)漸近穩(wěn)定的，進(jìn)而可知系統(tǒng)(2)的無病平衡點(diǎn)是E0隨機(jī)漸近穩(wěn)定的，定理得證。

3 地方病平衡點(diǎn)的漸近行為

當(dāng)R0>1時,確定系統(tǒng)(1)存在地方病平衡點(diǎn)E*=(S*,I*)且全局漸近穩(wěn)定。進(jìn)一步有：

但E*不是隨機(jī)系統(tǒng)(2)的地方病平衡點(diǎn),但我們可以討論隨機(jī)系統(tǒng)(2)的解在E*處的漸近行為。

證明定義Lyapunov函數(shù):

V2(S,I)=V21(S,I)+c1V22(S,I) .

運(yùn)用Ito’s公式,得

其中，

又

則

由不等式a2≤2(a-b*)2+2b*2,則

(7)

對式(7)取0到t的積分,取期望,得

則有

因此

定理得證。

注:定理3說明,當(dāng)R0>1時,系統(tǒng)(2)的解在系統(tǒng)(1)的地方病平衡點(diǎn)E*處隨機(jī)波動,波動強(qiáng)度與白噪聲強(qiáng)度σ相關(guān)。白噪聲強(qiáng)度σ越小,越接近系統(tǒng)(1)的地方病平衡點(diǎn)E*.當(dāng)σ=0時,E*是系統(tǒng)(2)的地方病平衡點(diǎn)。

4 數(shù)值仿真

用文獻(xiàn)[10]中Euler-Maruyama的方法,得到系統(tǒng)(2)離散化形式:

(8)

其中，Δt>0,ζk相互獨(dú)立的隨機(jī)變量且ζk～N(0,1).

為了驗(yàn)證定理2的結(jié)論,取參數(shù)A=1.2,β=0.5,μ=0.3,α=0.1,φ=0.2,Δt=10-3,初值為(1,2),得R0≈0.833<1,E0=(4,0).再取滿足定理2條件的σ=0.27.圖1結(jié)果顯示,系統(tǒng)(2)的無病平衡點(diǎn)E*=(4,0)在一定條件下是隨機(jī)穩(wěn)定的,與定理2的結(jié)論吻合。

為了驗(yàn)證定理3結(jié)論,給出初值(1,2),取A=1.2,β=0.65,μ=0.3,α=0.1,φ=0.2,得R0≈1.08>1,E*≈(3.6,0.3).再取滿足定理3條件的σ=0.4.圖2結(jié)果顯示,系統(tǒng)(2)的解在系統(tǒng)(1)的地方病平衡點(diǎn)E*≈(3.6,0.3)處的隨機(jī)波動。

圖1 R0≤1時,系統(tǒng)(1)與系統(tǒng)(2)軌線之間關(guān)系 Fig.1 When R0≤1, the relationship between trajectories of system (1) and system (2)

圖2 R0>1時,系統(tǒng)(1)與系統(tǒng)(2)軌線之間關(guān)系 Fig.2 When R0>1, the relationship between trajectories of system (1) and system (2)