程克玲

（呂梁學(xué)院汾陽(yáng)師范分校，山西汾陽(yáng)032200）

作為矩陣的重要參數(shù)，特征值可以看做是復(fù)平面上的一個(gè)點(diǎn)[1]，矩陣特征值的計(jì)算與估計(jì)在理論和實(shí)際應(yīng)用中都是非常重要的。隨著矩陣階數(shù)的增加，特征值的精確計(jì)算難度加大，甚至無法實(shí)現(xiàn)。

SScchhuurr引理[6]任意n×n實(shí)矩陣A，存在酉矩陣U與上三角矩陣R，使得

式中，UH表示將矩陣U共軛轉(zhuǎn)置，R中的元素，可能為復(fù)數(shù)。

證 給定n×n實(shí)矩陣A，可以求出A的n個(gè)特征值，不妨設(shè)為λ1,λ2,…,λn（順序沒有要求）。假設(shè)存在上述的U與R，只要將它們求出，即可說明其存在性，同時(shí)也說明了其構(gòu)造或求解的過程。同時(shí)為了過程簡(jiǎn)略，設(shè)特征值互不相同。特殊情況再加以說明。

先看乘積的第一列：Au1=Ur1。由于R為上三角陣，且對(duì)角元為A的特征值，所以列向量r1只有第一個(gè)元素為λ1，其余元素全為0。所以上式就可以化為Au1=λ1u1。u1為A的特征值λ1對(duì)應(yīng)的特征向量當(dāng)然存在。再利用酉矩陣的性質(zhì)（不同的列向量都正交，且為單位向量），所以要將u1單位化。這樣，得到U的第一列u1。

繼續(xù)考察Au2=Ur2。

式中含有u2及r12共n+1個(gè)變量，需要n+1個(gè)獨(dú)立方程才可解出。然而上式含有n個(gè)方程，u1與u2垂直，u2單位長(zhǎng)度，共n+2個(gè)條件。但在上式中，λ2為A的特征值，所以n個(gè)方程并不是相互獨(dú)立的。列出n+2個(gè)方程，剛好可以解出u2與r12。

一般情況，考察Auk=Urk。

與前面討論類似，共有uk中的n個(gè)變量和rk中的 (k-1)個(gè)變量 (r1k,r2k,…,r(k-1)k)，rkk=λk為已知的特征值。所以共有(n+k-1)變量。上式中含有n個(gè)方程，利用u1,u2…,uk-1與uk垂直，可得(k-1)個(gè)方程，再加上uk為單位向量，共(n+k)個(gè)方程，正好可以解出所有的(n+k-1)變量。

如此繼續(xù)，直到第n步的Aun=Urn。這樣，便可以解出所有的rij與uk，矩陣U與R便可以確定了。

定理 11 設(shè)A∈Cn×n,λ1,λ2,…,λn是A的特征值，則

式（1）～（3）中任一等式成立，必有其余兩個(gè)等式成立。而任一等式成立的充分必要條件是A為正規(guī)矩陣。

證 根據(jù)Schur引理，對(duì)任意的A∈Cn×n,存在U∈Un×n,使A=UTUH，T的主對(duì)角線上的元素是A的特征值。由于矩陣的F-范數(shù)在酉變換下不變，因此 ‖A‖F(xiàn)=‖T‖F(xiàn),令T=(trs)(r,s=1,2,…,n,r＞s時(shí)，trs=0)，則有

由推論1易得下面兩個(gè)結(jié)論：

1）Hermite矩陣的特征值都是實(shí)數(shù)；

2）反Hermite矩陣的特征值為零或純虛數(shù)。

因?yàn)楫?dāng)AH=A時(shí)，C=0,Im(λi)=0,即λi為實(shí)數(shù)，i=1,2,…,n;當(dāng)AH=-A時(shí)，B=0,Re(λi)=0,即λi為零或純虛數(shù)，i=1,2,…,n.

證 由式（3）得

由于A是實(shí)矩陣，其復(fù)特征值成共軛對(duì)出現(xiàn)。因此，當(dāng)λ是實(shí)特征值時(shí)，式（4）是自然成立的；而當(dāng)λ是復(fù)特征值時(shí)，有

此即式（4）成立。

解A為反對(duì)稱矩陣，其特征值為

因此，所給矩陣A（實(shí)反對(duì)稱矩陣）的特征值的模不超過0.3464，且由推論2得到的更好些。