丁雪， 陳彬, 施俊騁， 李海英

(云南師范大學(xué)，云南 昆明 650500)

1 引 言

中國是最早出口茶葉的國家，同時也是茶葉的發(fā)源地和主要的茶葉貿(mào)易國.建立茶葉出口預(yù)測模型，對準(zhǔn)確把握茶葉出口的動態(tài)和指導(dǎo)茶葉精準(zhǔn)出口，指導(dǎo)茶葉年度生產(chǎn)有著重要的現(xiàn)實意義.

無約束項優(yōu)化算法通常用來求解茶葉出口預(yù)測這種非線性規(guī)劃問題，利用真實數(shù)據(jù)值進(jìn)行擬合，通過擬合效果獲得更高的精度.通常這類算法中有梯度下降法、牛頓法和擬牛頓法.其中梯度下降法收斂速度是線性的，但是當(dāng)求解問題規(guī)模稍大時，速度極慢.牛頓法收斂速度很快，但是當(dāng)數(shù)據(jù)規(guī)模較大時，迭代次數(shù)太多.擬牛頓法收斂速度介于兩者之間，同時即使每次迭代不是最優(yōu)化方向，算法也能朝著最優(yōu)值的方向進(jìn)行搜索，保證結(jié)果的準(zhǔn)確性.

Boryden Fletcher Goldfarb Shanno Method(BFGS)是一種處理數(shù)值效果非常好的擬牛頓法，具有全局收斂性和超線性收斂速度[1-4]，本文利用BFGS算法，建立了中國茶葉出口量與俄羅斯茶葉進(jìn)口量之間關(guān)系的數(shù)學(xué)預(yù)測模型.

2 算法介紹

2.1 擬牛頓法

擬牛頓法雖然每次迭代不像牛頓法那樣保證是最優(yōu)化的方向，但是近似矩陣始終是正定的，因此算法始終是朝著最優(yōu)化的方向在搜索[5].這個方法的基本思想是構(gòu)造出可以近似Hessian矩陣的逆的正定對稱陣，從而在“擬牛頓”的條件下優(yōu)化目標(biāo)函數(shù).構(gòu)造方法的不同決定了不同的擬牛頓法.

首先構(gòu)造可以近似Hessian矩陣[6-7]的逆的正定對稱陣：設(shè)第k次迭代之后得到點xk+1，將目標(biāo)函數(shù)f(x)在xk+1處展成泰勒級數(shù)，取二階近似，得到

f(x)≈f(xk+1)+2f(xk+1)(x-xk+1)

因此

f(x)≈f(xk+1)+2f(xk+1)(x-xk+1)

令x=xk，則

f(xk+1)-f(xk)≈2f(xk+1)(xk-xk+1)

xk+1-xk≈[2f(xk+1)]-1(f(xk+1)-f(xk))

因此，只需計算目標(biāo)函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)，就可以依據(jù)方程估計該處的Hessian矩陣的逆.為了用不包含二階導(dǎo)數(shù)的矩陣Hk+1近似牛頓法中的Hessian矩陣2f(xk+1)的逆矩陣，Hk+1必須滿足xk+1-xk≈Hk+1yk，也稱為擬牛頓條件.

忽略高階無窮小，求導(dǎo)得到

f(x)≈f(xk+1)+HK+1(x-xk+1)

令x=xk，得到如下公式

用Hessian矩陣的逆矩陣Ni+1代替矩陣，得到擬牛頓方程

Ni+1[f(xk+1)-f(xk)]≈xk+1-xk

在本文中求解最優(yōu)化問題關(guān)鍵是得到每一步的Ni+1.

2.2 BFGS算法原理

BFGS算法主要用于求解無約束最優(yōu)化問題，本文假設(shè)迭代為

3 預(yù)測模型和結(jié)果比較

表1 2001-2010年中國茶葉出口量(單位：104 t)

表2 2001-2010年俄羅斯茶葉進(jìn)口量(單位：104 t)

數(shù)據(jù)來源：根據(jù)UNComtrade數(shù)據(jù)整理[8]

表1和表2分別為中國和俄羅斯2001—2010年的茶葉出口量和茶葉進(jìn)口量數(shù)據(jù)，設(shè)定收斂判斷指標(biāo)=1.00E-10，最大迭代次數(shù)=1 000，實時輸出控制數(shù)=20，重復(fù)數(shù)=50，控制迭代數(shù)=50，收斂判斷迭代數(shù)=10，基于BFGS算法，得到2001—2010年中國茶葉出口總量與俄羅斯茶葉進(jìn)口總量最優(yōu)預(yù)測模型一：

和2001—2010年中國紅茶出口量與俄羅斯紅茶進(jìn)口量最優(yōu)預(yù)測模型二：

其中y為當(dāng)年俄羅斯茶葉進(jìn)口量的預(yù)測值，x為當(dāng)年度中國茶葉出口量的實際值，pi為加權(quán)參數(shù)值.

表3 模型的相關(guān)計算結(jié)果

表4和表5為俄羅斯茶葉進(jìn)口量實際值與模型預(yù)測值，可見預(yù)測值與實際值之間誤差較小，預(yù)測值與實際值擬合度分別為99.3%和99.45%.

表4 2001-2010年俄羅斯茶葉進(jìn)口總量實際值與預(yù)測值(單位:104 t)

表5 2001-2010年俄羅斯紅茶進(jìn)口總量實際值與預(yù)測值(單位:104 t)

4 結(jié) 語

利用BFGS算法，建立了中國茶葉出口量與俄羅斯茶葉進(jìn)口量之間關(guān)系的數(shù)學(xué)預(yù)測模型，分析發(fā)現(xiàn)該算法能較好地擬合歷年的實際情況，預(yù)測結(jié)果和實際值之間的誤差小，精度高.