宿常鵬，王雪梅，許 哲，李駿霄，王興龍

(1 火箭軍工程大學(xué)，西安 710025；2 火箭軍士官學(xué)校，山東青州 262500)

0 引言

導(dǎo)彈飛行過程中，彈體在各種載荷作用下不可避免地產(chǎn)生彈性振動?，F(xiàn)行導(dǎo)彈的長細(xì)比一般較大，其彈性振動頻率與控制系統(tǒng)頻帶接近。因此，導(dǎo)彈姿態(tài)控制系統(tǒng)的設(shè)計(jì)必須要考慮彈性振動對其穩(wěn)定性的影響，并對其加以抑制[1]。目前，彈性振動抑制方法主要有兩類：一是設(shè)計(jì)具有魯棒性的控制器；二是采用陷波濾波器對振動模態(tài)進(jìn)行抑制[2]。工程中廣泛應(yīng)用固定參數(shù)的陷波濾波器進(jìn)行彈性振動抑制[3]，盡管其具有一定的陷波寬度，但由于彈性振動頻率變化范圍大而效果并不理想。因此，孟中杰、閆杰[4]提出了自適應(yīng)陷波濾波器的方法。該方法通過在線辨識彈性振動頻率并據(jù)此調(diào)整陷波濾波器的參數(shù)，以實(shí)現(xiàn)彈性振動抑制。但是由于自適應(yīng)陷波濾波器復(fù)雜度高、計(jì)算量大，彈上計(jì)算機(jī)難以應(yīng)用[5]。

針對現(xiàn)有方法的不足，文中提出了時變陷波濾波器的方法。該方法簡單易行，充分利用地面試驗(yàn)所得彈性模態(tài)數(shù)據(jù)進(jìn)行陷波濾波器設(shè)計(jì)。理論計(jì)算和仿真實(shí)驗(yàn)表明：該方法彈性振動抑制效果好，適于彈上計(jì)算機(jī)使用，可以滿足實(shí)時控制的需求。

1 姿態(tài)控制系統(tǒng)的模型

導(dǎo)彈是一個極為復(fù)雜的系統(tǒng)，需要對導(dǎo)彈的模型進(jìn)行簡化。首先，由于導(dǎo)彈在實(shí)際干擾作用下將在理想運(yùn)動附近產(chǎn)生小擾動運(yùn)動，可以將導(dǎo)彈運(yùn)動微分方程簡化為小擾動運(yùn)動方程[6]。其次，忽略導(dǎo)彈俯仰、偏航、滾動3個通道的交鏈作用，將導(dǎo)彈姿態(tài)控制系統(tǒng)視為3個相互獨(dú)立的通道。

對線性化的小擾動運(yùn)動方程取拉氏變換可以得到彈體的傳遞函數(shù)，由于導(dǎo)彈的軸對稱性，其俯仰和偏航通道的模型結(jié)構(gòu)相同。把彈體俯仰(偏航)擾動運(yùn)動作為受控對象，等效舵偏角Δδφ(Δδψ)作為控制輸入，俯仰角Δφ(Δψ)作為輸出量時，俯仰(偏航)通道剛性彈體的傳遞函數(shù)為：

(1)

式中：b1、b2、b3、c1、c2、c3為俯仰(偏航)通道剛性彈體的動力系數(shù)。

把彈體滾動擾動運(yùn)動作為受控對象，等效舵偏角Δδγ作為控制輸入，滾動角Δγ作為輸出量時，滾動通道剛性彈體的傳遞函數(shù)為

(2)

式中：d1、d3為滾動通道剛性彈體的動力系數(shù)。

舵機(jī)伺服回路傳遞函數(shù)為:

(3)

由于導(dǎo)彈是時變系統(tǒng)，要保證系統(tǒng)在飛行過程中穩(wěn)定，選取若干有代表性的時刻作為特征秒，在各個特征秒處認(rèn)為系統(tǒng)是時不變系統(tǒng)，從而分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性。當(dāng)攻角α=3°時，上述動力系數(shù)在部分特征秒處的計(jì)算結(jié)果見表1。

表1 動力系數(shù)計(jì)算結(jié)果

2 彈性振動分析

2.1 彈性振動模型

導(dǎo)彈彈體的彈性振動包括：縱向振動、橫向彎曲振動和扭轉(zhuǎn)振動。由于對穩(wěn)定性影響最大的是橫向(俯仰方向和偏航方向)振動，故僅研究彈體的彈性振動對俯仰(偏航)通道穩(wěn)定性的影響。

彈性彈體的數(shù)學(xué)模型可以看作是在剛性彈體模型的基礎(chǔ)上并聯(lián)若干條支路，其路數(shù)與彈性振動主振型階次相同[7]。由于高頻振動通?？梢院雎?，文中僅考慮到3階振型，故只需在剛性彈體的基礎(chǔ)上并聯(lián)3條支路。各階彈性振型的傳遞函數(shù)為:

(4)

式中：ωi為第i階主振型的固有頻率；εi為第i階主振型的阻尼；d3i為第i階主振型的控制力彈性氣動系數(shù)；wi為陀螺安裝處第i階主振型的斜率。

2.2 彈性振動抑制方法

為有效克服各種干擾，需要在設(shè)計(jì)中保證系統(tǒng)具備足夠的穩(wěn)定裕度，一般幅值裕度不得小于6～10 dB，同時要合理選擇系統(tǒng)的帶寬[8]。一般來說，系統(tǒng)的剪切頻率低，離彈性振型的頻率遠(yuǎn)，易于進(jìn)行穩(wěn)定性設(shè)計(jì)，但系統(tǒng)的姿態(tài)角偏差大，快速性差；系統(tǒng)的剪切頻率高，系統(tǒng)的快速性好，靜態(tài)誤差小，但不利于彈性彈體的穩(wěn)定性設(shè)計(jì)。綜合考慮各種因素的影響，系統(tǒng)的剪切頻率選在2～10 rad/s范圍內(nèi)。

由于彈體二階以上彈性振型的振動頻率遠(yuǎn)大于系統(tǒng)的帶寬，對系統(tǒng)的穩(wěn)定性影響很小，所以改進(jìn)措施主要針對增加一階彈性振動頻率附近系統(tǒng)的穩(wěn)定裕度展開。控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)中最常用的方法是在控制回路中添加陷波濾波器[9]，即通過加入以一階彈性振動頻率為中心頻率的陷波濾波器，迅速衰減一階彈性振動頻率信號，從而消除彈體一階彈性振動的干擾，提高姿態(tài)控制系統(tǒng)的穩(wěn)定裕度。

3 控制規(guī)律設(shè)計(jì)

3.1 陷波濾波器設(shè)計(jì)

由于模擬-數(shù)字濾波器轉(zhuǎn)換法簡單易行，文中采用該方法進(jìn)行陷波濾波器的設(shè)計(jì)。陷波器設(shè)計(jì)的基本原理是陷波器的零點(diǎn)與系統(tǒng)高頻極點(diǎn)對消，其作用帶寬為陷波器極點(diǎn)與零點(diǎn)之間的距離[10]。假定濾波器增益為1，陷波濾波器的傳遞函數(shù)可表示為:

(5)

設(shè)計(jì)陷波濾波器時應(yīng)使陷波濾波器的時間常數(shù)接近1/ω1(其中ω1為彈體一階彈性振動頻率)，阻尼接近彈性振動阻尼，由此確定傳遞函數(shù)的分子。確定陷波器傳遞函數(shù)的分母時要保證濾波器凹陷部分有足夠的寬度和深度，同時還要考慮不能在系統(tǒng)低頻相位上引起太大滯后。

考慮到彈體一階彈性振動頻率隨飛行時間的變化范圍為ω1=83～107 rad/s，故陷波濾波器的參數(shù)是時變的，即在各個特征秒處設(shè)計(jì)對應(yīng)的陷波濾波器。以俯仰(偏航)通道為例，由表1可知，34 s時彈體靜不安定力矩系數(shù)b2最大，此時對應(yīng)的一階彈性振動頻率ω1=93.0 rad/s，一階阻尼比ε1=0.069。設(shè)置陷波深度為-25 dB，得到34 s加入的陷波濾波器參數(shù)為ωi=93.0 rad/s，ζ1=0.069，ωj=63.2 rad/s，ζ2=1.0，對應(yīng)的傳遞函數(shù)為：

(6)

其頻率特性曲線如圖1所示。

圖1 陷波濾波器頻率特性曲線

采用雙線性離散變換，得到數(shù)字陷波濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為：

(7)

式中：A0=0.46；A1=-0.69；A2=0.46；B1=-1.06；B2=0.28。A0、A1、A2、B1、B2在其他特征秒處的取值見表2。

表2 時變陷波濾波器參數(shù)取值

3.2 校正網(wǎng)絡(luò)選擇

依據(jù)彈性彈體的數(shù)學(xué)模型，俯仰(偏航)通道加入時變陷波濾波器和校正網(wǎng)絡(luò)的原理如圖2。

圖2 控制原理圖

校正網(wǎng)絡(luò)的設(shè)計(jì)要綜合考慮系統(tǒng)的穩(wěn)定裕度、彈性振動和靜態(tài)誤差等因素。由于引入陷波濾波器會使系統(tǒng)在低頻段產(chǎn)生相位滯后，為補(bǔ)償?shù)皖l的動態(tài)響應(yīng)，通常在低頻段采用超前校正[11]，故俯仰(偏航)通道加入如下校正控制規(guī)律:

(8)

其頻率特性曲線如圖3所示。

按采樣周期T=0.01 s，通過雙線性離散變換，得到俯仰(偏航)通道數(shù)字校正網(wǎng)絡(luò)為:

(9)

式中：A′0=118.2;A′1=-239.1;A′2=121.7;B′1=-1.5;B′2=0.6。

圖3 校正網(wǎng)絡(luò)頻率特性曲線

滾動通道數(shù)字校正網(wǎng)絡(luò)為:

(10)

式中：E0=114.9；E1=-128.3；E2=-134.8；E3=108.4；F1=-1.4；F2=0.8；F3=-0.2。

3.3 靜態(tài)放大系數(shù)分配

為易于軟件實(shí)現(xiàn)，各通道的校正網(wǎng)絡(luò)采用變靜態(tài)放大系數(shù)、不變網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)的方法，則俯仰(偏航)通道靜態(tài)放大系數(shù)為：

(11)

滾動通道靜態(tài)放大系數(shù)為：

(12)

其中:

4 仿真實(shí)驗(yàn)與分析

4.1 數(shù)學(xué)仿真實(shí)驗(yàn)

考慮到系統(tǒng)參數(shù)變化和外界干擾的影響，將姿態(tài)控制系統(tǒng)中剛性彈體的傳遞函數(shù)設(shè)置為上限狀態(tài)、額定狀態(tài)和下限狀態(tài)，3種狀態(tài)的組合方式是從穩(wěn)定裕度的大小來考慮的，上限組合使彈體傳遞函數(shù)幅頻特性比額定狀態(tài)上移、截止頻率右移，下限狀態(tài)使幅頻特性下移、截止頻率左移。3種狀態(tài)的組成分別為:

1)上限狀態(tài)：b2×0.9，b3×1.1，d3×1.1;

2)額定狀態(tài)：b2×1.0，b3×1.0，d3×1.0;

3)下限狀態(tài)：b2×1.1，b3×0.9，d3×0.9。

以34 s處為例，由表1可得俯仰(偏航)通道剛性彈體在3種狀態(tài)下的頻率特性曲線如圖4。

圖4 剛性彈體頻率特性曲線

類似地，對彈性振動振型傳遞函數(shù)的參數(shù)設(shè)置為阻尼比不變，頻率點(diǎn)下拉2 Hz、頻率點(diǎn)不拉偏和頻率點(diǎn)上拉2 Hz 3種狀態(tài)。由于僅研究彈體的彈性振動對俯仰(偏航)通道穩(wěn)定性的影響，故彈性振動振型傳遞函數(shù)的3種狀態(tài)僅在俯仰(偏航)通道中討論。通過求加入時變陷波濾波器后姿態(tài)控制系統(tǒng)在各個特征秒處的開環(huán)傳遞函數(shù)，確定系統(tǒng)的穩(wěn)定裕度，進(jìn)而判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性。相關(guān)的符號說明為:

G為幅值裕度；ωcp為幅值裕度對應(yīng)的剪切頻率；P為相角裕度；ωc為相角裕度對應(yīng)的剪切頻率；Gtx,1為一階振型幅值裕度；Ptx,1為一階振型相角裕度。

滾動通道在3種狀態(tài)下的穩(wěn)定裕度范圍如表3所示，可以看出:滾動通道在各種狀態(tài)下的剪切頻率為2.5～6.7 rad/s，幅值裕度大于16 dB，相角裕度大于48.0°，穩(wěn)定品質(zhì)良好。

表3 滾動通道穩(wěn)定裕度范圍

俯仰(偏航)通道在3種狀態(tài)下的穩(wěn)定裕度范圍見表4～表6，可以看出:俯仰(偏航)通道在各種狀態(tài)下的剪切頻率在2.2～6.9 rad/s，幅值裕度大于7 dB，相角裕度大于34.0°，一階振型幅值裕度大于6.6 dB，相角裕度大于34.4°，姿態(tài)控制系統(tǒng)穩(wěn)定品質(zhì)良好。

表4 額定狀態(tài)穩(wěn)定裕度范圍

表5 下限狀態(tài)穩(wěn)定裕度范圍

表6 上限狀態(tài)穩(wěn)定裕度范圍

4.2 半實(shí)物仿真實(shí)驗(yàn)

設(shè)置姿態(tài)控制系統(tǒng)半實(shí)物仿真的條件如下：仿真步長取0.01 s，導(dǎo)彈的射程為500 km，初始姿態(tài)角為φ0=89.5°、ψ0=-0.5°、γ0=1°。舵效上拉偏狀態(tài)為正10%，彈體力矩負(fù)10%；舵效下拉偏狀態(tài)為負(fù)10%，彈體力矩正10%；仿真狀態(tài)中加入空氣舵干擾3倍，一階阻尼比為0.069。

導(dǎo)彈在仿真過程中基本沿標(biāo)準(zhǔn)姿態(tài)角飛行，穩(wěn)定過程中的姿態(tài)角速率小于5°/s，最大舵偏角小于20°，關(guān)機(jī)前的姿態(tài)角速率小于0.5°/s，滿足技術(shù)指標(biāo)要求。半實(shí)物仿真實(shí)驗(yàn)的部分狀態(tài)和結(jié)果見表7。

表7 半實(shí)物仿真狀態(tài)及實(shí)驗(yàn)結(jié)果

5 結(jié)束語

文中提出了在導(dǎo)彈姿態(tài)控制系統(tǒng)中加入時變陷波濾波器的方法，以抑制彈體的彈性振動對系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響。以某型導(dǎo)彈為例完成了時變陷波濾波器的設(shè)計(jì)、校正網(wǎng)絡(luò)的選擇和靜態(tài)放大系數(shù)的分配。理論計(jì)算和仿真實(shí)驗(yàn)表明，該方法有效抑制了彈體彈性振動的干擾，適于彈上計(jì)算機(jī)使用。