李佳星，溫求遒，夏群利

(北京理工大學宇航學院，北京 100081)

0 引言

隨著對遠程精確打擊火力的需求日益增加，提高火箭彈的射程和精確打擊能力已經(jīng)成為火箭彈研究的重要方向[1]。最優(yōu)軌跡設計能夠在多約束條件下，實現(xiàn)火箭彈射程的提高[2]。偽譜法是解決最優(yōu)控制問題的最有效果的方法之一[3]。通過偽譜法得到最優(yōu)彈道，再設計制導律實現(xiàn)最優(yōu)軌跡的跟蹤，使火箭彈能夠在復雜環(huán)境下進行遠程精確打擊，已有學者在相關技術方面進行了研究。湯善同等針對遠程防空導彈，研究了中制導段的彈道優(yōu)化及制導問題[4]；夏紅偉等研究了飛行器再入段的彈道優(yōu)化與偽譜法的反饋制導方法[5]；張大元等針對防空導彈彈道跟蹤問題，基于線性二次型調(diào)節(jié)器(LQR)理論設計了彈道跟蹤制導律[6]。

文中針對火箭彈，以射程最遠為性能指標，在全程多約束條件下進行了最優(yōu)軌跡設計，然后基于線性二次型調(diào)節(jié)器設計跟蹤制導律，實現(xiàn)了最優(yōu)軌跡的多變量跟蹤，最后通過仿真進行了驗證。

1 制導火箭彈運動模型的建立

文中的研究對象為一種正常式布局的火箭彈，其飛行過程分為主動段和被動段，工作及控制過程如下：在接收到點火指令后，火箭發(fā)動機工作，火箭彈以固定的射角發(fā)射，進入到具有發(fā)動機推力作用的主動段?；鸺l(fā)動機工作結束后，火箭彈進入被動段，做無動力飛行，在制導控制系統(tǒng)作用下，制導指令轉(zhuǎn)換為舵指令，通過舵片偏轉(zhuǎn)使火箭彈命中目標。為研究方便，假設地球表面為平面，不考慮地球自轉(zhuǎn)，將舵片偏轉(zhuǎn)的作用等效成攻角，建立火箭彈縱向運動方程組：

(1)

式中：V為火箭彈飛行速度，θ為彈道傾角，x為射程，y為高度，P為發(fā)動機推力，α為飛行攻角，D、L分別為空氣阻力和升力，其計算方法為D=cxρV2s/2，L=cyρV2s/2，s為彈體特征面積，ρ為大氣密度，其數(shù)值可通過參考文獻[7]獲得。cx和cy為阻力系數(shù)和升力系數(shù)，它們是攻角和馬赫數(shù)的函數(shù)，可以通過下式計算得到：

(2)

式中：f(Ma，α)和g(Ma，α)是自變量為馬赫數(shù)和攻角的擬合函數(shù)。

2 優(yōu)化模型的建立及求解

2.1 優(yōu)化模型的建立

為了求解最優(yōu)控制問題，應先建立優(yōu)化模型[8]。

1)狀態(tài)方程：即為式(1)，其中V、θ、x和y為狀態(tài)變量，攻角α為控制變量。

2)初始條件：V=V0、θ=θ0、x=x0及y=y0

3)邊界條件：需滿足下列邊界條件：

(3)

4)控制約束：αmin≤α≤αmax

5)終端約束：V=Vf、θ=θf、x=xf及y=yf

6)性能指標函數(shù)：

(4)

式中：x(t)∈Rn為狀態(tài)變量，u(t)∈Rm為控制變量，t0為初始時間，tf為終端時間，Φ(x)為Mayer型代價函數(shù)；g(x)為Lagrange型代價函數(shù)。

2.2 優(yōu)化問題求解

將優(yōu)化問題看成最優(yōu)控制問題，并尋找控制變量，使得具有一般性的Bolza型性能指標函數(shù)即式(4)最小，并滿足以下約束：

1)系統(tǒng)動力學微分方程約束

(5)

2)終端邊界約束

φ(x(t0)，x(tf)，t0，tf)=0

(6)

3)不等式路徑約束

C(x(t)，u(t)，t)≤0

(7)

對最優(yōu)控制問題采用偽譜法將Bolza型問題轉(zhuǎn)化為非線性規(guī)劃問題。首先將全程時間區(qū)間[t0，tf]劃分為K個網(wǎng)格子區(qū)間[tk-1，tk]，k=1，…，K。將每個網(wǎng)格子區(qū)間的時域t∈[tk-1，tk]轉(zhuǎn)變?yōu)棣印蔥-1，+1]，即：

(8)

然后將每個網(wǎng)格子區(qū)間[tk-1，tk]內(nèi)的狀態(tài)變量和控制變量離散化，并構建多項式來逼近狀態(tài)變量和控制變量，得到近似方程式：

狀態(tài)變量x(k)(τ)可近似為：

(9)

控制變量u(k)(τ)可以近似為：

(10)

式中：Nk為區(qū)間[tk-1，tk]內(nèi)的配點數(shù)，Li(τ)及Lj(τ)Lagrange插值多項式，即：

對近似狀態(tài)方程式(9)求微分，將Nk個配點上的動力學微分方程約束變?yōu)榇鷶?shù)方程約束，即：

(12)

每個子區(qū)間內(nèi)的Nk個配點上的路徑不等式約束為：

(13)

式中，i=1，…，Nk；k=1，…，K。

邊界條件為：

(14)

將Bolza型性能指標函數(shù)式(4)中的積分項近似為：

(15)

(16)

通過上述方法，求得每段配點處的狀態(tài)變量和控制變量，在滿足各種約束的情況下使得性能目標函數(shù)最小。這種非線性規(guī)劃問題能夠通過序列二次規(guī)劃算法(SQP)進行求解。

3 基于LQR的跟蹤制導律設計

上一節(jié)研究了火箭彈最優(yōu)軌跡設計方法，求得了全程多約束條件下的最優(yōu)彈道。但是火箭彈在飛行過程中受多種偏差影響，文中采用線性二次型調(diào)節(jié)控制方法，設計閉環(huán)制導律對最優(yōu)彈道進行跟蹤，首先要將運動學方程線性化。

3.1 線性化模型

小擾動假設條件下，以時間為自變量，選取y、V和θ作為反饋跟蹤量進行設計，即：

(17)

(18)

其中，Dy、DV、Ly、LV、Dα、Lα分別為阻力、升力加速度的偏導數(shù)，有：

其中氣動力系數(shù)導數(shù)由以下計算方法得到，即：

3.2 基于LQR的跟蹤制導律

(19)

式中：Q和R為狀態(tài)向量和控制向量的加權矩陣。為了讓性能指標J的值最小，控制量應符合[9]：

u*(t)=-R-1(t)BT(t)P(t)x(t)=-K(t)x(t)

(20)

則：

δu=δα=-R-1BTPδx(t)=-Kδx

(21)

式中：P是Riccati方程PA+ATP-PBR-1BTP+Q=0的解，K=(K1，K2，K3)為增益向量。進一步求得實際控制量：

αc=αref+δα=αref-K1δy-K2δV-K3δθ

(22)

式中αref為最優(yōu)軌跡的攻角指令。

在最優(yōu)彈道上選取多個特征點，分別求得反饋增益參數(shù)，預先裝訂成反饋增益向量。對于火箭彈，在飛行全過程中可根據(jù)實時的動壓,通過插值得到反饋增益系數(shù)。

4 仿真分析

4.1 火箭彈彈道優(yōu)化

文中研究的火箭彈飛行任務，為了使火箭彈具有較大的射程，故以射程作為最優(yōu)指標，該彈道優(yōu)化問題可表述為：

1)狀態(tài)方程：即為式(1)?；鸺l(fā)動機在0～25 s內(nèi)工作，P=39 kN，假設質(zhì)量均勻變化。特征面積s=0.282 6 m2，氣動力系數(shù)如下列擬合函數(shù)計算：

2)初始條件：V=20 m/s、θ為待優(yōu)化量，范圍[20°，80°]、x=0和y=0。

3)邊界條件：需滿足下列條件：

4)控制約束：-18°≤α≤18°

5)終端約束：θ=-70°、y=0和|αt|≤3°。

6)性能指標函數(shù)：J=-xtf

仿真結果如圖1和圖2所示。

圖1 優(yōu)化前后彈道對比圖

圖2 最優(yōu)軌跡對應狀態(tài)量變化曲線

由仿真結果可得：優(yōu)化方案達到了增大射程的目的，火箭彈在大部分時間保持正極限攻角飛行，最終射程為45.26 km，末端攻角為-2.99°。

4.2 火箭彈跟蹤制導

選取制導律權重系數(shù)矩陣為：Q=diag(1，1，1)，R=1。

仿真中，加入拉偏項，即密度+5%，阻力系數(shù)+5%，升力系數(shù)+5%，并加入開環(huán)制導作為對比，即將αref直接作為制導指令，仿真結果如圖3～圖6所示。

以上結果表明：開環(huán)制導雖然能使跟蹤彈道的攻角指令與最優(yōu)彈道保持一致，但是在存在微小擾動的情況下，跟蹤彈道的高度、速度和彈道傾角已經(jīng)產(chǎn)生明顯偏差，其中跟蹤高度已經(jīng)偏離最優(yōu)彈道超過200 m，而LQR跟蹤制導實現(xiàn)了對最優(yōu)彈道的跟蹤和逼近，高度、速度、攻角和彈道傾角等與最優(yōu)彈道十分接近，基本實現(xiàn)了多變量的跟蹤。

圖3 彈道曲線

圖4 攻角曲線

圖5 彈道傾角曲線

圖6 速度曲線

5 結論

對火箭彈進行了最優(yōu)軌跡設計與跟蹤制導方法的研究，根據(jù)任務特點設定射程最大為優(yōu)化目標，并采用偽譜法得到滿足全程多約束的最優(yōu)彈道。將火箭彈運動方程關于最優(yōu)彈道線性化后，基于LQR設計了跟蹤制導律，實現(xiàn)了多變量的跟蹤。并通過仿真驗證了該制導方法的可行性和優(yōu)越性。