董紅森，張素霞

(西安理工大學(xué)理學(xué)院，陜西西安710054)

一直以來，人們面臨著各種傳染病的威脅，這些傳染病一般都是通過細(xì)菌、病毒、真菌等引起的，直接感染動(dòng)物或者人，被感染的動(dòng)物或人在人與人、動(dòng)物與動(dòng)物或人與動(dòng)物之間相互傳播。媒介傳染病是通過某種生物載體進(jìn)行傳播的疾病，如以蚊子作為傳染媒介，常見的傳染病有登革熱、瘧疾和西尼羅河熱等。在這些疾病的傳播過程中，被感染的蚊子通過叮咬健康的宿主而將病毒傳染給人群，同時(shí)健康的蚊子在叮咬被感染的宿主時(shí)獲得病毒，如此交替循環(huán)從而引起此類媒介傳染病的傳播和蔓延。

傳染病動(dòng)力學(xué)模型是研究疾病傳播規(guī)律的一種有效的方法。針對(duì)傳染病的特點(diǎn)利用數(shù)學(xué)模型對(duì)其傳播過程和傳播機(jī)理進(jìn)行研究，以尋求合理高效的疾病管理方法和控制措施。在對(duì)媒介傳染病研究的過程中，一些學(xué)者通過建立不同形式的數(shù)學(xué)模型來描述疾病發(fā)生、發(fā)展及控制特點(diǎn)，取得了豐富的研究成果[1-4]。為了研究實(shí)施脈沖擾動(dòng)對(duì)管理和控制疾病的影響，脈沖微分方程模型近來被廣泛利用，以更準(zhǔn)確地描述疾病傳播和控制的客觀情況[1,4-6]。隨著現(xiàn)代醫(yī)學(xué)的發(fā)展，醫(yī)療技術(shù)和醫(yī)療水平有了長足的進(jìn)步，人們對(duì)疾病的治療和管理水平也隨之得到顯著提高，其治療程度也被刻畫到傳染病動(dòng)力學(xué)模型中[7-9]。本文將考慮對(duì)媒介實(shí)施脈沖控制并對(duì)宿主進(jìn)行飽和治療的SIR-SI媒介傳染病模型，分析脈沖控制周期和強(qiáng)度以及飽和治愈率對(duì)模型動(dòng)力學(xué)性態(tài)的影響。

1 模型建立

將宿主(人群)劃分為三個(gè)倉室：易感者類、染病者類和恢復(fù)者類，設(shè)SH(t)、IH(t)和RH(t)分別表示在t時(shí)刻宿主中易感者、染病者和恢復(fù)者的數(shù)量。將媒介(蚊子)劃分為兩個(gè)倉室：易感者類和染病者類，SM(t)和IM(t)分別表示t時(shí)刻媒介中易感蚊子和染病蚊子的數(shù)量，從而建立媒介傳染病模型：

(1)

由于蚊子相對(duì)于人的生存時(shí)間較短，這里不考慮蚊子的因病死亡，并假設(shè)模型中的參數(shù)都是非負(fù)的。

2 無病周期解的存在性與穩(wěn)定性

當(dāng)宿主和媒介中無病毒存在，考慮式(1)的無病子空間：

Xs={(SH,IH,RH,SM,IM):SH≥0,IH=0,RH=0,SM≥0,IM=0}

則有：

(2)

由于只對(duì)媒介實(shí)施脈沖控制，即式(2)中關(guān)于易感宿主的微分方程無脈沖擾動(dòng)，則當(dāng)t→，

(3)

計(jì)算易得該脈沖方程在時(shí)間段(nT,(n+1)T]內(nèi)的周期解為：

由式(3)中第二個(gè)等式得：

即

并將變換代入式(1)，由線性近似可得脈沖微分方程組：

其中：

Q(t)=

為方便計(jì)算，令

其中：

其中ΦF-V(t)為x′(t)=(F-V)x(t)的基解矩陣。由于|μH|、|μM|都小于1，則譜半徑r(P1eUT)<1。

定義閾值：R0=r(P2ΦF-V(T))，R0表示一個(gè)感染者單位時(shí)間內(nèi)傳染人數(shù)，或者表示一只感染蚊子單位時(shí)間內(nèi)傳染蚊子的數(shù)量[12]。

3 疾病的持久性

定理2如果R0>1，疾病一致持久，即存在正整數(shù)η>0,使得：

(4)

考慮如下系統(tǒng)：

(5)

由比較定理[11]，存在t2>t1，ε2>0，對(duì)任意的t>t2有：

(6)

考慮系統(tǒng)：

(7)

式中u=(u1,u2)。式(7)的解可表示為u(t,nT,u(nT+))=ΦF-V(t-nT)u(nT+)，則u((n+1)T+)=PΦF-V(t-nT)u(nT+)。當(dāng)R0>1時(shí)，隨著t→，u1→且u2→，則，

以下討論兩種可能情況：

情況一t足夠大時(shí)，Ii(t)>η，i=H,M；

情況二t足夠大時(shí)，Ii(t)值在η處波動(dòng)，i=H,M。

從而得：

IH(t)≥IH(t1)e-(α1+μH+r+dH)(t-t1)≥

ηe-(α1+μH+r+dH)(t-t1)≥ηe-(α1+μH+r+dH)(n2-n1+1)T

對(duì)IM有：

IM(nT+)=(1-p)IM(nT),t=nT,n∈N

可得：

IM(t)≥η(1-p)n2-n1e-μM(t-t1)≥

η(1-p)n2-n1e-μM(n2-n1+1)T

令η1=min{ηe-(α1+μH+r+dH)(n2-n1+1)T,

η(1-p)n2-n1e-μM(n2-n1+1)T}，因?yàn)閚2-n1>0，所以η1>0有界，于是當(dāng)t∈[t1,t2]時(shí)，Ii(t)≥η1>0，i=H,M。當(dāng)t>t2時(shí)，同樣存在非零的正整數(shù)η2，如此下去可得到序列{ηj}，j=1,2,…,k,…，其中：

ηk=min{ηe-(α1+μH+r+dH)(nk+1-nk+1)T,

η(1-p)nk+1-nke-μM(nk+1-nk+1)T}

4 數(shù)值模擬

為了進(jìn)一步研究模型的動(dòng)力學(xué)性態(tài)，在一定的參數(shù)取值下，主要以脈沖強(qiáng)度p和脈沖周期T為控制參數(shù)對(duì)系統(tǒng)的數(shù)值解、時(shí)間序列圖和分支圖分別進(jìn)行數(shù)值模擬。

4.1 脈沖控制周期T的影響

模型中參數(shù)取值分別為：ΛM=1 300、ΛH=2.1、βM=0.16、βH=0.88、μM=0.029、μH=0.005、c=0.3、dH=0.08、r=0.005。式(1)的初始值分別取為：SH=100、IH=0、RH=500、SM=300、IM=10。在α1=6，α2=3以及α1=7，α2=4兩種不同飽和治愈率情況下，研究脈沖控制周期T對(duì)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)性態(tài)的影響。圖1和圖2展示了當(dāng)脈沖強(qiáng)度p=0.85且脈沖控制周期T在一定范圍內(nèi)取值時(shí)，式(1)中各變量的變化情況。

在上述參數(shù)取值下，對(duì)比圖1和圖2可以看出，兩種不同飽和治愈率下模型出現(xiàn)不同的性態(tài)，并且兩種情況下系統(tǒng)都具有豐富的動(dòng)力學(xué)行為。以圖2(b)為例，當(dāng)p=0.85，α1=7，α2=4時(shí)，出現(xiàn)帶有周期窗口的混沌帶→倍周期分岔→周期吸引子→混沌→含有周期窗口的混沌帶→周期解分支。當(dāng)參數(shù)T的取值在[40, 40.9]之間時(shí)，系統(tǒng)進(jìn)入一個(gè)帶有周期窗口的混沌區(qū)域，特別是參數(shù)T的取值大于40.178時(shí)，混沌突然消失，出現(xiàn)一個(gè)周期窗口。參數(shù)T的取值增加到40.9時(shí)，因?yàn)橄到y(tǒng)周期解失去穩(wěn)定性，系統(tǒng)進(jìn)入到混沌狀態(tài)，當(dāng)參數(shù)T的取值增加到43時(shí)，混沌突然消失，系統(tǒng)再次進(jìn)入平衡狀態(tài)。同時(shí)由圖2(a)可以看到，隨著參數(shù)T取值的增加，易感人群的最大量是非單調(diào)變化的。圖3和圖4進(jìn)一步給出了染病媒介和染病宿主的變化情況。由圖3(a)可以看出，當(dāng)T=40.5時(shí)，IM隨時(shí)間呈現(xiàn)出3T周期變化，對(duì)應(yīng)的圖3(b)呈現(xiàn)3T周期吸引子的分岔行為。同樣，由圖4 (a)可以看出，當(dāng)T=40.5時(shí)，染病者IH隨時(shí)間也呈現(xiàn)周期變化，圖4(b)為對(duì)應(yīng)的周期吸引子分岔行為。

圖1 當(dāng)脈沖強(qiáng)度p=0.85，α1=6，α2=3，以脈沖周期為分支參數(shù)時(shí)式(1)中變量的分支圖Fig.1 Bifurcation diagrams of system (1) with respect to bifurcation parameter T when p=0.85, α1=6 and α2=3

圖2 當(dāng)脈沖強(qiáng)度p=0.85，α1=7，α2=4，以脈沖周期為分支參數(shù)時(shí)式(1)中變量的分支圖Fig.2 Bifurcation diagrams of system (1) with respect to bifurcation parameter T when p=0.85, α1=7 and α2=4

圖3 脈沖周期T=40.5，式(1)中染病媒介IM的時(shí)間序列圖以及相應(yīng)的解軌線Fig.3 When T=40.5, a numerical solution of system (1) about vectors as time tending to infinity and the corresponding trajectory

圖4 脈沖周期T=40.5，式(1)中染病宿主IH的時(shí)間序列圖以及相應(yīng)的解軌線Fig.4 When T=40.5, a numerical solution of system (1) about infected hosts as time tending to infinity and the corresponding trajectory

4.2 脈沖強(qiáng)度p的影響

當(dāng)參數(shù)與初值的選取與4.1中相同，同樣在α1=6，α2=3以及α1=7，α2=4兩種情況下研究脈沖強(qiáng)度p對(duì)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)性態(tài)的影響。當(dāng)脈沖控制周期T=45時(shí)，以p為分支參數(shù)，式(1)中各變量的動(dòng)力學(xué)性態(tài)如5圖和圖6所示。

圖5 脈沖周期T=45，α1=6，α2=3時(shí)，以脈沖強(qiáng)度p為分支參數(shù)時(shí)式(1)中變量的分支圖Fig.5 Bifurcation diagrams of system (1) with respect to bifurcation parameter p when T=45, α1=6 and α2=3

圖6 脈沖周期T=45，α1=7，α2=4時(shí)，以脈沖強(qiáng)度p為分支參數(shù)時(shí)式(1)中變量的分支圖Fig.6 Bifurcation diagrams of system (1) with respect to bifurcation parameter p when T=45, α1=7 and α2=4

由圖5和圖6可以看出，兩種不同飽和治愈率下脈沖強(qiáng)度都對(duì)系統(tǒng)有重要的影響，出現(xiàn)了豐富的動(dòng)力學(xué)性態(tài)。

以圖6(b)為例，當(dāng)T=45，α1=7，α2=4時(shí)，出現(xiàn)周期分岔→帶有周期窗口的混沌帶→倍周期分岔→周期吸引子→混沌。當(dāng)p的取值在[0.8, 0.880 4]之間時(shí)，系統(tǒng)一直處于周期分岔階段，當(dāng)脈沖強(qiáng)度p的取值大于0.880 4時(shí)，系統(tǒng)進(jìn)入混沌狀態(tài)。當(dāng)脈沖強(qiáng)度p的取值在[0.880 4,0.92]之間時(shí)，系統(tǒng)進(jìn)入了一個(gè)帶有周期窗口的混沌區(qū)域。當(dāng)脈沖強(qiáng)度p的取值大于0.909 8時(shí)，混沌突然消失，出現(xiàn)一個(gè)周期窗口。

另外，由圖6(a)可以看出，隨著脈沖強(qiáng)度p取值的增加，易感人群的最大數(shù)量是非單調(diào)變化的。

圖7和圖8給出了p=0.91時(shí)染病媒介IM和染病宿主IH的變化情況，對(duì)應(yīng)于圖6中兩個(gè)變量的分支圖。

由圖7(a)可以看出，當(dāng)p=0.91時(shí)，IM隨著時(shí)間變化呈現(xiàn)出倍周期變化，對(duì)應(yīng)的圖7(b)出現(xiàn)5T周期吸引子的分岔。

由圖8(a)可以看出，當(dāng)p=0.91時(shí)，IH隨著時(shí)間變化呈現(xiàn)出倍周期變化，對(duì)應(yīng)的圖8(b)呈現(xiàn)5T周期吸引子的分岔行為。脈沖強(qiáng)度p的取值增加到0.917 8時(shí)，因?yàn)橄到y(tǒng)周期解失去穩(wěn)定性，系統(tǒng)又直接進(jìn)入了混沌區(qū)域。

圖7 脈沖強(qiáng)度p=0.91時(shí)，式(1)中染病媒介IM的時(shí)間序列圖以及相應(yīng)的解軌線Fig.7 When p=0.91, a numerical solution of system (1) about vectors as time tending to infinity and the corresponding trajectory

圖8 脈沖強(qiáng)度p=0.91時(shí)，式(1)中染病宿主IH的時(shí)間序列圖以及相應(yīng)的解軌線Fig.8 When p=0.91, a numerical solution of system (1) about infected hosts as time tending to infinity and the corresponding trajectory

5 結(jié) 語

本文通過建立一個(gè)SIR-SI媒介傳染病模型，研究了固定時(shí)刻脈沖控制下系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)性態(tài)。利用脈沖微分方程理論分析了模型無病周期解的存在性與穩(wěn)定性，并定義出模型的閾值，即基本再生數(shù)，然后利用比較定理證明了當(dāng)閾值大于1時(shí)疾病的一致持久性。同時(shí)，通過選取適當(dāng)參數(shù)，對(duì)模型的動(dòng)力學(xué)性態(tài)進(jìn)行了數(shù)值模擬。主要以脈沖強(qiáng)度p和脈沖周期T為控制參數(shù)對(duì)系統(tǒng)的數(shù)值解、時(shí)間序列圖和分支圖分別進(jìn)行了數(shù)值分析，同時(shí)也對(duì)比了不同飽和治愈率下系統(tǒng)各變量的分支變化情況。利用本文模型的理論和數(shù)值研究結(jié)果，可以為控制相關(guān)媒介傳染病的流行和傳播提供參考。