王自彬，鄧四二,2，張文虎，黃曉敏

(1.河南科技大學(xué) 機電工程學(xué)院，河南 洛陽 471003；2.遼寧重大裝備制造協(xié)同創(chuàng)新中心，遼寧 大連 116024；3.重慶工業(yè)職業(yè)技術(shù)學(xué)院 機械工程學(xué)院，重慶 401120)

高速圓柱滾子軸承以其優(yōu)越的高速性能被廣泛應(yīng)用于航空發(fā)動機主軸。高速圓柱滾子軸承保持架動態(tài)性能及可靠性直接影響著軸承的工作性能，其運動不穩(wěn)定性會引起軸承早期失效[1]。因此，有必要對影響高速圓柱滾子軸承保持架穩(wěn)定性的關(guān)鍵因素進行分析，這對提高圓柱滾子軸承壽命及穩(wěn)定性具有重要意義。

Ghaisas等[2]建立了六自由度圓柱滾子軸承動力學(xué)模型，通過保持架質(zhì)心速度標(biāo)準(zhǔn)偏差比評價保持架穩(wěn)定性，分析了保持架設(shè)計參數(shù)、內(nèi)圈轉(zhuǎn)速、滾子直徑以及保持架不對稱性對保持架運行穩(wěn)定性的影響；Gupta[3-5]研究了保持架兜孔間隙、軸承動載荷、潤滑劑、保持架不平衡量對保持架動態(tài)穩(wěn)定性的影響；Meeks[6]建立了保持架的6自由度動力學(xué)模型，對保持架的設(shè)計參數(shù)進行了優(yōu)化，改善了保持架的穩(wěn)定性；Rivera[7]建立了簡化的保持架分析模型，并指出滾動體與保持架之間的相互作用力是導(dǎo)致保持架運動不穩(wěn)定的主要原因；Tada[8]發(fā)現(xiàn)減小保持架兜孔間隙和引導(dǎo)間隙可以有效降低由于保持架運動不穩(wěn)定引起的噪聲；Takafumi等[9]考慮了潤滑油非牛頓流體特性和滾子與滾道間熱效應(yīng)，分析了轉(zhuǎn)速、載荷對保持架打滑率的影響；Zhang等[10]建立了高速圓柱滾子軸承動力學(xué)模型，研究了四種航空潤滑油對保持架質(zhì)心軌跡的影響，并使用龐加萊圖分析了保持架運行穩(wěn)定性；鄧四二等[11]建立了高速圓柱滾子軸承動力學(xué)微分方程，對保持架動力學(xué)特性進行了理論分析，研究了保持架引導(dǎo)方式、間隙比對保持架質(zhì)心軌跡及其打滑率的影響；劉秀海等[12]建立了高速圓柱滾子軸承動力學(xué)模型，研究了軸承轉(zhuǎn)速、載荷、游隙等對保持架質(zhì)心運動軌跡的影響；姜維等[13]針對電機專用軸承進行了試驗研究，通過電機電流和聲音判斷保持架穩(wěn)定性；黃迪山[14]針對微型軸承實體保持架，研究其質(zhì)心軌跡的檢測信號時域分析特點，分析了載荷大小及加載方式對其質(zhì)心軌跡的影響及時變特征，并討論了盒維數(shù)、濾波、保持架變形對渦動描述的影響。

上述對于保持架運動軌跡穩(wěn)定性的判定多依靠個人經(jīng)驗，存在較強的主觀性。分形理論是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的一個新的分支，它與動力系統(tǒng)的混沌理論交叉結(jié)合，從非線性復(fù)雜系統(tǒng)自身入手，能夠描述不規(guī)則現(xiàn)象內(nèi)部所蘊含的信息[15]。而軸承作為一個復(fù)雜的非線性系統(tǒng)，存在許多不規(guī)則的現(xiàn)象，因此分形理論在軸承相關(guān)的研究中得到了廣泛地應(yīng)用[16-19]。鑒于此，本文基于滾動軸承動力學(xué)理論，建立高速圓柱滾子軸承的非線性動力學(xué)模型，采用分形理論中的盒維數(shù)評價保持架質(zhì)心軌跡混亂程度，分析保持架間隙比、轉(zhuǎn)速、載荷、徑向游隙以及滾子個數(shù)對保持架運行穩(wěn)定性的影響，為高速圓柱滾子軸承保持架設(shè)計提供理論依據(jù)。

1 高速圓柱滾子軸承各元件相互作用力

本文以NU2214型圓柱滾子軸承為研究對象，外圈固定，內(nèi)圈旋轉(zhuǎn)，保持架采用外引導(dǎo)方式，保持架兜孔形狀為矩形，并假設(shè)軸承各零件的質(zhì)心與形心重合，軸承工作表面為理想表面。為了能較好地描述軸承各零件的運動，通常選取一個整體坐標(biāo)系{O;X,Y,Z}以及若干個局部坐標(biāo)系，如圖1所示：局部坐標(biāo)系包括保持架質(zhì)心坐標(biāo)系{oc;xc,yc,zc}，內(nèi)圈質(zhì)心坐標(biāo)系{oi;xi,yi,zi}，滾子質(zhì)心坐標(biāo)系{or;xr,yr,zr}，保持架兜孔坐標(biāo)系{op;xp,yp,zp}。

坐標(biāo)變換的一般形式為

圖1 圓柱滾子軸承坐標(biāo)系系統(tǒng)Fig.1 Coordinate systems of cylindrical roller bearing {R}1=[T]({r}2+x5d5blr2)

(1)

式中：{R}1為在整體坐標(biāo)系中描述的向量；{r}2為在局部坐標(biāo)系中描述的向量；jdddfjz2為兩坐標(biāo)系間的平移量；[T]為兩坐標(biāo)系間的轉(zhuǎn)動變換。

1.1 滾子與滾道之間作用力

本文采用“改進切片法”[20]計算滾子與滾道之間的相互作用力。將滾子在自身軸線方向上平均分割成N片，每個切片的寬度為w(w=l/N)。圖2為采用切片法分析滾子與滾道之間相互作用問題的示意圖，圖中：θj為第j個滾子的傾斜角；α為內(nèi)圈在徑向力Fr和傾覆力矩M作用下的傾斜角；l為滾子全長；ls為滾子有效接觸長度；Cjm為第j個滾子的第m個切片的凸度減少量。

圖2 滾子與套圈間的接觸模型示意圖Fig.2 Schematic diagram of contact model between roller and rings

第j個滾子的第m個切片與內(nèi)(外)滾道之間的法向接觸力為

(2)

第j個滾子與內(nèi)(外)滾道之間的法向接觸力、拖動力分別為

(3)

(4)

第j個滾子與內(nèi)(外)滾道之間由法向接觸力、拖動力分布產(chǎn)生的附加力矩可分別表示為

(5)

(6)

1.2 滾子與保持架之間作用力

滾子與保持架橫梁的接觸處主要存在法向的接觸力和切向的摩擦力，對于這兩種力，本文仍采用“改進切片法”進行計算。滾子與保持架接觸模型如圖3所示，圖中：rcj為第j個滾子的質(zhì)心or與所在保持架兜孔的中心op沿切向方向上的距離；βj為第j個滾子的歪斜角。qcjm、Fcjm分別為第j個滾子的第m個切片與保持架橫梁之間的接觸力、摩擦力。

圖3 滾子與保持架接觸模型示意圖Fig.3 Schematic diagram of contact model between roller and cage

第j個滾子的第m個切片與保持架橫梁之間的接觸變形量為

(7)

第j個滾子與保持架橫梁之間的法向接觸力、切向摩擦力可分別表示為

(8)

(9)

式中：μcjm為第j個滾子的第m個切片與保持架橫梁之間的摩擦因數(shù)，可采用文獻[21]中的邊界潤滑模型進行計算。

第j個滾子與保持架橫梁之間由法向接觸力分布產(chǎn)生的附加力矩為

(10)

1.3 保持架受力分析

除滾子對保持架的作用力之外，外圈引導(dǎo)面還會對保持架定心表面產(chǎn)生引導(dǎo)力，油氣混合物會對保持架的表面和端面產(chǎn)生阻力。保持架的受力如圖4所示，圖中：ec為保持架中心的相對偏移量，ec在y、z軸上的分量分別為Δyc、Δzc；Ψc為整體坐標(biāo)系與保持架坐標(biāo)系在徑向平面內(nèi)的夾角。

圖4 保持架受力示意圖Fig.4 Schematic diagram of cage forces

(11)

(12)

式中：η0為常壓下潤滑油的動力黏度；Lc為保持架定心表面寬度；C1為保持架引導(dǎo)間隙；ε為保持架中心相對偏心量；u1為潤滑油的拖動速度。

保持架與引導(dǎo)面的摩擦力矩為

(13)

式中：V1為引導(dǎo)面與定心面相對滑動速度；Rcd為保持架定心表面半徑。

油氣混合物對保持架的表面和端面產(chǎn)生的阻滯力矩TCDO、TCDS分別為

TCDO=τAcagercage

(14)

(15)

式中：τ為保持架引導(dǎo)面剪應(yīng)力；Acage為保持架引導(dǎo)面面積；rcage為保持架非引導(dǎo)面半徑；ρeff為油氣混合物密度，CN的具體計算方法參見文獻[10]。

2 高速圓柱滾子軸承動力學(xué)模型

2.1 滾子非線性動力學(xué)微分方程組

滾子的受力如圖5所示，根據(jù)滾子的受力情況可得到第j個滾子的非線性動力學(xué)微分方程組為

(16)

圖5 滾子受力圖Fig.5 Schematic diagram of roller forces

2.2 保持架非線性動力學(xué)微分方程組

根據(jù)圖4保持架的受力情況，建立保持架非線性動力學(xué)微分方程組

(17)

2.3 內(nèi)圈非線性動力學(xué)微分方程組

內(nèi)圈主要受到滾子對內(nèi)圈法向接觸力、摩擦力、附加力矩以及來自外界的力和力矩。根據(jù)內(nèi)圈的受力情況，建立內(nèi)圈非線性動力學(xué)微分方程組

(18)

3 盒維數(shù)及其計算方法

3.1 盒維數(shù)定義

盒維數(shù)是分形維數(shù)的一種，它反映了復(fù)雜形體占有空間的有效性，是復(fù)雜形體不規(guī)則性的度量[22]。設(shè)F是Rn上任意一非空有界子集，Nδ(F)表示最大直徑為δ且能覆蓋F的集合的最少個數(shù)，則根據(jù)文獻[23]，F(xiàn)的上下盒維數(shù)分別定義為

(19)

(20)

如果上下維相等，則F的盒維數(shù)可定義為

(21)

3.2 盒維數(shù)計算方法

設(shè)離散信號y(i)?Y，Y是n維歐氏空間Rn上的閉集。用盡可能細(xì)的ε網(wǎng)格劃分Rn，Nε是集合Y的網(wǎng)格計數(shù)。由于式(21)中的極限無法按定義求出，所以在計算時需采用近似的方法。以ε網(wǎng)格為基準(zhǔn)，逐步放大到kε網(wǎng)格，其中k∈Z+。令Nkε為離散空間上的集合Y的網(wǎng)格計數(shù)，可由式(22)和式(23)計算得到。

min{yk(i-1)+1,…,yk(i-1)+k+1}|

(22)

式中：i=1,2,…,N/k；N為采樣點數(shù)；k=1,2,…,M,M

網(wǎng)格計數(shù)Nkε為

Nkε=P(kε)/(kε)+1

(23)

式中：Nkε>1。

在lgkε～lgNkε圖中確定線性較好的一段為無標(biāo)度區(qū)，設(shè)無標(biāo)度區(qū)的起點和終點分別為k1、k2，則：

lgNkε=algkε+bk1≤k≤k2

(24)

最后，用最小二乘法確定該直線的的斜率

(25)

盒維數(shù)dB為

(26)

3.3 使用MATLAB計算盒維數(shù)

本文在MATLAB中計算保持架質(zhì)心軌跡盒維數(shù)，其具體方法如下：①將像素大小為2n×2n的保持架質(zhì)心軌跡灰度圖像導(dǎo)入到MATLAB，并對其進行二值化處理，生成黑白位圖。該二值化圖像在MATLAB中以矩陣的形式表示，矩陣的大小為2n×2n，且該矩陣中只含有0或1兩種元素，0表示像素點為黑色，1表示像素點為白色；②以大小為k×k的網(wǎng)格對該二值化圖像進行覆蓋，統(tǒng)計包含0元素的網(wǎng)格個數(shù)，并記為Nk，通常取k=1,2,4,…,2k；③在對數(shù)坐標(biāo)系中繪出點(lgk,lgNk)，k=1,2,4,…,2k，采用最小二乘法在無標(biāo)度區(qū)內(nèi)對其進行直線擬合，并輸出擬合得到的直線的斜率，斜率的相反數(shù)即為該輸入圖像的盒維數(shù)。

為驗證該計算方法的有效性與準(zhǔn)確性，選取直線、Koch雪花、Sierpinski三角墊、Sierpinski方毯等幾種典型的分形幾何圖形進行計算驗證。計算驗證結(jié)果如表1所示。由計算結(jié)果可知計算誤差均控制在1%以內(nèi)，可以證明該計算方法具有足夠可靠的計算精度。

4 結(jié)果分析

本文采用預(yù)估-校正的GSTIFF變步長積分算法對高速圓柱滾子軸承的非線性動力學(xué)微分方程組進行求解，使用盒維數(shù)分析保持架間隙比、軸承轉(zhuǎn)速、軸承徑向載荷、軸承徑向游隙以及滾子個數(shù)等參數(shù)對保持架運行穩(wěn)定性的影響。已使用該方法對NU209、NU304、NU2214、NU2220等多個型號的圓柱滾子軸承進行了分析，發(fā)現(xiàn)分析結(jié)果呈現(xiàn)相同的變化趨勢，因此本文僅以NU2214型圓柱滾子軸承為例進行分析，其余型號的軸承的分析結(jié)果不再贅述。本文研究發(fā)現(xiàn)：保持架質(zhì)心軌跡越復(fù)雜和混亂，盒維數(shù)越大，保持架運行越不穩(wěn)定，反之則越穩(wěn)定。NU2214型圓柱滾子軸承的主要參數(shù)見表2。

表1 典型分形圖形盒維數(shù)計算誤差Tab.1 Calculation error in Box Dimension of typical fractal graphics

表2 軸承主要參數(shù)Tab.2 Major parameters of bearing

4.1 保持架間隙比對保持架穩(wěn)定性的影響

當(dāng)內(nèi)圈轉(zhuǎn)速n=20 000 r/min，徑向載荷F=5 000 N，徑向游隙μr=0.02 mm，滾子個數(shù)Z=17時，保持架質(zhì)心軌跡隨間隙比c(間隙比c定義為保持架兜孔間隙與引導(dǎo)間隙的比值)的變化如圖6所示。根據(jù)圖6不同間隙比時的保持架質(zhì)心軌跡，計算出對應(yīng)的盒維數(shù)如圖7所示。

由圖6、圖7可知：當(dāng)間隙比小于0.8時，隨著間隙比的增大，保持架質(zhì)心軌跡對應(yīng)的盒維數(shù)先增大后減小，但保持架均處于較好的穩(wěn)定渦動狀態(tài)；且當(dāng)c=0.8時，盒維數(shù)最小，保持架運行最穩(wěn)定；當(dāng)間隙比大于0.8時，保持架質(zhì)心軌跡對應(yīng)的盒維數(shù)隨著間隙比的增大而增大，并且開始處于不穩(wěn)定的渦動狀態(tài)，這是因為隨著間隙比的增大，引導(dǎo)間隙減小，引導(dǎo)面與保持架之間的不連續(xù)碰撞力增大，使保持架的運行處于不穩(wěn)定狀態(tài)。

(a) c=0.2(b) c=0.4(c) c=0.6(d) c=0.8(e) c=1.0(f) c=1.2

圖7 不同間隙比時保持架質(zhì)心軌跡的盒維數(shù)Fig.7 Box dimension of orbits of cage’s mass center under different clearance ratios

4.2 軸承內(nèi)圈轉(zhuǎn)速對保持架穩(wěn)定性的影響

當(dāng)間隙比c=0.8，徑向載荷F=5 000 N，徑向游隙μr=0.02 mm，滾子個數(shù)Z=17時，保持架質(zhì)心軌跡隨內(nèi)圈轉(zhuǎn)速n的變化如圖8所示。根據(jù)圖8的保持架質(zhì)心軌跡，計算出對應(yīng)的盒維數(shù)如圖9所示。

由圖8、圖9可知：隨著內(nèi)圈轉(zhuǎn)速的增大，保持架質(zhì)心軌跡的盒維數(shù)減小，說明保持架運行穩(wěn)定性增加。這是因為轉(zhuǎn)速較低時，作用于保持架的拖動力和阻力均較小，不足以使保持架產(chǎn)生渦動。隨著轉(zhuǎn)速的增加，保持架與滾子之間的摩擦力逐漸增大，使保持架能夠穩(wěn)定運行。

(a) n=7 500 r/min(b) n=10 000 r/min(c) n=12 500 r/min(d) n=15 000 r/min(e) n=17 500 r/min(f) n=20 000 r/min

圖9 不同軸承轉(zhuǎn)速時保持架質(zhì)心軌跡的盒維數(shù)Fig.9 Box dimension of orbits of cage’s mass center under different bearing speeds

4.3 軸承徑向載荷對保持架穩(wěn)定性的影響

當(dāng)間隙比c=0.8，內(nèi)圈轉(zhuǎn)速n=20 000 r/min，徑向游隙μr=0.02 mm，滾子個數(shù)Z=17時，保持架質(zhì)心軌跡隨徑向載荷F的變化如圖10所示。根據(jù)圖10中保持架質(zhì)心軌跡，計算出對應(yīng)的盒維數(shù)如圖11所示。

(a) F=1 500 N(b) F=2 000 N(c) F=3 500 N(d) F=4 000 N(e) F=4 500 N(f) F=5 000 N(g) F=5 500 N(h) F=6 000 N

圖11 不同徑向載荷下保持架質(zhì)心軌跡的盒維數(shù)Fig.11 Box dimension of orbits of cage’s mass center under different radial loads

由圖10、圖11可知：隨著徑向載荷的增大，保持架質(zhì)心軌跡的盒維數(shù)先減小后增大，說明保持架運行穩(wěn)定性先增加后減小。

4.4 軸承徑向游隙對保持架穩(wěn)定性的影響

當(dāng)間隙比c=0.8，內(nèi)圈轉(zhuǎn)速n=20 000 r/min，徑向載荷F=5 000 N，滾子個數(shù)Z=17時，保持架質(zhì)心軌跡隨徑向游隙μr的變化如圖12所示。根據(jù)圖12中保持架質(zhì)心軌跡，計算出對應(yīng)的盒維數(shù)如圖13所示。

由圖12、圖13可知：隨著徑向游隙的增大，保持架質(zhì)心軌跡的盒維數(shù)先減小后增大，說明保持架運行穩(wěn)定性先增加后減小。

(a) μr=0 mm(b) μr=0.01 mm(c) μr=0.02 mm(d) μr=0.03 mm(e) μr=0.04 mm(f) μr=0.05 mm

圖13 不同徑向游隙下保持架質(zhì)心軌跡的盒維數(shù)Fig.13 Box dimension of orbits of cage’s mass center under different radial internal clearances

4.5 滾子個數(shù)對保持架穩(wěn)定性的影響

當(dāng)間隙比c=0.8，內(nèi)圈轉(zhuǎn)速n=20 000 r/min，徑向載荷F=5 000 N，徑向游隙μr=0.02 mm，保持架質(zhì)心軌跡隨滾子個數(shù)Z的變化，如圖14所示。

根據(jù)圖14中保持架質(zhì)心軌跡，計算出對應(yīng)的盒維數(shù)如圖15所示。

(a) Z=12(b) Z=13(c) Z=14(d) Z=15(e) Z=16(f) Z=17

圖15 不同滾子個數(shù)時保持架質(zhì)心軌跡的盒維數(shù)Fig.15 Box dimension of orbits of cage’s mass center with different number of rollers

由圖14、圖15可知：隨著滾子個數(shù)的增加，保持架質(zhì)心軌跡的盒維數(shù)減小，說明保持架運行穩(wěn)定性增加。

5 結(jié) 論

(1)盒維數(shù)能夠準(zhǔn)確評價保持架質(zhì)心軌跡的復(fù)雜程度，發(fā)現(xiàn)相似質(zhì)心軌跡的差別，從而定量評價保持架運行穩(wěn)定性，避免人為主觀因素的影響；

(2)保持架間隙比對保持架穩(wěn)定性具有顯著影響，當(dāng)間隙比小于1.0時，保持架處于穩(wěn)定渦動狀態(tài)，并在間隙比為0.8時保持架渦動最穩(wěn)定；當(dāng)間隙比大于1.0時，隨著間隙比的增大，保持架質(zhì)心軌跡的混亂程度增大，保持架運行趨于不穩(wěn)定；

(3)軸承內(nèi)圈轉(zhuǎn)速、滾子個數(shù)的增加，均能使保持架運行穩(wěn)定性增加。隨著徑向載荷、徑向游隙的增加，保持架運行穩(wěn)定性先增大后減小。

致謝感謝遼寧重大裝備制造協(xié)同創(chuàng)新中心支持。