張 剛,曹 莉,賀利芳,易 甜

(1.重慶郵電大學(xué) 通信學(xué)院，重慶 400065;2.信號(hào)與信息處理重慶市重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，重慶 400065)

微弱信號(hào)指自身強(qiáng)度很小并且淹沒(méi)在噪聲中一類信號(hào)，微弱信號(hào)檢測(cè)即為采用各種技術(shù)手段提高信噪比將淹沒(méi)在強(qiáng)噪聲中的微弱信號(hào)提取出來(lái)。一種技術(shù)手段針對(duì)噪聲，通過(guò)噪聲與信號(hào)之間差異抑制噪聲，例如濾波技術(shù)、時(shí)頻分析技術(shù)、相關(guān)檢測(cè)技術(shù)，其應(yīng)用涉及到實(shí)際生產(chǎn)的各個(gè)方面，如故障信號(hào)、地震信號(hào)、生物電信號(hào)，這些技術(shù)已經(jīng)成為廣大學(xué)者的研究熱點(diǎn)[1]。另一種技術(shù)為增強(qiáng)信號(hào)，將噪聲與信號(hào)通過(guò)非線性方程進(jìn)行能量轉(zhuǎn)化，將噪聲能量轉(zhuǎn)化為信號(hào)能量使得信號(hào)突出被檢測(cè)。隨機(jī)共振(Stochastic Resonance,SR)最早為1981年物理學(xué)家Benzi等[2]在對(duì)地球冰川期氣候變化的研究中首次提出；1983年Fauve等[3]在施密特觸發(fā)器實(shí)驗(yàn)中觀察到了隨機(jī)共振現(xiàn)象。隨著各領(lǐng)域間隨機(jī)共振發(fā)現(xiàn)，人們對(duì)隨機(jī)共振現(xiàn)象機(jī)理研究越來(lái)越火熱，并取得豐富研究成果[4-5]。

隨機(jī)共振微弱信號(hào)檢測(cè)技術(shù)在微弱信號(hào)檢測(cè)及提取方面應(yīng)用廣泛，相比較于傳統(tǒng)的抑制噪聲技術(shù)，在保留信號(hào)信息的基礎(chǔ)上，最大化將噪聲能量轉(zhuǎn)化為信號(hào)能量。常采用一維Langevin方程模型即傳統(tǒng)雙穩(wěn)[6](Classic Bistable Stochastic Resonance,CBSR)系統(tǒng)，在參數(shù)滿足絕熱近似理論條件下實(shí)現(xiàn)信號(hào)檢測(cè)，為了更好地利用噪聲，一些新的模型陸續(xù)被提出并被研究，Qiao等[7]通過(guò)構(gòu)造分段雙穩(wěn)從勢(shì)函數(shù)勢(shì)阱峭度研究勢(shì)阱峭度對(duì)隨機(jī)共振輸出信號(hào)飽和度影響；周玉飛等[8]使用級(jí)聯(lián)雙穩(wěn)研究能量多次轉(zhuǎn)換問(wèn)題；陸思良等[9]采用兩個(gè)一維隨機(jī)共振組合而成的二維互補(bǔ)隨機(jī)共振應(yīng)用于軸承信號(hào)檢測(cè)中，這些模型大多基于一維非線性方程。隨著研究的深入發(fā)現(xiàn)二階非線性方程也能產(chǎn)生隨機(jī)共振現(xiàn)象。Duffing振子方程是一類典型的二階非線性方程不僅能通過(guò)混沌理論檢測(cè)微弱信號(hào)，也能夠產(chǎn)生隨機(jī)共振現(xiàn)象。Duffing振子隨機(jī)共振最早提出在20世紀(jì)80年代[10-11]，隨后Almog等[12-13]搭建硬件平臺(tái)實(shí)現(xiàn)Duffing振子隨機(jī)共振信號(hào)檢測(cè)，Leng等[14]研究不同參數(shù)調(diào)節(jié)Duffing振子隨機(jī)共振對(duì)輸出信號(hào)影響；Lai等[15]研究在Duffing方程下噪聲誘導(dǎo)隨機(jī)共振發(fā)生；Li[16]將Duffing方程隨機(jī)共振應(yīng)用在MSK信號(hào)中；Zhang等[17]提出的耦合雙穩(wěn)Duffing隨機(jī)共振系統(tǒng)不僅能提高輸出信噪比，有效檢測(cè)正弦信號(hào)及方波信號(hào)。

Duffing振子隨機(jī)共振擴(kuò)展了隨機(jī)共振理論與實(shí)踐研究，本文提出指數(shù)型雙穩(wěn)作用在Duffing方程隨機(jī)共振系統(tǒng)，推導(dǎo)其逃逸率并研究阻尼參數(shù)對(duì)隨機(jī)共振輸出信噪比影響；采用衰減沖擊信號(hào)和振動(dòng)諧波信號(hào)進(jìn)行驗(yàn)證，證明所提系統(tǒng)有增強(qiáng)信號(hào)作用；并且提出隨機(jī)共振與經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解結(jié)合下信號(hào)檢測(cè)方法，應(yīng)用于軸承故障信號(hào)檢測(cè)，研究結(jié)果表明有效的檢測(cè)到故障頻率以及故障的二倍頻信號(hào)、三倍頻信號(hào)。

1 勢(shì)函數(shù)模型

1.1 簡(jiǎn)諧勢(shì)阱模型

簡(jiǎn)諧勢(shì)阱為線性隨機(jī)共振系統(tǒng)原始模型，后來(lái)演化為冪函數(shù)型勢(shì)阱。系統(tǒng)結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單參數(shù)單一，其表達(dá)式[18]為

(1)

式中，a為系統(tǒng)參數(shù)，不同系統(tǒng)參數(shù)a下勢(shì)函數(shù)圖形如圖1所示。a越大勢(shì)阱越陡峭、勢(shì)阱底部中心寬度越窄粒子運(yùn)動(dòng)穿過(guò)勢(shì)阱底部時(shí)間越短。調(diào)節(jié)系統(tǒng)參數(shù)、信號(hào)參數(shù)、噪聲使三者協(xié)同產(chǎn)生隨機(jī)共振。簡(jiǎn)諧勢(shì)阱只有一個(gè)系統(tǒng)參數(shù)不用考慮系統(tǒng)參數(shù)間的相互影響，使之成為研究熱點(diǎn)之一。

圖1 簡(jiǎn)諧勢(shì)函數(shù)Fig.1 Harmonic potential function

1.2 Gaussian potential勢(shì)阱模型

在核物理學(xué)中，常用GP模型來(lái)描述復(fù)核散射，徑向GP模型[19]可以表示為

(2)

式中，V表示勢(shì)阱深度，R表示勢(shì)阱寬度。圖2表示GP勢(shì)阱的勢(shì)函數(shù)，由圖可知，勢(shì)阱的兩端迅速收斂于0。由圖2(a)可知，固定V，單獨(dú)調(diào)節(jié)R可以改變勢(shì)阱的寬度，并且隨著R的減小，勢(shì)阱寬度逐漸減小，勢(shì)阱壁逐漸變得陡峭。圖2(b)顯示，GP勢(shì)的勢(shì)阱深度由V唯一表征。

(a)V=1

(b)R=1

1.3 組合模型

基于以上兩種模型，將簡(jiǎn)諧勢(shì)阱模型和GP勢(shì)阱模型相結(jié)合，提出一種指數(shù)型雙勢(shì)阱模型，勢(shì)函數(shù)如下

(3)

圖3為結(jié)構(gòu)參數(shù)為：a=1，V=1，R=0.5的指數(shù)型雙穩(wěn)勢(shì)函數(shù)。勢(shì)阱函數(shù)的兩個(gè)勢(shì)阱是對(duì)稱的，每個(gè)勢(shì)阱的寬度和勢(shì)阱壁的陡峭度均可通過(guò)參數(shù)a，V，R進(jìn)行調(diào)節(jié)。在簡(jiǎn)諧勢(shì)阱模型中加入GP勢(shì)阱使其變成雙勢(shì)阱，使振蕩粒子由在單一勢(shì)阱中運(yùn)動(dòng)變成在兩勢(shì)阱間進(jìn)行躍遷，提高噪聲的利用率從而改善輸出信噪比，得到較好的隨機(jī)共振效果。從該新型系統(tǒng)的勢(shì)函數(shù)來(lái)看，通過(guò)調(diào)節(jié)系統(tǒng)參數(shù)，可以實(shí)現(xiàn)模型在單穩(wěn)態(tài)勢(shì)阱和雙穩(wěn)態(tài)勢(shì)阱之間的切換。因此，該新型模型兼具單穩(wěn)勢(shì)阱模型與雙穩(wěn)勢(shì)阱模型的優(yōu)點(diǎn)。

圖3 指數(shù)型雙穩(wěn)勢(shì)函數(shù)Fig.3 The exponential bistable potential function

2 隨機(jī)共振

2.1 隨機(jī)共振機(jī)理

隨機(jī)共振模型為

(4)

粒子逃逸率反映布朗粒子運(yùn)動(dòng)規(guī)律，噪聲引起布朗粒子躍遷Kramers逃逸率[20]為

(5)

(6)

布朗粒子在某一勢(shì)阱中的平均駐留時(shí)間TK=1/rk與勢(shì)函數(shù)變化時(shí)間相等才使得隨機(jī)共振發(fā)生

TK=T/2

(7)

(8)

由于噪聲太大信號(hào)被淹沒(méi),從波形圖和頻譜圖中無(wú)法識(shí)別，如圖4(a)和4(b)所示。經(jīng)過(guò)隨機(jī)共振后輸出波形接近方波如圖4(c)所示，0.01 Hz信號(hào)頻譜幅度為87，如圖4(d)所示，相對(duì)于周圍噪聲幅度信號(hào)突出，說(shuō)明指數(shù)型雙穩(wěn)隨機(jī)共振使信號(hào)能量大幅度提高。

2.2 系統(tǒng)參數(shù)對(duì)雙穩(wěn)隨機(jī)共振影響

傳統(tǒng)Duffing雙穩(wěn)隨機(jī)共振在噪聲系數(shù)過(guò)大下，增大阻尼比k，達(dá)到調(diào)節(jié)粒子躍遷速度使之與勢(shì)函數(shù)周期變化趨勢(shì)同步的目的，產(chǎn)生共振現(xiàn)象。指數(shù)型Duffing方程隨機(jī)共振條件為式(8)，在滿足絕熱近似理論條件下定義函數(shù)F表達(dá)式如下

F(a,u,V,D,k)=

(a)輸入信號(hào)波形

(b)輸入頻譜

(c)輸出信號(hào)波形

(d)輸出頻譜

(9)

固定一組參數(shù)采用數(shù)值仿真，信號(hào)采用幅度0.1，頻率0.01 Hz正弦周期信號(hào)，在采樣頻率5 Hz下采樣5 000點(diǎn)，a=1.74，V=1，R=0.8不同k值下仿真500次取平均SNR曲線圖如圖5(a)所示。由圖5(a)可知隨著D的增大輸出信噪比出現(xiàn)先增大后減小趨勢(shì)，不同阻尼系數(shù)k在同一噪聲強(qiáng)度對(duì)應(yīng)輸出信噪比值一樣大，D=0.31的為隨機(jī)共振輸出最高點(diǎn)，此時(shí)輸出信噪比為-9.825 dB，相對(duì)于輸入信號(hào)(信噪比-31.416 9 dB)信噪比提高21 dB。固定信號(hào)參數(shù)、采樣頻率、采樣點(diǎn)、噪聲強(qiáng)度D=0.31、V=1不變。R=0.8時(shí)參數(shù)a對(duì)輸出信噪比的影響如圖5(b)所示，隨著a的增加，輸出信噪比出現(xiàn)先增后減最后趨于平穩(wěn)趨勢(shì)。在較小a的情況下，雙穩(wěn)勢(shì)函數(shù)勢(shì)阱邊緣平坦，粒子躍遷無(wú)法通過(guò)，即使存在噪聲也無(wú)法驅(qū)動(dòng)粒子完成躍遷。隨著a的增大布朗粒子運(yùn)動(dòng)在一個(gè)勢(shì)阱內(nèi)局部運(yùn)動(dòng)，此時(shí)系統(tǒng)沒(méi)達(dá)到躍遷條件，部分信號(hào)能量轉(zhuǎn)化為噪聲能量導(dǎo)致輸出信噪比降低。a繼續(xù)增大，系統(tǒng)條件轉(zhuǎn)化為對(duì)信號(hào)有利條件，噪聲能量逐漸轉(zhuǎn)化為信號(hào)能量，當(dāng)a達(dá)到某一值時(shí)達(dá)到躍遷條件隨機(jī)共振現(xiàn)象發(fā)生。固定a=1.75，圖5(c)為參數(shù)R對(duì)輸出信噪比影響曲線，隨著R的逐漸增加，輸出信噪比先減后增大到極大值后再減小，隨著R的增大勢(shì)壘高度逐漸降低，勢(shì)壘高度達(dá)到布朗粒子運(yùn)動(dòng)躍遷高度，達(dá)到隨機(jī)共振發(fā)生條件此時(shí)三者協(xié)同作用下噪聲能量最大化轉(zhuǎn)化為信號(hào)能量。由此可通過(guò)調(diào)節(jié)噪聲強(qiáng)度以及系統(tǒng)參數(shù)實(shí)現(xiàn)隨機(jī)共振。

2.3 隨機(jī)共振參數(shù)優(yōu)化

當(dāng)信號(hào)噪聲固定時(shí)，需要調(diào)節(jié)系統(tǒng)參數(shù)達(dá)到最佳共振效果，單一的調(diào)節(jié)會(huì)忽略參數(shù)之間影響。目前隨機(jī)共振的衡量指標(biāo)主要有功率譜放大系數(shù)、信噪比增益、相關(guān)系數(shù)等等。其中，信噪比增益更能直觀地反應(yīng)隨機(jī)共振效果，本文采用噪比增益作為衡量指標(biāo)，其公式為[21]

(10)

式中，SNRout為輸出信噪比，SNRin為輸入信噪比。SNRgain大于1時(shí)表明隨機(jī)共振系統(tǒng)對(duì)輸入待測(cè)弱信號(hào)有明顯的改善和增強(qiáng)作用。本文采用粒子群算法以信噪比增益為適應(yīng)度函數(shù)，對(duì)每一組實(shí)現(xiàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行參數(shù)選擇。

(a)D

(b)a

(c)R

步驟1 種群初始化。固定信號(hào)幅度，噪聲強(qiáng)度，及阻尼比固定為0.5，設(shè)置種群數(shù)量，參數(shù)a，V，R搜索范圍以及最大進(jìn)化代數(shù)Tmax，參數(shù)最大搜索速度取最大調(diào)整步長(zhǎng)的10%～25%，這里的最大調(diào)整步長(zhǎng)指的是所設(shè)定的粒子位置范圍的上限值減去粒子位置范圍的下限值所得的差值。隨機(jī)初始化搜索點(diǎn)的位置，并計(jì)算出其相應(yīng)的個(gè)體極值，記錄整個(gè)粒子群中個(gè)體極值最大的粒子序號(hào)，設(shè)置Nbest為該最大粒子的當(dāng)前位置。

步驟2 評(píng)價(jià)每個(gè)粒子。適應(yīng)度函數(shù)采用SNRgain公式，計(jì)算粒子適應(yīng)度值。與該粒子當(dāng)前個(gè)體極值進(jìn)行比較，若大于后者，則更新粒子個(gè)體極值，若在該粒子的鄰域內(nèi)所有粒子的個(gè)體極值中最大的大于當(dāng)前的Nbest，則設(shè)置Nbest為該粒子的位置，記錄該粒子的序號(hào)，并更新Nbest的函數(shù)值。

步驟3 粒子的更新,采用粒子群算法迭代公式[22]更新粒子速度及位置。

步驟4 檢驗(yàn)是否符合結(jié)束條件。判斷當(dāng)前的迭代次數(shù)是否達(dá)到最大進(jìn)化代數(shù)Tmax，滿足條件則停止迭代，并輸出最優(yōu)參數(shù)，否則轉(zhuǎn)至步驟2。

步驟5 檢測(cè)結(jié)果。根據(jù)對(duì)a，V，R優(yōu)化輸出的最優(yōu)解，計(jì)算適應(yīng)度值，輸出最優(yōu)a，V，R。

3 經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解

經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解(Empirical Mode Decomposition，EMD)是用來(lái)實(shí)現(xiàn)降低噪聲的方法之一，通過(guò)數(shù)據(jù)特征時(shí)間尺度來(lái)獲得固有波動(dòng)模式，從而自適應(yīng)選擇函數(shù)實(shí)現(xiàn)信號(hào)分解。經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解后可以明顯的得到頻率大、小的信號(hào)，頻率大的信號(hào)優(yōu)先被分解得出，頻率低的隨后被分解，所有的IMF分量疊加得到的信號(hào)為最原始信號(hào)。分解過(guò)程中產(chǎn)生分解量為模態(tài)函數(shù)(IMF)。IMF信號(hào)分量中，信號(hào)極值點(diǎn)和過(guò)零點(diǎn)數(shù)目相等或相差1，為了得到滿足條件模態(tài)函數(shù)，需要多次篩選，具體算法如下[23]

步驟1 計(jì)算信號(hào)局部極大值極小值，通過(guò)3次樣條插值法擬合出上下包絡(luò)線平均值m1(t)，并且認(rèn)為h1(t)=x(t)-m1(t)為殘余分量。

步驟2 理想情況下h1為第一個(gè)IMF分量，判斷h1是否為滿足IMF分量，不滿足需要反復(fù)篩分，接下來(lái)將h1作為新信號(hào)，重復(fù)上述步驟，循環(huán)k次后，得到IMF條件h1k(t)。其中篩選次數(shù)約束滿足柯西準(zhǔn)則[24]

(11)

式中，T為信號(hào)時(shí)間長(zhǎng)度，ε為門限值范圍為0.2～0.3。

步驟3 得到第一階IMF的c1(t)即為h1k(t)，r1(t)=x(t)-c1(t)將c1(t)作為原始信號(hào)，反復(fù)重復(fù)上面兩個(gè)步驟，得到c2(t),c3(t),…,cn(t)，和剩余分量rn(t)，分解結(jié)束條件為rn(t)單調(diào)，由此可以將信號(hào)分解為n個(gè)模態(tài)分量。

經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解對(duì)于小波分解優(yōu)點(diǎn)在于不需要預(yù)先設(shè)定基函數(shù)，只需根據(jù)信號(hào)自身特性進(jìn)行平滑處理，最后達(dá)到降低噪聲，檢測(cè)出信號(hào)的效果。

4 仿真信號(hào)分析

為了驗(yàn)證本文所提指數(shù)型雙穩(wěn)隨機(jī)共振系統(tǒng)在微弱信號(hào)檢測(cè)中的效果，分別構(gòu)造沖擊衰減信號(hào)和諧波振動(dòng)信號(hào)進(jìn)行模擬實(shí)際工程仿真，更加貼近實(shí)際情況。

4.1 沖擊衰減信號(hào)

機(jī)械運(yùn)動(dòng)軸承信號(hào)產(chǎn)生都是具有沖擊性，這種信號(hào)淹沒(méi)在噪聲中更加難以發(fā)現(xiàn)，為模擬沖擊震蕩信號(hào)構(gòu)造沖擊衰減信號(hào)

sn(t)=H(t)×exp[-100(t-t/T/T)]×sin[1 200π(t-t/T/T)]+n(t)

(12)

式中，H(t)為階躍函數(shù)，T=0.128 s是沖擊周期，n(t)為均值為0方差為0.6的高斯噪聲，采樣點(diǎn)為2 048，采樣頻率fs=2 000 Hz，特征信號(hào)頻率為f=1/T=7.8 Hz，固定H(t)=0.2構(gòu)造周期沖擊衰減信號(hào)如圖6所示。圖中顯示周期沖擊衰減信號(hào)加入噪聲后無(wú)法分辨出信號(hào)，將含噪信號(hào)送入指數(shù)型雙穩(wěn)隨機(jī)共振系統(tǒng)中，特征信號(hào)頻率為大參數(shù)需要預(yù)處理變?yōu)樾?shù)，進(jìn)行二次采樣處理大頻率信號(hào)，二次采樣頻率為fsr=5 Hz，采樣壓縮比為R=fs/fsr=400，相當(dāng)于待測(cè)信號(hào)壓縮為0.018 75 Hz滿足小參數(shù)條件。

(a)波形圖

(b)頻譜圖

經(jīng)過(guò)參數(shù)為(a,b)=(1,1)經(jīng)典雙穩(wěn)隨機(jī)共振后特征信號(hào)7.8 Hz頻譜幅度為27.96，周圍噪聲依然很大，信號(hào)不能識(shí)別如圖7所示。由于阻尼系數(shù)對(duì)隨機(jī)共振影響不大，固定k=0.5使用3.3節(jié)尋優(yōu)參數(shù)找到(a,V,R)=(1.528 3,3.512 7,0.151 8)進(jìn)行指數(shù)型隨機(jī)共振，將輸出信號(hào)進(jìn)行大頻恢復(fù)，特征信號(hào)7.8 Hz頻譜幅度為44.9，如圖8所示，相對(duì)于周圍噪聲信號(hào)成分突出明顯，證明此系統(tǒng)在振動(dòng)信號(hào)中檢測(cè)有用性。

圖7 經(jīng)典雙穩(wěn)隨機(jī)共振輸出Fig.7 The output signal spectrum after CBSR

4.2 諧波振動(dòng)信號(hào)分析

諧波振動(dòng)信號(hào)是一種典型的多頻振動(dòng)信號(hào)，通過(guò)分析這種振動(dòng)信號(hào)，可以使我們準(zhǔn)確了解機(jī)器的運(yùn)行狀態(tài)。構(gòu)造一種包含兩種諧波振動(dòng)成分的含噪信號(hào)

圖8 指數(shù)型隨機(jī)共振輸出Fig.8 The output signal spectrum after exponential SR

sn(t)=A1sin(2π×ft)+A2sin(2π×2ft)+n(t)

(13)

圖9 含噪信號(hào)Fig.9 Signal with noise

將二次采樣后含噪信號(hào)送入指數(shù)型雙穩(wěn)系統(tǒng)，固定k=0.5使用3.3節(jié)尋優(yōu)參數(shù)找到(a,V,R)=(1.687 4,0.470 4,0.050 8)進(jìn)行指數(shù)型隨機(jī)共振，隨機(jī)共振后信號(hào)頻譜如圖11所示，高頻噪聲降低，低頻成分升高，振動(dòng)信號(hào)成分能量增強(qiáng)。圖11可知振動(dòng)成分f頻譜幅度為203.1、2f頻譜幅度為176.8。上述兩實(shí)驗(yàn)分別驗(yàn)證兩種信號(hào)下指數(shù)型隨機(jī)共振在信號(hào)檢測(cè)方面優(yōu)于經(jīng)典雙穩(wěn)系統(tǒng)。

含噪信號(hào)在指數(shù)型雙穩(wěn)隨機(jī)共振后信號(hào)能量得到較大增加，但周圍依然存在大量噪聲。經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解是很好的降噪技術(shù)手段，能將信號(hào)的成分從高頻到低頻逐層分解，為了有效的檢測(cè)到待測(cè)的多頻信號(hào)，將指數(shù)型雙穩(wěn)隨機(jī)共振輸出信號(hào)進(jìn)行EMD分解得到IMF成分如圖12所示，IMF1～I(xiàn)MF3含有幅度太小的噪聲，IMF4～I(xiàn)MF5含有f信號(hào)成分，IMF6含有2f信號(hào)成分IMF7～I(xiàn)MF8為剩余分量。將IMF4～I(xiàn)MF6含有信號(hào)部分疊加得到降低噪聲后的合成信號(hào)如圖13所示，可以明顯的觀察到一次諧波與二次諧波信號(hào)，這相對(duì)于圖11更加準(zhǔn)確的檢測(cè)到信號(hào)。

圖10 經(jīng)典雙穩(wěn)隨機(jī)共振輸出Fig.10 The output signal spectrum after CBSR

圖11 指數(shù)型隨機(jī)共振輸出Fig.11 The output signal spectrum after exponential SR

圖12 EMD分解后IMFs頻譜分量Fig.12 The spectrum of IMFs decomposed by EMD

因此在多頻信號(hào)大噪聲環(huán)境下，可以先通過(guò)隨機(jī)共振進(jìn)行部分能量轉(zhuǎn)移，再將輸出信號(hào)進(jìn)行降噪處理提取待測(cè)信號(hào)成分進(jìn)行合成，能得到比隨機(jī)共振后更加明顯信號(hào)成分。

圖13 合成信號(hào)頻譜Fig.13 The synthetic signal spectrum

5 工程應(yīng)用

滾動(dòng)軸承故障信號(hào)具有非平穩(wěn)性、調(diào)制性、微弱性，由于常常淹沒(méi)在強(qiáng)大的背景噪聲中難以發(fā)現(xiàn)和提取[25]。軸承故障出現(xiàn)對(duì)工程應(yīng)用有不可估量的損失常常發(fā)生在內(nèi)圈、外圈、滾動(dòng)體等。軸承故障信號(hào)存在往往以倍頻形式，故障越嚴(yán)重倍頻成分越多。本文提出基于指數(shù)型雙穩(wěn)隨機(jī)共振系統(tǒng)與EMD聯(lián)合檢測(cè)微弱信號(hào)方法并對(duì)軸承的內(nèi)圈故障信號(hào)進(jìn)行驗(yàn)證。首先，用二次采樣對(duì)不滿足絕熱近似理論的故障信號(hào)進(jìn)行預(yù)處理；其次，在將信號(hào)送入隨機(jī)共振系統(tǒng)后，參數(shù)尋優(yōu)后找到最佳參數(shù)對(duì)信號(hào)進(jìn)行隨機(jī)共振；再次，將隨機(jī)共振后信號(hào)通過(guò)經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解，觀察故障頻率、二倍頻信號(hào)和三倍頻信號(hào)；最后，含有故障信號(hào)及其倍頻信號(hào)的模態(tài)分量進(jìn)行合成輸出，實(shí)現(xiàn)故障信號(hào)檢測(cè)。本文故障信號(hào)采用Case Western Reserve University電氣工程實(shí)驗(yàn)室[26]公開(kāi)數(shù)據(jù)，選用型號(hào)為6205-2RS JEM SKF的深溝球軸承為實(shí)驗(yàn)對(duì)象，其主要參數(shù)如表1所示。軸承轉(zhuǎn)速r=1 796 r/min(29.93 Hz)，采樣頻率fs=12 kHz，二次采樣頻率5 Hz，采樣點(diǎn)數(shù)N=6 000，軸承的故障特征頻率如表2所示。外圈的故障特征頻率為162.2 Hz，其二倍頻為324.4 Hz。三倍頻率為486.6 Hz。

表1 滾動(dòng)軸承主要計(jì)算參數(shù)Tab.1 The main computation parameters of the rolling bearing

表2 滾動(dòng)軸承故障特征頻率Tab.2 Rolling bearing fault feature frequency

故障信號(hào)時(shí)域圖與頻譜圖如圖14(a)所示，軸承轉(zhuǎn)動(dòng)由于故障之處產(chǎn)生周期性沖擊信號(hào)，2 000～4 000頻段存在干擾信號(hào)，故障信號(hào)存在低頻段。將信號(hào)二次采樣預(yù)處理后送入?yún)?shù)為(a,V,R,k)=(2.530 1,3.524 2,1.758 1,0.5)指數(shù)型雙穩(wěn)隨機(jī)共振系統(tǒng)，隨機(jī)共振后輸出信號(hào)頻譜如圖14(b)所示，特征160 Hz顯現(xiàn)為故障頻率(誤差在允許范圍內(nèi))，但其二倍頻、三倍頻特征沒(méi)有顯現(xiàn)。將隨機(jī)共振后輸出信號(hào)進(jìn)行EMD分解如圖15所示，IMF4～I(xiàn)MF3成分含有特征信號(hào)，IMF3～I(xiàn)MF2含有二倍頻信號(hào)，IMF2含有三倍頻信號(hào)。圖16為IMF2～I(xiàn)MF4分量進(jìn)行疊后合成信號(hào)，由此可見(jiàn)大噪聲存在時(shí)，隨機(jī)共振都無(wú)法識(shí)別多頻成分，結(jié)合經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解后可使沒(méi)被檢測(cè)出的信號(hào)得到檢測(cè)。

(a)輸入內(nèi)圈故障信號(hào)

(b)指數(shù)型隨機(jī)共振輸出信號(hào)

圖15 EMD分解后IMFs頻譜分量Fig.15 The spectrum of IMFs decomposed by EMD

圖16 合成信號(hào)Fig.16 The synthetic signal

6 結(jié) 論

本文將簡(jiǎn)諧勢(shì)阱與GP勢(shì)阱系統(tǒng)組合成一種新型的指數(shù)雙穩(wěn)系統(tǒng)，將此勢(shì)阱模型應(yīng)用在Duffing振子方程，進(jìn)行隨機(jī)共振研究。

(1)在小參數(shù)條件下阻尼系數(shù)k對(duì)隨機(jī)共振輸出信噪比影響不大，在信號(hào)一定條件下存在某一噪聲強(qiáng)度使得隨機(jī)共振發(fā)生；

(2)隨著a(或R)增加，輸出信噪比大致趨勢(shì)都是先增后減，因此調(diào)節(jié)參數(shù)可以達(dá)到最佳共振效果；

(3)為了證明新型指數(shù)型雙穩(wěn)隨機(jī)共振系統(tǒng)對(duì)弱信號(hào)檢測(cè)的有用性，構(gòu)造沖擊衰減信號(hào)以及諧波振動(dòng)信號(hào)，系統(tǒng)參數(shù)選擇采用粒子群算法，以輸出噪比增益為目標(biāo)函數(shù)，找到最優(yōu)參數(shù)(a,V,R)分別驗(yàn)證了所提系統(tǒng)的有用性；

(4)為了更好的檢測(cè)出多頻諧波信號(hào)提出一種隨機(jī)共振后經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解信號(hào)檢測(cè)方法，并將所提方法應(yīng)用在軸承故障信號(hào)檢測(cè)中。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，通過(guò)將隨機(jī)共振輸出信號(hào)進(jìn)行EMD處理，可得到除了故障頻率，還有故障頻率倍頻信號(hào)。這種先通過(guò)隨機(jī)共振后進(jìn)行EMD結(jié)合兩者的優(yōu)勢(shì)，能更加準(zhǔn)確的檢測(cè)故障信號(hào)。