王 貞，朱思宇，許國山，徐小童，吳 斌

(1.哈爾濱工業(yè)大學(xué) 結(jié)構(gòu)工程災(zāi)變與控制教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，哈爾濱 150090;2.哈爾濱工業(yè)大學(xué) 土木工程智能防災(zāi)減災(zāi)工業(yè)和信息化部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，哈爾濱 150090;3.哈爾濱工業(yè)大學(xué) 土木工程學(xué)院，哈爾濱 150090)

在人類歷史上，地震一直是人類社會(huì)的大敵。合理的結(jié)構(gòu)抗震設(shè)計(jì)是減小地震災(zāi)害的有效措施。但由于抗震機(jī)理和結(jié)構(gòu)的復(fù)雜性，僅靠理論難以完全把握結(jié)構(gòu)的地震響應(yīng)，常通過結(jié)構(gòu)試驗(yàn)研究其抗震性能[1]。混合試驗(yàn)?zāi)苤苯咏o出結(jié)構(gòu)在指定地震作用下的響應(yīng)，是一種重要的結(jié)構(gòu)抗震試驗(yàn)方法。有關(guān)研究及試驗(yàn)結(jié)果表明，地震對(duì)結(jié)構(gòu)的作用是多向的，水平雙向地震對(duì)結(jié)構(gòu)的破壞作用比單向地震大很多[2]。因此精確地完成雙向混合試驗(yàn)對(duì)抗震研究具有重要意義。

與單向混合試驗(yàn)不同，雙向混合試驗(yàn)的雙向位移加載中的位移耦合關(guān)系，為作動(dòng)器的控制命令求解帶來困難。混合試驗(yàn)需要不斷獲取試件的當(dāng)前位置與恢復(fù)力，保證積分算法逐步推進(jìn)。而由于位移的耦聯(lián)，試件實(shí)際位移的測量以及試件恢復(fù)力的獲得也存在困難[3]。隨著試件規(guī)模及剛度的提高，雙向混合試驗(yàn)的加載難度加大，常常需要采用比自由度數(shù)目更多的作動(dòng)器完成加載[4]。對(duì)冗余作動(dòng)器的加載控制又成為新的難點(diǎn)。

在雙向混合試驗(yàn)方面，前人已經(jīng)完成了一些研究工作。Thewalt等[5]采用線性轉(zhuǎn)換關(guān)系，完成了雙向混合試驗(yàn)。Molina等開展了三層足尺模型的雙向擬動(dòng)力試驗(yàn)，將非線性坐標(biāo)變換關(guān)系引入到試驗(yàn)中。Liu等[6]開展了單層鋼框架雙向混合試驗(yàn)。Wu等[7]開展了二層足尺防屈曲支撐混凝土框架試驗(yàn)。程春等[8-9]也開展了相關(guān)研究。此外，雙向慢速加載方法在擬靜力試驗(yàn)得到了一定程度的研究和應(yīng)用，如曾聰?shù)萚10]研究了如何在擬靜力試驗(yàn)中準(zhǔn)確實(shí)現(xiàn)壓剪的力-位移混合控制問題，Xia等[11]采用雙向擬靜力試驗(yàn)研究雙壁鋼箱混凝土組合墩柱的抗震性能。此前混合試驗(yàn)軟件HyTest[12-13]已經(jīng)具備一些多自由度加載控制功能[14]。但這些研究與應(yīng)用往往沒有考慮幾何非線性問題。

本文主要研究雙向混合試驗(yàn)的加載控制方法。闡述了坐標(biāo)轉(zhuǎn)換方法及試件恢復(fù)力的求解方法，提出基于數(shù)值迭代算法的外環(huán)加載方法以及力控制的冗余作動(dòng)器加載方法，并開展了數(shù)值模擬及真實(shí)試驗(yàn)。

1 雙向混合試驗(yàn)控制方法[15]

混合試驗(yàn)是一種將計(jì)算機(jī)模擬與結(jié)構(gòu)試驗(yàn)有機(jī)結(jié)合的試驗(yàn)方法。該方法通過作動(dòng)器對(duì)結(jié)構(gòu)試件進(jìn)行加載，并實(shí)際測量恢復(fù)力，從而通過積分算法求解得到下一步加載位移。

與常規(guī)混合試驗(yàn)相比，雙向混合試驗(yàn)的難點(diǎn)在于如何確定作動(dòng)器命令，如何求解質(zhì)心恢復(fù)力，如何進(jìn)行作動(dòng)器加載控制。本文將詳細(xì)闡述這些問題。

1.1 坐標(biāo)轉(zhuǎn)換

雙向混合試驗(yàn)中，由于兩向作動(dòng)器位移的耦合與質(zhì)心的轉(zhuǎn)動(dòng)，作動(dòng)器位移、試件位移與傳感器測量值之間存在幾何關(guān)系。試驗(yàn)的順利實(shí)施，依賴于坐標(biāo)變換的正確性。

假設(shè)長方形的單層樓板試件為剛體試件。為方便、準(zhǔn)確地對(duì)試件進(jìn)行描述，建立固定于地面的整體坐標(biāo)系XOY，以及樓板質(zhì)心作為原點(diǎn)的局部坐標(biāo)系xcy，兩坐標(biāo)系的坐標(biāo)軸平行且方向一致。試件位移可表示為平面內(nèi)X方向平動(dòng)dx、Y方向平動(dòng)dy以及試件中心的轉(zhuǎn)動(dòng)dθ，如圖1所示。圖中A1、A2、A3、A4分別表示作動(dòng)器，L1、L2、L3、L4分別表示位移計(jì)，rx、ry、rθ分別表示質(zhì)心的廣義恢復(fù)力。

(1)

圖1 試件及作動(dòng)器、位移計(jì)布置Fig.1 Specimen and set-up of actuators and LVDTs

(2)

在局部坐標(biāo)系中，作動(dòng)器與試件連接點(diǎn)的初始坐標(biāo)為

(3)

(4)

將局部坐標(biāo)系中的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換到整體坐標(biāo)系中，得到作動(dòng)器與試件連接點(diǎn)移動(dòng)后在整體坐標(biāo)系中的坐標(biāo)為

(5)

整理得

(6)

其中

(7)

為了后文討論方便，把該式表示成函數(shù)的形式，即

(8)

該式表示，當(dāng)試件質(zhì)心位移為dM時(shí)，第i號(hào)作動(dòng)器的讀數(shù)理論上為gi(dM)。由于間隙、支座滑移、連接件彈性變形等的影響，實(shí)際值可能和該值略有差別。

外接位移計(jì)的讀數(shù)與此類似，不再贅述。

1.2 試件恢復(fù)力的求解

雙向混合試驗(yàn)中，加載所用作動(dòng)器兩端為球鉸，出力總是沿其軸向，通過作動(dòng)器力傳感器可以得到每個(gè)作動(dòng)器出力值。根據(jù)作動(dòng)器所在位置，可知作動(dòng)器當(dāng)前的出力方向。下面以第i號(hào)作動(dòng)器為例，根據(jù)單位向量的定義，將作動(dòng)器位置向量除以向量的模，即可得到作動(dòng)器力方向的單位向量，即

(9)

在整體坐標(biāo)系內(nèi)，將第i號(hào)作動(dòng)器出力fi沿坐標(biāo)系的X軸與Y軸進(jìn)行分解，得到各分量

(10)

由于作動(dòng)器的出力作用在試件的不同位置，各個(gè)分力對(duì)試件中心可能產(chǎn)生力矩，與發(fā)生轉(zhuǎn)動(dòng)的試件的恢復(fù)力矩相平衡。將作動(dòng)器與試件連接點(diǎn)到試件中心的距離用向量表示

(11)

則可求得第i號(hào)作動(dòng)器出力對(duì)試件中心產(chǎn)生的力矩

(12)

將所有作動(dòng)器的分力加和，可得到試件受到的X與Y方向的力及力矩，根據(jù)受力平衡，可得試件的恢復(fù)力，為

r=A·F

(13)

其中，F(xiàn)表示n個(gè)作動(dòng)器的出力值組成的向量

A表示3×n的矩陣，即

1.3 質(zhì)心位移求解

混合試驗(yàn)中，由于試件滑移、連接件變形等加載誤差的存在，作動(dòng)器的位移并不等于作動(dòng)器與試件連接點(diǎn)的位移，僅使用作動(dòng)器的內(nèi)部位移計(jì)測量試件位移是不準(zhǔn)確的。為了提高試驗(yàn)的精度，采用外接LVDT位移計(jì)的讀數(shù)反解試件質(zhì)心位移并以此為控制變量，實(shí)現(xiàn)雙向混合試驗(yàn)的外環(huán)控制。

(14)

Mi=T·(Mi,0-C0)+Cc

(15)

(16)

式中,p表示位移計(jì)的數(shù)目。試驗(yàn)過程中，位移傳感器的測量值已知，求解試件質(zhì)心位移就是求解由式(14)、(16)組成的方程組。鑒于式(16)是關(guān)于質(zhì)心位移的超越方程，此方程組的解難以直接得到，常需采用牛頓法等迭代求解。當(dāng)采用超過三個(gè)位移計(jì)時(shí)，在牛頓法求解過程中雅可比矩陣非方陣，此時(shí)需使用偽逆矩陣代替逆矩陣求解，可得最小二乘意義下的最優(yōu)解。

1.4 外環(huán)控制方法

雙向混合試驗(yàn)中作動(dòng)器的位移是互相關(guān)聯(lián)的，通過反饋控制合理地調(diào)整作動(dòng)器命令，可使試件快速準(zhǔn)確地達(dá)到期望位移。本文提出基于牛頓迭代的作動(dòng)器位移命令更新方法。

混合試驗(yàn)的加載控制目標(biāo)，就是使試件質(zhì)心位移以合理的方式接近期望位移，即

d-dM=0

(17)

對(duì)于每一積分步，期望位移是確定的，而質(zhì)心位移會(huì)由于作動(dòng)器的不斷加載而變動(dòng)。而作動(dòng)器的運(yùn)動(dòng)又受到其命令的制約，因此可以把質(zhì)心位移視作作動(dòng)器命令的函數(shù)，即

dM=dM(dC)

(18)

不斷更新作動(dòng)器的命令進(jìn)行加載，就是求解由式(17)和式(18)組成的非線性方程組的過程。采用牛頓迭代法可以表示為

(19)

(20)

而

(21)

即對(duì)第n個(gè)作動(dòng)器而言，其命令對(duì)質(zhì)心各運(yùn)動(dòng)分量的偏導(dǎo)數(shù)。若假定每次采集數(shù)據(jù)計(jì)算新命令時(shí)，作動(dòng)器響應(yīng)都能很好跟蹤其命令，即

dC≈dA

(22)

因此有

(23)

盡管以上推導(dǎo)是合理的，但忽略了作動(dòng)器跟蹤誤差，即理論上dC不一定等于dA，甚至在采樣頻率比較高時(shí)，它們之間存在明顯的差別。為了考慮該誤差的影響，對(duì)得到的雅克比矩陣進(jìn)行折減，即實(shí)際使用的迭代格式為

(24)

式中,α是0～1之間的折減系數(shù)。該式表明對(duì)所有作動(dòng)器采用相同的折減系數(shù)，實(shí)際中與各作動(dòng)器相關(guān)的誤差可能很不同，可以為不同作動(dòng)器設(shè)置不同參數(shù)，以實(shí)現(xiàn)更好性能。

由式(24)可見，每次作動(dòng)器命令更新的時(shí)候，根據(jù)當(dāng)前時(shí)刻質(zhì)心位移與期望位移在各個(gè)分量上的差，以及當(dāng)前時(shí)刻的雅克比矩陣，求解新的命令。因此充分考慮了作動(dòng)器命令對(duì)質(zhì)心位移的影響。同時(shí)考慮到試驗(yàn)中誤差的不確定性，引入了折減系數(shù)，使得命令更為光滑、作動(dòng)器響應(yīng)更為協(xié)調(diào)。實(shí)際實(shí)施中，還需要引入迭代跳出條件，此處不再贅述。

2 冗余作動(dòng)器的控制

2.1 作動(dòng)器加載的最優(yōu)出力

在雙向混合試驗(yàn)中，當(dāng)試件尺寸較大或剛度較大時(shí)，由于作動(dòng)器出力的限制，僅使用三個(gè)作動(dòng)器進(jìn)行加載控制難以實(shí)現(xiàn)加載目標(biāo)。采用超過三個(gè)作動(dòng)器時(shí)，由于樓板平面內(nèi)僅有三個(gè)自由度且不同作動(dòng)器加載速度的差距、加載誤差的影響，作動(dòng)器可能互相干擾，不能以合理的出力實(shí)現(xiàn)加載。舉個(gè)極端的例子，可能某作動(dòng)器對(duì)加載起阻礙作用，即其余作動(dòng)器需抵消該作動(dòng)器出力。之所以會(huì)出現(xiàn)這種情況，是因?yàn)樵嚰馁|(zhì)心位移需要且僅需要三個(gè)位移控制作動(dòng)器就能實(shí)現(xiàn)，多余作動(dòng)器的存在不能改變質(zhì)心位移；多余作動(dòng)器只會(huì)影響與當(dāng)前質(zhì)心位移對(duì)應(yīng)的試件恢復(fù)力如何在各作動(dòng)器之間分配。很顯然，存在無數(shù)種可能，只能按照一定的原則實(shí)現(xiàn)一種較合理的分配方式，當(dāng)然也包含前面所舉極端例子?？傊?，需要對(duì)冗余作動(dòng)器的加載控制進(jìn)行處理，從而優(yōu)化各作動(dòng)器的出力分配，與第1.4節(jié)的外環(huán)控制共同完成對(duì)試件的加載控制。

Molina等對(duì)冗余作動(dòng)器采用位移控制，并根據(jù)性能指標(biāo)計(jì)算優(yōu)化出力，從而對(duì)位移控制進(jìn)行修正。與此類似又有所不同，本文提出對(duì)冗余作動(dòng)器直接采取力控制，并采用更為簡潔的優(yōu)化目標(biāo)表達(dá)式，從而不需要求解非線性方程即可得到優(yōu)化力。

為使作動(dòng)器能協(xié)調(diào)工作，所采用的優(yōu)化目標(biāo)的內(nèi)涵是，期望每一個(gè)作動(dòng)器的出力值都能遠(yuǎn)離其出力上限，并且總的出力的絕對(duì)值的和最小，最大限度地發(fā)揮作動(dòng)器加載能力。優(yōu)化目標(biāo)如下

(25)

對(duì)于此條件極值問題，一種解決辦法是把約束條件代入到優(yōu)化函數(shù)，另外一種是采用拉格朗日乘子法，本文采用第二種方法。首先定義拉格朗日函數(shù)，即

L(x)=h(F)+λ×Q(F)T

(26)

其中

Q(F)=r-A·F

拉格朗日函數(shù)對(duì)各變量的偏導(dǎo)數(shù)為0，即得優(yōu)化問題的解，為

(27)

為了便于理解，給出展開后的拉格朗日函數(shù)為

(28)

其中alk為矩陣A的第l行k列元素。那么式(27)為

(29)

顯然可以表示為

(30)

其中

可見，該優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為線性方程組求解問題，非常方便求解。

必須注意的是，本節(jié)討論的是已知當(dāng)前控制步試件恢復(fù)力r后，根據(jù)優(yōu)化目標(biāo)求解各作動(dòng)器應(yīng)該實(shí)現(xiàn)的最優(yōu)出力，它們不一定是實(shí)際的出力。在實(shí)際實(shí)施中，把與冗余作動(dòng)器對(duì)應(yīng)的最優(yōu)出力以力命令的形式發(fā)給作動(dòng)器，讓作動(dòng)器在下一步實(shí)現(xiàn)。盡管有一步延遲，但考慮到控制步步長較小，應(yīng)該具有較好的精度，數(shù)值模擬也驗(yàn)證了該推斷。

2.2 冗余作動(dòng)器的力控制方法

第2.1節(jié)所述的最優(yōu)出力，是試件在當(dāng)前位移狀態(tài)下，滿足優(yōu)化目標(biāo)的作動(dòng)器的最優(yōu)出力。冗余作動(dòng)器采用力控制模式，可直接發(fā)送計(jì)算得到的最優(yōu)出力，通過試件自身受力平衡，使位移控制作動(dòng)器的出力達(dá)到或接近最優(yōu)出力。

簡述試件采用上述方法加載時(shí)的試驗(yàn)過程如下，其框圖見圖2。

(1)讀取外接LVDT、作動(dòng)器位移、作動(dòng)器力等讀數(shù)；

(2)求解試件質(zhì)心位移及試件恢復(fù)力；

(4)求解試件當(dāng)前位移下的矩陣J-1；

(5)根據(jù)式(19)計(jì)算新的位移控制作動(dòng)器命令；

(6)根據(jù)式(30)計(jì)算試件最優(yōu)出力；

(7)把位移命令、力命令發(fā)送給作動(dòng)器進(jìn)行加載；

(8)等待加載步時(shí)長后，回到第(1)步，直至循環(huán)終止。

圖2 雙向混合試驗(yàn)的加載控制策略Fig.2 Loading control strategy for bi-directionnal hybrid test

3 數(shù)值模擬

為檢驗(yàn)上述雙向混合試驗(yàn)控制策略的合理性與準(zhǔn)確性，采用Simulink進(jìn)行仿真模擬。采用文獻(xiàn)[16]的電液伺服作動(dòng)器模型，純數(shù)值模擬得到的結(jié)構(gòu)地震響應(yīng)作為期望位移。試件x、y方向剛度均為100 kN/mm，轉(zhuǎn)動(dòng)剛度100 kN·m/rad。試件對(duì)目標(biāo)位移的跟蹤情況見圖3、4。

圖3 期望位移與試件位移比較Fig.3 Comparison between specimen displacement and desired displacement

由圖3可見，三個(gè)方向位移均能達(dá)到很好的跟蹤效果。冗余作動(dòng)器優(yōu)化控制對(duì)作動(dòng)器出力的影響見圖4。4個(gè)作動(dòng)器實(shí)際出力在經(jīng)過冗余控制的優(yōu)化后，與最優(yōu)出力基本一致，冗余作動(dòng)器的控制方法能達(dá)到較理想效果。二者存在差別，是因?yàn)楫?dāng)前步發(fā)送的是上一步的優(yōu)化力。

圖4 作動(dòng)器實(shí)際出力與最優(yōu)出力Fig.4 Actual forces and optimal forces of actuators

4 試驗(yàn)驗(yàn)證

結(jié)構(gòu)為單層鋼框架，尺寸為2.0 m×2.0 m×1.5 m，樓板假定為剛體。正式試驗(yàn)前估計(jì)得到的試件三個(gè)方向剛度為(采用國際單位)

設(shè)定原型結(jié)構(gòu)的質(zhì)量矩陣、阻尼矩陣為(采用國際單位)

采用四個(gè)作動(dòng)器進(jìn)行加載，x、y方向各兩個(gè)作動(dòng)器。試件錨固在6 t重的地梁上，地梁通過8根錨桿固定于地面。外接4個(gè)LVDT位移傳感器用于外環(huán)控制，各傳感器兩端鉸接。每積分步迭代加載上限10次，每次加載時(shí)長500 ms。試件與加載設(shè)備見圖5。

圖5 試件及加載設(shè)備Fig.5 Specimen and loading devices

混合試驗(yàn)涉及伺服控制、計(jì)算機(jī)模擬與數(shù)值分析等技術(shù)，需要借助混合試驗(yàn)平臺(tái)。前述雙向混合試驗(yàn)控制方法采用C++代碼實(shí)現(xiàn)，整合到HyTest軟件的試驗(yàn)子結(jié)構(gòu)中。HyTest的協(xié)調(diào)器完成運(yùn)動(dòng)方程求解，試驗(yàn)子結(jié)構(gòu)軟件負(fù)責(zé)加載控制并與MTS系統(tǒng)通信，從而操作作動(dòng)器對(duì)試件進(jìn)行加載。

對(duì)結(jié)構(gòu)施加20 gal的El Centro(1940，NS)地震記錄；采用中心差分法求解運(yùn)動(dòng)方程，積分步長0.01 s。試件實(shí)際位移對(duì)目標(biāo)位移的跟蹤效果如圖6所示?？梢钥闯?，三個(gè)自由度方向的位移跟蹤效果均良好，平動(dòng)位移最大誤差約為0.01 mm，表明每積分步試件均能在加載時(shí)間內(nèi)達(dá)到期望位移。

為了作對(duì)比，還以四個(gè)作動(dòng)器均采用位移控制模式重復(fù)了該試驗(yàn)，兩次試驗(yàn)的目標(biāo)函數(shù)值如圖7所示。由圖可見，本文所述方法的目標(biāo)函數(shù)總是比全位移控制的目標(biāo)函數(shù)更小，尤其是在位移幅值較大時(shí)。該結(jié)果表明，在保證有效出力(即試件恢復(fù)力)的前提下，本文方法顯著降低了無效出力，即優(yōu)化了作動(dòng)器出力的分布。

5 結(jié) 論

本文主要研究雙向混合試驗(yàn)的加載控制方法。針對(duì)雙向混合試驗(yàn)中存在的位移耦聯(lián)問題，闡述了坐標(biāo)轉(zhuǎn)換、恢復(fù)力求解和質(zhì)心位移求解等問題，提出了基于迭代的作動(dòng)器位移命令更新方法和冗余作動(dòng)器的力控制策略，并通過數(shù)值模擬與試驗(yàn)加以驗(yàn)證。主要結(jié)論如下：

(a)全局圖

(b)局部

圖7 目標(biāo)函數(shù)對(duì)比Fig.7 Comparison of target function between proposed method and full-displacement-control method

(1)考慮到試驗(yàn)中位移、力等存在的幾何非線性耦合關(guān)系，建立了坐標(biāo)轉(zhuǎn)換關(guān)系，模擬與試驗(yàn)結(jié)果均表明，該轉(zhuǎn)換關(guān)系正確有效。

(2)提出基于牛頓迭代的作動(dòng)器位移命令更新方法，利用雅可比矩陣合理協(xié)調(diào)作動(dòng)器之間的加載關(guān)系，使試件快速準(zhǔn)確地達(dá)到目標(biāo)位移。

(3)提出冗余作動(dòng)器的力控制策略，能協(xié)調(diào)作動(dòng)器之間出力關(guān)系，充分發(fā)揮作動(dòng)器的加載能力。試驗(yàn)結(jié)果表明，優(yōu)化效果顯著。