☉安徽省寧國市津河中學(xué) 汪庭斌

涉及平面向量的最值問題一直是高考平面向量部分比較常見的考查形式，往往涉及向量的模、向量的夾角、向量的數(shù)量積、參數(shù)值等相關(guān)最值的求解，也是各類模擬卷、自主招生中比較常見的題型.此類問題的切入點(diǎn)多，方法多樣，而且難度一般都不低，是知識的交匯點(diǎn)，其創(chuàng)新應(yīng)用強(qiáng)，能力體現(xiàn)高，是數(shù)學(xué)素養(yǎng)培養(yǎng)與提升的重要場所.

例在邊長為1的正三角形ABC中，E，F(xiàn)分別是邊AB，AC上的動點(diǎn)，且滿足，其中m，n∈（0，1），m+n=，N分別是EF，BC的中點(diǎn)，則|MN|的最小值為（ ）.

本題以“E，F(xiàn)分別是邊AB，AC上的動點(diǎn)”這個“變”的關(guān)系與“這個“不變”的式子來設(shè)置，結(jié)合“M，N分別是EF，BC的中點(diǎn)”，利用其中點(diǎn)M的“動”與點(diǎn)N的“不動”這一對關(guān)系來確定“|MN|的最小值”.充分體現(xiàn)了動與靜，變與不變，常值與最值等矛盾與統(tǒng)一的辯證關(guān)系，也充分聯(lián)系起平面向量、函數(shù)、幾何等知識點(diǎn)之間的交匯與綜合，可以達(dá)到綜合考查能力，培養(yǎng)素養(yǎng)品質(zhì)的目的.

基底法是解決平面向量的常用方法與常見技巧，一定要熟練掌握.其本質(zhì)是通過平面向量的線性關(guān)系理清向量之間的關(guān)系，把所要求解的|MN|轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的基底向量的線性關(guān)系，然后利用模的平方建立起含有參數(shù)m，n的關(guān)系式，并結(jié)合兩參數(shù)之間的關(guān)系加以轉(zhuǎn)化，化為只有其中一個參數(shù)的二次函數(shù)問題，最后利用二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)來確定最值即可.

解法1：由于M，N分別是EF，BC的中點(diǎn)，

共線向量定理是平面向量中關(guān)于平面向量線性關(guān)系的一個重要定理，可以有效構(gòu)建起平面向量的線性關(guān)系與相關(guān)三點(diǎn)之間的位置關(guān)系.借助平面向量的中點(diǎn)公式加以轉(zhuǎn)化，構(gòu)造出新的點(diǎn)G、H，并結(jié)合共線向量定理可以確定點(diǎn)M的軌跡為線段GH（不包括兩邊的端點(diǎn)），再利用平面幾何性質(zhì)來確定|MN|的最小值.

圖1

解法2：由題n，又由于M是EF的中點(diǎn)，則有n

因此根據(jù)共線向量定理可知點(diǎn)M的軌跡為線段GH（不包括兩邊的端點(diǎn)），

又根據(jù)平面幾何性質(zhì)可知當(dāng)點(diǎn)M為線段GH的中點(diǎn)時，|MN|取得最小值，其值為正三角形ABC的高的

在破解一些有關(guān)平面幾何問題的選擇題時，經(jīng)?？梢岳闷矫鎺缀蔚囊恍┫嚓P(guān)基本性質(zhì)，選取特殊位置來進(jìn)行特殊化處理，進(jìn)而得以快捷處理并正確破解.這里利用正三角形ABC的圖形的對稱性可知，最值處必定是在相應(yīng)的平衡位置，由此確定兩參數(shù)m，n相等，進(jìn)而確定 |MN|為正三角形ABC的高的，再結(jié)合三角形的性質(zhì)得以快捷處理.

解法3：根據(jù)正三角形ABC的圖形的對稱性可知，最小值只可能產(chǎn)生于平衡位置，

三、變式拓展

變式方向1：改變兩參數(shù)m，n的和為其他滿足條件的常值，其他條件均不變，進(jìn)行變式拓展.

變式1：在邊長為1的正三角形ABC中，E，F(xiàn)分別是邊AB，AC上的動點(diǎn)，且滿足，其中m，n∈（0，1），m+n=1，M，N分別是EF，BC的中點(diǎn)，則|MN|的最小值為（ ）.

變式方向2：改變兩參數(shù)m，n的和為一般性的滿足條件的參數(shù)，其他條件均不變，進(jìn)行變式拓展.

變式2：在邊長為1的正三角形ABC中，E，F(xiàn)分別是邊AB，AC上的動點(diǎn)，且滿足n∈（0，1），m+n=λ∈（0，1），M，N分別是EF，BC的中點(diǎn)，則|MN|的最小值為______.

解析：由于M，N分別是EF，BC的中點(diǎn)，

在解答涉及平面向量的最值問題時，關(guān)鍵是要正確把握題目條件，從題意入手，從平面向量的相關(guān)概念與相關(guān)運(yùn)算的本質(zhì)出發(fā)，選取代數(shù)與幾何、數(shù)與形等方式，用向量法、幾何法、函數(shù)法、三角法、圖像法、不等式法等行之有效的基本方法來解決，進(jìn)而達(dá)到解決相關(guān)最值問題的目的.