☉江蘇省儀征市第二中學(xué) 俞仁宗

“試卷評析”是每個數(shù)學(xué)教師都必須完成的一個教學(xué)環(huán)節(jié)，幫助學(xué)生總結(jié)得失并根據(jù)學(xué)生的錯誤進行尋根思底是試卷評析最基本的任務(wù)，除此以外，教師還應(yīng)在試題研析的基礎(chǔ)上進行專題的開發(fā)，使學(xué)生能夠在有意義的試題拓展和延伸中得到能力的發(fā)展.

以下面的典型試題為例進行試題評析如下：

題目：若不等式|2x-a|+|3x-2a|≥a2對任意實數(shù)x恒成立，則滿足條件的實數(shù)a組成的集合為_____.

測試評析：

考查統(tǒng)計：528名考生中答對的僅有31人，得分率在6%以下.

錯因分析：①時間緊迫而放棄此題的解答；②存在根據(jù)絕對值的意義求解的思路，但最終在系數(shù)問題上止步而無法求解；③分類討論時覺得煩瑣而欠缺條理致使解題半途而廢.

教學(xué)反思：①教學(xué)趨于常態(tài)，對歸納、提煉、經(jīng)驗積累等環(huán)節(jié)較為忽略；②教學(xué)中未對學(xué)生進行探究的策略引導(dǎo)，致使學(xué)生的思維在低層次的訓(xùn)練中未能達到應(yīng)有的深度；③對“通性通法”過于重視而忽略了“技巧”訓(xùn)練.

評析教學(xué)預(yù)設(shè)：①從最簡單的入手并逐步深入，引導(dǎo)學(xué)生在對“區(qū)間套”的探索與思考中獲得“最優(yōu)點”；②引導(dǎo)學(xué)生在此題的評析、探索與反思中獲得對此類題目的解題領(lǐng)悟，并因此獲得經(jīng)驗的積累和持久的掌握.

教學(xué)過程：

教師：研究|x-1|+|x-3|的最小值有哪些方法呢？

學(xué)生2：借助數(shù)軸來研究也行得通，如圖1，當(dāng)x2∈［1，3］時，|x2-1|+|x2-3|是最小的.

圖1

教師：大家能對其中的一般性結(jié)論進行總結(jié)嗎？

學(xué)生3：（|x-a|+|x-b|）min=|a-b|.

教師：不錯，事實上，閉區(qū)間［1，3］上所有的點都能令其取得最小值.那么如果我們將絕對值增加至3個，如|x-1|+|x-2|+|x-5|，是否還能得出一個結(jié)論呢？

學(xué)生討論……

學(xué)生4：觀察發(fā)現(xiàn)|x-1|+|x-2|+|x-5|=|x-1|+|x-5|+|x-2|，經(jīng)過這樣的調(diào)整，我們?nèi)菀椎贸觯▅x-1|+|x-5|）min=4，2也正好在區(qū)間［1，5］之內(nèi)，若把x=2代入即可獲得最小值4.

學(xué)生鼓掌.

教師：若是4個呢？比如|x-m1|+|x-m2|+|x-m3|+|x-m4|？

學(xué)生5：從圖2的觀察中可以得出，閉區(qū)間［m2，m3］上的點既能令|x-m2|+|x-m3|取得最小值，同時也能令|x-m1|+|x-m4|最小.因此可得出以下結(jié)論：若是2n（n∈N*）個絕對值相加，當(dāng)x=mn或x=mn+1時，均能取得最小值.

圖2

圖3

學(xué)生6：可以發(fā)現(xiàn)x∈［mn，mn+1］時能取得最小值.

教師：若是奇數(shù)個絕對值相加又會怎樣？

教師：還有其他一般性的結(jié)論嗎？

學(xué)生進入再次的探究中…

學(xué)生8：從分析中可以得出，取閉區(qū)間上的點和取中間點均能歸結(jié)為“特征點”問題，也就是說對于K個絕對值相加，第即為需要的“特征點”.

教師：非常好！我們在線性規(guī)劃問題中曾經(jīng)探尋過“尖點”來解決最值問題，這一“以點帶面”的經(jīng)典范例也是處理數(shù)學(xué)問題的重要舉措.那么，絕對值前面的系數(shù)不是“1”的問題又應(yīng)該怎樣解決呢？例如：求3|x-1|+5|x-3|的最小值.

學(xué)生9：可以將3|x-1|+5|x-3|轉(zhuǎn)化成3（|x-1|+|x-3|）+2|x-3|，從前面看，只要x∈［1，3］，|x-1|+|x-3|總有最小值，|x-3|最小能令整個式子取得最小值，則令x=3即可，其最小值是2.

學(xué)生10：化歸到上面的研究中也是可行的，將3|x-1|+5|x-3|拆成|x-1|+|x-1|+|x-1|+|x-3|+|x-3|+|x-3|+|x-3|+|x-3|，將前面3個“1”看成不同的點，原問題即轉(zhuǎn)化成了“8個點”的問題，中間一個即為|x-3|，把3代入就解決問題了.

學(xué)生鼓掌.

教師：大家再來看看以下兩個式子，大家能否以最快的速度求出其最小值呢？

①6|x-1|+5|x-2|+17|x-3|；

②|x+1|+2|x+2|+|x-1|+4|x-7|.

學(xué)生11：①（6|x-1|+5|x-2|+17|x-3|）min=6|3-1|+5|3-2|+17|3-3|=17.

學(xué)生12：②（|x+1|+2|x+2|+|x-1|+5|x-7|）min=|7+1|+2|7+2|+|7-1|+5|7-7|=32.

教師：大家在探究的過程中有什么體會？

學(xué)生13：我在探究時感受到了“重心”的味道.

教師：為什么呢？

學(xué)生13：我感覺在系數(shù)不同的情況下，系數(shù)較大能占據(jù)較大的主動權(quán).

教師：太棒了！其他同學(xué)可有什么看法？

學(xué)生14：我的看法跟他不同，對于6|x-1|+5|x-2|+17|x-3|，三點的“重心”應(yīng)該為：如果以2.5來代入運算，結(jié)果為20，還是比17大啊.

教師：大家能對其中的緣由進行解釋嗎？

學(xué)生15：“區(qū)間套”的最小子區(qū)間與“重心”并不一定是同一回事，略有“傾斜”的現(xiàn)象也不影響我們的判斷.

教師：那么，在“區(qū)間套”和“重心”這兩者之間，我們應(yīng)看好哪個呢？

學(xué)生15：區(qū)間套.

教師：那么我最后作一下總結(jié)吧.

學(xué)生16：如果有2n-1（n∈N*）個絕對值相加，最中間的一個即為“特征點”；如果有2n個絕對值相加，將區(qū)域［mn，mn+1］的右端點作為“特征點”.

學(xué)生17：對于k1|x-m1|+k2|x-m2|+…+kn|x-mn|，首先求出k1+k2+…+kn，假如k1+k2+…+kn是奇數(shù)，選擇第個點代入運算；假如k1+k2+…+kn是偶數(shù)，選擇第+1個點代入運算.

學(xué)生19：絕對值內(nèi)x的系數(shù)不是1又該怎么辦呢？

學(xué)生20：將系數(shù)從絕對值里提出來就沒有問題了.

教師：這一探究正好是華羅庚教授的一個觀點的印證，我們在解決復(fù)雜問題時要能夠“退”并“退”到最原始且又不失重要性的地方，這種足夠的“退”也是解決數(shù)學(xué)問題的一個訣竅.正確的“退”有利于我們探尋問題的出處，不僅如此，合理的“退”還能對命題者的心理與意圖進行準確的揣摩并因此在解題中順利搭建思維臺階，最終發(fā)現(xiàn)題目中的基本原理而令問題順利得解.大家要懂得復(fù)雜源于簡單、抽象源于具體，并因此在解決問題時對問題進行拆解、類比、圖示、列舉并最終順利獲得解題的突破.

（多媒體投影）

解：由題意可得|2x-a|+|3x-2a|≥a2恒成立?（|2x-a|+|3x-2a|）min≥a2.問題立即轉(zhuǎn)化成了求（|2x-a|+|3x-2a|）min問題.由

大家在上述探究之后還會一五一十地進行分類討論嗎？大家對于此題有沒有感覺這甚至是一條心算口答題呢？我相信很多同學(xué)都能脫口而出，給一答案.W