☉浙江省慈溪市滸山中學(xué) 岑孟慶

對(duì)一些典型題目需要進(jìn)行深度“思考”與“二次創(chuàng)作”，挖掘出所潛在的教育功能、拓展功能和應(yīng)用功能，使考生做一道題會(huì)一類題、會(huì)一串題，對(duì)于提高考生舉一反三、觸類旁通的數(shù)學(xué)素養(yǎng)是十分有意義的事情.下面以一道拋物線?？碱}為例加以說(shuō)明.

一、考題呈現(xiàn)

例1已知拋物線C：y2=2x和點(diǎn)P（2，2），A、B是C上異于點(diǎn)P的兩點(diǎn)，直線PA、PB的斜率kPA，kPB滿足kPA+kPB=2，則直線AB過(guò)定點(diǎn)（ ）.

A.（1，0）B.（-1，0）C.（0，-1）D.（0，0）

所以直線AB過(guò)定點(diǎn)（0，-1）.故選C.

二、結(jié)論探究

結(jié)論1：P是拋物線C：y2=2px（p＞0）上一定點(diǎn)，A，B是C上異于P的兩點(diǎn)，直線PA，PB的斜率kPA，kPB滿足kPA+kPB=λ（λ為常數(shù)，且λ≠0），且直線AB的斜率存在，則直線AB過(guò)定點(diǎn)

應(yīng)用此結(jié)論對(duì)于“過(guò)拋物線C：y2=2px（p＞0）上一定點(diǎn)P（x0，y0）的兩條直線PA，PB，與拋物線C交于A，B兩點(diǎn)，若直線PA，PB的斜率kPA，kPB之和為非零定值，則直線AB過(guò)定點(diǎn)”的一類問(wèn)題便迎刃而解了.

三、縱向思考

上述各結(jié)論中，均有條件“λ≠0”，現(xiàn)在我們感興趣的是若λ=0會(huì)有什么樣的情形呢？

例2 已知拋物線C：y2=2x和點(diǎn)P（2，2），A、B是C上異于點(diǎn)P的兩點(diǎn)，直線PA、PB的斜率kPA，kPB滿足kPA+kPB=0，則直線AB的斜率為（ ）.

結(jié)論2：P是拋物線C：y2=2px（p＞0）上一定點(diǎn)，A，B是C上異于P的兩點(diǎn)，直線PA，PB的斜率kPA，kPB滿足kPA+kPB=0，則直線AB的斜率為定值

四、變向思考

上面研究的都是“斜率之和為定值”的情況，若將條件中的“之和”改為“之積”，是否也能出現(xiàn)定點(diǎn)結(jié)論呢？答案也是肯定的！

例3已知拋物線C：y2=2x和點(diǎn)P（2，2），A、B是C上異于點(diǎn)P的兩點(diǎn)，直線PA、PB的斜率kPA，kPB滿足kPA·kPB=2，則直線AB過(guò)定點(diǎn)（ ）.

五、類比思考

對(duì)于拋物線“斜率之和為非零定值”這一類試題可由上述的結(jié)論解決，那么對(duì)于橢圓、雙曲線也常有類似的試題出現(xiàn)，那么是否也有一般的結(jié)論呢？答案是肯定的！

例4已知橢圓）中恰有三點(diǎn)在橢圓C上.

（1）求C的方程；

（2）設(shè)直線l不經(jīng)過(guò)P2點(diǎn)且與C相交于A，B兩點(diǎn)，若直線P2A與直線P2B的斜率的和為-1，證明：l過(guò)定點(diǎn).

解析：（1）由于P3，P4兩點(diǎn)關(guān)于y軸對(duì)稱，所以由題設(shè)知C必經(jīng)過(guò)P3，P4兩點(diǎn).

（2）設(shè)直線P2A與直線P2B的斜率分別為k1，k2，如果直線l與x軸垂直，設(shè)l：x=t，由題設(shè)可知t≠0，且|t|＜2，可得解得t=2，不符合題意.

由題設(shè)可知Δ=16（4k2-m2+1）＞0.