杜國平

一、括號(hào)表示法

根據(jù)張清宇先生的相關(guān)思想[注]張清宇：《不用聯(lián)結(jié)詞的經(jīng)典命題邏輯系統(tǒng)》，《哲學(xué)研究》1995年第5期。張清宇：《不用聯(lián)結(jié)詞和量詞的一階邏輯系統(tǒng)》，《哲學(xué)研究》1996年第5期。張清宇：《哲學(xué)邏輯研究》，北京：社會(huì)科學(xué)文獻(xiàn)出版社，1997年，第25～68頁。，我們?cè)凇蛾P(guān)于“不用聯(lián)結(jié)詞的邏輯系統(tǒng)”的注記》與《不用聯(lián)結(jié)詞的“舍生取義”型自然推演系統(tǒng)》[注]杜國平：《關(guān)于“不用聯(lián)結(jié)詞的邏輯系統(tǒng)”的注記》，《重慶理工大學(xué)學(xué)報(bào)(社會(huì)科學(xué))》2019年第4期。杜國平：《不用聯(lián)結(jié)詞的“舍生取義”型自然推演系統(tǒng)》，《湖南科技大學(xué)學(xué)報(bào)(社會(huì)科學(xué)版)》2019年第3期。兩篇文章中對(duì)“不用聯(lián)結(jié)詞”的相關(guān)思想進(jìn)行了進(jìn)一步的闡發(fā)并以此為基礎(chǔ)做了一些推進(jìn)性的研究工作。以這些工作為基礎(chǔ)，我們?cè)诖嗣鞔_提出邏輯符號(hào)的括號(hào)表示法。之所以在張清宇先生“不用(真值)聯(lián)結(jié)詞”提法的基礎(chǔ)上，提出邏輯符號(hào)的“括號(hào)表示法”，是基于幾點(diǎn)考慮：1.為了避免誤解。聯(lián)結(jié)詞是邏輯研究的核心內(nèi)容之一，例如命題邏輯主要研究的是“否定”“蘊(yùn)涵”“合取”“析取”“等值”等聯(lián)結(jié)詞的推理性質(zhì)，模態(tài)邏輯研究的是“必然”“可能”等聯(lián)結(jié)詞的推理性質(zhì)，時(shí)態(tài)邏輯研究的是“曾經(jīng)”“將來”“一直”“永遠(yuǎn)”等時(shí)態(tài)聯(lián)結(jié)詞的推理性質(zhì)，直覺主義邏輯和弗協(xié)調(diào)邏輯研究的主要是基于獨(dú)特哲學(xué)思考的“否定”“蘊(yùn)涵”等聯(lián)結(jié)詞的推理性質(zhì)，即使在以量詞為核心研究內(nèi)容之一的一階邏輯中，聯(lián)結(jié)詞也是不可或缺的。對(duì)于不太了解張清宇先生“不用聯(lián)結(jié)詞”具體含義的人來說，在一個(gè)邏輯系統(tǒng)中不用聯(lián)結(jié)詞是令人費(fèi)解的。實(shí)際上，張清宇先生“不用聯(lián)結(jié)詞”指的僅僅是在初始符號(hào)中不用聯(lián)結(jié)詞而已，是使用括號(hào)來代替某一個(gè)聯(lián)結(jié)詞的符號(hào)表示法，常用的聯(lián)結(jié)詞是可以通過定義而引入的(在公理系統(tǒng)中，張清宇先生使用了通過定義引入的聯(lián)結(jié)詞“”)[注]張清宇：《不用聯(lián)結(jié)詞的經(jīng)典命題邏輯系統(tǒng)》，《哲學(xué)研究》1995年第5期。，并且在語義解釋中，括號(hào)是可以被解釋為“聯(lián)結(jié)詞”的。2.在初始符號(hào)中，符號(hào)僅僅是符號(hào)而已，我們常把小寫字母“p、q、r”等稱為“命題變?cè)?，把箭頭“→”和方框“□”稱為聯(lián)結(jié)詞，這實(shí)際上是基于一個(gè)直覺的語義解釋的背景，作為形式語言，“p、q、r、→、∧、∨、、、”都僅僅是不同的符號(hào)而已。同樣，作為形式語言，括號(hào)“( )”也僅僅是符號(hào)而已，當(dāng)其經(jīng)過語義解釋之后，它可以是具有結(jié)構(gòu)功能的“括號(hào)”，也可以是真值運(yùn)算的“聯(lián)結(jié)詞”，還可以做其他解釋。有時(shí)我們稱形式語言中的某類符號(hào)為“聯(lián)結(jié)詞符號(hào)”也僅僅是為了稱呼方便而已。3.在括號(hào)表示法中，括號(hào)不僅可以用來承擔(dān)“(真值)聯(lián)結(jié)詞”的功能，而且可以繼續(xù)承擔(dān)其區(qū)分層次、確立符號(hào)結(jié)合先后順序的結(jié)構(gòu)表達(dá)功能，還可以用來表示“量詞”“模態(tài)詞”“時(shí)態(tài)詞”等等。4.在邏輯符號(hào)系統(tǒng)中，不同的符號(hào)標(biāo)示系統(tǒng)是各個(gè)邏輯系統(tǒng)的特征標(biāo)志之一，這些符號(hào)的使用情況有時(shí)甚至影響著相關(guān)邏輯系統(tǒng)和邏輯思想的傳播和發(fā)展。如包含二維符號(hào)“a、、f(a)”的弗雷格符號(hào)系統(tǒng)，包含符號(hào)“p、p∩q、p∪q、p?q、pq”的皮亞諾符號(hào)系統(tǒng)，包含符號(hào)“p∨q、pq、p?q、pq”的羅素《數(shù)學(xué)原理》符號(hào)系統(tǒng)，包含符號(hào)“p∨q、p&q、p→q、p～q”的希爾伯特符號(hào)系統(tǒng)等，特別值得一提的是由盧卡西維茨等人發(fā)明的包含符號(hào)“Np、Cpq、Kpq、Apq”的波蘭表示法系統(tǒng)。其中，弗雷格的符號(hào)“雖然相當(dāng)精確，但因?yàn)槭嵌S的，因此很難掌握，也不便于應(yīng)用，從歷史上看，這就是造成弗雷格的《概念文字》在當(dāng)時(shí)未能產(chǎn)生很大影響的重要原因之一。”[注]鄭毓信：《現(xiàn)代邏輯的發(fā)展》，沈陽：遼寧教育出版社，1989年，第52～53頁?！蛾P(guān)于“不用聯(lián)結(jié)詞的邏輯系統(tǒng)”的注記》與《不用聯(lián)結(jié)詞的“舍生取義”型自然推演系統(tǒng)》兩篇文章中提出的包括符號(hào)“(p)、(pq)、(x)”的括號(hào)表示法是與前述若干種符號(hào)表示法不同的一種新的標(biāo)記方法。

在邏輯形式語言中，包括常項(xiàng)和變項(xiàng)。變項(xiàng)主要用來描述所要研究的特定范圍內(nèi)的語言對(duì)象；常項(xiàng)包括邏輯常項(xiàng)和非邏輯常項(xiàng)，其中邏輯常項(xiàng)是邏輯研究揭示特定范圍內(nèi)推理規(guī)律的核心要素。不同的符號(hào)表示法的區(qū)別主要體現(xiàn)在邏輯常項(xiàng)的區(qū)別上。

一般認(rèn)為，常見的邏輯形式語言對(duì)于邏輯常項(xiàng)的表示方法主要有前置法、中置法和后置法。前置法指的是把運(yùn)算符號(hào)或者聯(lián)結(jié)詞寫在運(yùn)算項(xiàng)或者變項(xiàng)之前的一種表示方法。20世紀(jì)20年代波蘭邏輯學(xué)家盧卡西維茲提出的波蘭表示法就是前置法。后置法也稱逆波蘭表示法，指的是把二元運(yùn)算符號(hào)或者二元聯(lián)結(jié)詞寫在兩個(gè)運(yùn)算項(xiàng)或者兩個(gè)變項(xiàng)之間的一種表示方法，常見的數(shù)學(xué)運(yùn)算如“+、-、×、÷”等采用的都是中置法。中置法的優(yōu)點(diǎn)是直觀，缺點(diǎn)是需要括號(hào)或者其他約定來確定運(yùn)算的先后次序，而且不適用于一元運(yùn)算，也難以適用于三元或者三元以上的運(yùn)算。前置法和后置法的優(yōu)點(diǎn)是運(yùn)算的先后次序是明確的，不需要使用括號(hào)，公式簡約，缺點(diǎn)是不夠直觀。

上述常見的三種符號(hào)表示法都是分離表示法。括號(hào)表示法不屬于上述任何一種表示法，它是一種整體表示法，在設(shè)計(jì)思想上是一種完全不同的符號(hào)表示法。之所以稱上述三種符號(hào)表示法為分離表示法，是因?yàn)橹兄梅▽⑦\(yùn)算符號(hào)或聯(lián)結(jié)詞左右的兩個(gè)符號(hào)斷開，當(dāng)其作為一個(gè)單元形成更復(fù)雜的公式時(shí)(如p∨q→r)，需要括號(hào)或者其他規(guī)定來確定運(yùn)算的先后順序；前置法和后置法雖然運(yùn)算順序是明確的，但是因?yàn)橄嗷ヅR近的兩個(gè)符號(hào)是分置的，當(dāng)公式足夠復(fù)雜時(shí)(如CKCNpCpqrs)，確立運(yùn)算順序也非易事。反之，括號(hào)表示法將其作用的符號(hào)作為一個(gè)整體連接在一起，結(jié)合順序和運(yùn)算順序非常明確。并且，括號(hào)表示法也不受元數(shù)的限制，非常靈活，它可以作為一元聯(lián)結(jié)詞，如(p)；也可以作為二元聯(lián)結(jié)詞，如(pq)；還可以作為三元或者多元聯(lián)結(jié)詞，如(pqrs)；當(dāng)然，也可以作為量詞，如(x)。綜上所述，括號(hào)表示法是一種在形式語言中以括號(hào)來表示各種邏輯常項(xiàng)的符號(hào)表示方法。

二、形式語言

因?yàn)槔ㄌ?hào)表示法和其他表示法的區(qū)別主要是聯(lián)結(jié)詞符號(hào)表示的區(qū)別，所以下面我們?cè)诿}邏輯的形式語言中研究括號(hào)表示法的精確性(唯一性)問題。

定義2.1 形式語言L(P)包括如下兩類符號(hào)：

(1)命題符號(hào)：p1，p2，p3……；

(2)左右括號(hào)：(，)。

通常以p、q、r等表示任一命題符號(hào)。

定義2.2 一個(gè)由形式語言L(P)中的符號(hào)構(gòu)成的任意有窮序列稱為一個(gè)表達(dá)式；一個(gè)表達(dá)式中依次出現(xiàn)的符號(hào)的數(shù)目，稱為表達(dá)式的基數(shù)。

左括號(hào)、右括號(hào)、字母或者字母加下標(biāo)算作一個(gè)符號(hào)。

我們使用大寫字母X、Y、Z(或加下標(biāo))來表示任一表達(dá)式；所有表達(dá)式的集合記為Expr(L(P))。

定義2.3 兩個(gè)表達(dá)式X和Y是相等的(或相同的)，記作XY，當(dāng)且僅當(dāng)它們有相同的基數(shù)，并且依次出現(xiàn)的符號(hào)相同。

定義2.4 設(shè)X、Y、Z、Z1、Z2Expr(L(P))。如果XZ1YZ2，則稱Y為X的段；如果XY，則稱Y為X的真段；如果XYZ，則稱Y為X的初始段，稱Z為X的結(jié)尾段；如果XYZ，且Z不空，則稱Y為X的真初始段；如果XYZ，且Y不空，則稱Z為X的真結(jié)尾段。

定義2.5 稱L(P)的一個(gè)表達(dá)式為原子公式當(dāng)且僅當(dāng)它是一個(gè)單獨(dú)的命題符號(hào)(加下標(biāo))。

由L(P)中所有原子公式構(gòu)成的集合記為Atom(L(P))，由L(P)中所有公式構(gòu)成的集合記為Form(L(P))。

定義2.6Form(L(P))是滿足以下(1)—(3)的表達(dá)式集合中的最小集：

(1)Atom(L(P))；

證明：

證明：

根據(jù)定理2.2和定理2.4可得：

命題2.1 形式語言L(P)中的任一公式恰好具有以下三種形式之一：原子公式、()或者()；并且在各種情形下公式所具有的那種形式是唯一的。

證明：

1.顯然，形式語言L(P)中的任一公式所具有的形式必定為原子公式、()或者()這三種形式之一。

2.這三種形式中的任何兩種都不相同，即形式語言L(P)中的任一公式所具有的形式至多為這三種形式之一。

首先，原子公式的基數(shù)為1，而其他兩種公式的基數(shù)至少為3，因此原子公式和其他兩種公式的形式不同。

其次，其他兩種公式的形式也不相同。因?yàn)椋僭O(shè)其他兩種形式的公式并非不相同，則存在公式、、，使得

()()

等式兩邊均去掉最外層的左括號(hào)和右括號(hào)，得到：

()()

等式兩邊均去掉最外層的左括號(hào)，可得

))

證明：

以上完成了公式結(jié)構(gòu)唯一性的證明。這說明括號(hào)表示法的語言是無歧義的，公式結(jié)構(gòu)具有唯一性、精確性。

三、公式的長度

因?yàn)樵谛问秸Z言中，左右括號(hào)一般都是成對(duì)使用，不單獨(dú)使用，因此，正如將一個(gè)字母及其下標(biāo)視為一個(gè)符號(hào)一樣，將左右括號(hào)視為一個(gè)符號(hào)也是合理的。

在波蘭表示法中，這3條公理表示為：

在括號(hào)表示法中，這3條公理可表示為：

對(duì)比中置法、前置法(波蘭表示法)、后置法(逆波蘭表示法)和括號(hào)表示法可以看出，括號(hào)表示法和波蘭表示法同樣簡潔，比中置法簡短許多。這是因?yàn)橹兄梅ū壤ㄌ?hào)表示法多聯(lián)結(jié)詞，比波蘭表示法多括號(hào)。另外，因?yàn)槔ㄌ?hào)表示法總是從最里層的括號(hào)開始并按照由內(nèi)而外的結(jié)合順序進(jìn)行，因此順序關(guān)系的辨識(shí)也比波蘭表示法清晰、容易。

四、一階邏輯系統(tǒng)

在《不用聯(lián)結(jié)詞的經(jīng)典命題邏輯系統(tǒng)》中，張清宇先生指出他建立的系統(tǒng)包含命題常項(xiàng)，即零元聯(lián)結(jié)詞，“因此利用它們建立的不用聯(lián)結(jié)詞的系統(tǒng)還不能算是十分嚴(yán)格的不用聯(lián)結(jié)詞的系統(tǒng)”[注]張清宇：《不用聯(lián)結(jié)詞的經(jīng)典命題邏輯系統(tǒng)》，《哲學(xué)研究》1995年第5期。。對(duì)此他提出了以括號(hào)代替舍弗函數(shù)的策略，這當(dāng)然是一個(gè)非常巧妙的可行策略。

其實(shí)，還有一個(gè)比較簡單直觀的策略，就是使用括號(hào)表示法直接對(duì)已有的系統(tǒng)進(jìn)行改寫，這樣一方面可以發(fā)揮括號(hào)標(biāo)記法的簡明優(yōu)勢(shì)，另一方面也可利用現(xiàn)成的推理系統(tǒng)。下面我們簡要地對(duì)此加以闡述：

定義4.1 形式語言L(Q)包括如下符號(hào)：

(1)個(gè)體符號(hào)：c1，c2，c3……(常元)；u1，u2，u3……(自由變?cè)?；x1，x2，x3……(約束變?cè)?；

(2)函數(shù)符號(hào)：f1，f2，f3……；

(4)左右括號(hào)：(，)。

定義4.2 一個(gè)由形式語言L(Q)中符號(hào)構(gòu)成的任意有窮序列稱為一個(gè)表達(dá)式。

一般使用大寫字母X、Y、Z來表示任一表達(dá)式。

形式語言L(Q)中的項(xiàng)、原子公式和公式的集合分別記為Term(L(Q))、Atom(L(Q))和Form(L(Q))；一般用小寫字母及其下標(biāo)、、等來表示任一項(xiàng)，用大寫字母、、、等來表示任一公式，用~、等表示任一公式集。

定義4.3 一個(gè)表達(dá)式X稱為項(xiàng)，當(dāng)且僅當(dāng)X能有限次使用下面的規(guī)則生成：

(1)Atom(L(Q))Form(L(Q))；

定義4.6 基于括號(hào)表示法的一階邏輯自然推演系統(tǒng)QZ2包括如下7條推理規(guī)則：

在QZ2中不難證明：

等等。

(4) ((x)(x))1當(dāng)且僅當(dāng)，對(duì)的任一x-變異，((u))1。

對(duì)于系統(tǒng)QZ2，不難證明：

五、推理結(jié)構(gòu)

結(jié)構(gòu)推理是一種非常直觀的邏輯形式系統(tǒng)的構(gòu)建方法。它從結(jié)構(gòu)規(guī)則和邏輯聯(lián)結(jié)詞的推理規(guī)則兩個(gè)方面來研究邏輯，并且尤其關(guān)注各種結(jié)構(gòu)規(guī)則所體現(xiàn)的推理行為，展示不同邏輯形式系統(tǒng)的推理特征[注]具體可參見馮棉《結(jié)構(gòu)推理》，桂林：廣西師范大學(xué)出版社，2015年。。與之相類似的是可以由此深入細(xì)致地分析基于各種聯(lián)結(jié)詞的聯(lián)系和區(qū)別的推理特性，而括號(hào)表示法為研究聯(lián)結(jié)詞(或邏輯常項(xiàng))的推理結(jié)構(gòu)提供了一個(gè)非常良好的分析工具。下面我們來概要地說明這一點(diǎn)。

對(duì)于一元聯(lián)結(jié)詞，可以列出如下一些推理規(guī)則：

在適當(dāng)?shù)墓餐慕Y(jié)構(gòu)規(guī)則之上加上推理規(guī)則1至推理規(guī)則6的不同組合可以用來表述不同類型的二值否定，如經(jīng)典否定、某種直覺主義否定或者某種弗協(xié)調(diào)否定等等[注]杜國平：《哲思邏輯——一個(gè)形而上學(xué)內(nèi)容的公理體系》，《東南大學(xué)學(xué)報(bào)(哲學(xué)社會(huì)科學(xué)版)》2007年第4期。；推理規(guī)則7至推理規(guī)則11的不同組合則可以用來表述某種類型的三值否定等等。

對(duì)于二元聯(lián)結(jié)詞，可以列出如下一些推理規(guī)則：

在適當(dāng)?shù)墓餐慕Y(jié)構(gòu)規(guī)則之上加上推理規(guī)則1至推理規(guī)則11的不同組合可以用來表述不同類型的二值二元聯(lián)結(jié)詞。如推理規(guī)則1加推理規(guī)則3至6的組合可以用來描述二值析取，推理規(guī)則1、2、3加上推理規(guī)則7、8、9的組合可以用來描述二值合取，推理規(guī)則1、2加上推理規(guī)則10、11、12的組合可以用來描述二值蘊(yùn)含等等[注]Elliott Mendelson, Introduction to Mathematical Logic, Boca Raton: CRC Press, 2010, p. 39.。

其實(shí)，推理規(guī)則1、3中的括號(hào)還具有二元函子的特征，因?yàn)槠渲械睦ㄌ?hào)可以是合取，也可以是析取，還可以是等值等等[注]盧卡西維茨：《亞里士多德的三段論》，李真、李先焜譯，北京：商務(wù)印書館，1981年，第197～204頁。。

由此可見，使用括號(hào)表示法可以彰顯各種邏輯聯(lián)結(jié)詞在推理行為上的區(qū)別和聯(lián)系，括號(hào)表示法可以作為分析聯(lián)結(jié)詞推理行為的良好工具。

綜上，括號(hào)表示法作為一項(xiàng)形式語言的符號(hào)處理技術(shù)，以括號(hào)來表示命題聯(lián)結(jié)詞、量詞、模態(tài)詞等各種邏輯常項(xiàng)，其語言表達(dá)是精確而無歧義的。它與以往的符號(hào)表示法不同，是一種整體性符號(hào)表示法。運(yùn)用括號(hào)表示法表達(dá)的公式，其長度比中置法表達(dá)的公式簡短，比波蘭表示法表達(dá)的公式清晰。運(yùn)用括號(hào)表示法改寫的一階邏輯自然推理系統(tǒng)非常簡潔。括號(hào)表示法為研究邏輯常項(xiàng)的推理結(jié)構(gòu)提供了一個(gè)非常良好的技術(shù)工具。