張文穎,朱浩然

(1.吉林工程技術(shù)師范學(xué)院 量子信息技術(shù)交叉學(xué)科研究院，吉林 長春 130052；2.吉林省量子信息技術(shù)工程實(shí)驗(yàn)室，吉林 長春 130052；3.長春理工大學(xué) 電子信息工程學(xué)院，吉林 長春 130022)

引言

圓光柵測角系統(tǒng)由于體積小、精度高，廣泛應(yīng)用于航空航天、導(dǎo)彈跟蹤制導(dǎo)和機(jī)器人等領(lǐng)域。由于機(jī)械加工和安裝等過程會使圓光柵測角系統(tǒng)產(chǎn)生誤差，不能達(dá)到其標(biāo)稱精度。為了提高測角精度，通常采用增加測角系統(tǒng)中讀數(shù)頭個數(shù)的方法，但是其對每個讀數(shù)頭安裝的一致性要求較高，且增加了系統(tǒng)的成本。誤差補(bǔ)償也是提高測角精度的一種方法，日本國家計量院自主研發(fā)了自校準(zhǔn)轉(zhuǎn)臺標(biāo)定系統(tǒng) ，由于其處理方法是在時域內(nèi)進(jìn)行，所以對編碼器采集到的數(shù)據(jù)要求不高，便于系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)小型化[1]。德國聯(lián)邦物理研究院 提出了PFDM(prime factor division method)模型[2]，利用這種標(biāo)定模型校準(zhǔn)后的精度小于0.8″[12]。中國計量科學(xué)研究院提出了一種基于等分平均原理的校準(zhǔn)方法，8個編碼器均布于碼盤上，測角誤差為0.03″。以上方法可抑制部分測角系統(tǒng)的誤差，為了提高誤差補(bǔ)償效果，研究測角系統(tǒng)的誤差產(chǎn)生機(jī)理是首要問題，有助于后續(xù)有針對性的進(jìn)行誤差補(bǔ)償，提高測角系統(tǒng)的精度。

本文針對不同類型的誤差進(jìn)行具有針對性的分析，基于誤差的特性和表現(xiàn)形式，從諧波角度對測角系統(tǒng)中的刻劃誤差、光電信號誤差、變形導(dǎo)致的誤差建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，具體分析對測角系統(tǒng)影響較大的偏心誤差和傾斜誤差，建立數(shù)學(xué)模型并仿真分析，為提高測角精度提供了理論基礎(chǔ)。

1 圓光柵測角系統(tǒng)

標(biāo)尺光柵與指示光柵共同組成圓光柵[3]。在進(jìn)行角度測量時，轉(zhuǎn)軸與標(biāo)尺光柵一同轉(zhuǎn)動，但指示光柵位置不變。連續(xù)變化的莫爾條紋由兩種光柵間的相對轉(zhuǎn)動構(gòu)成，利用莫爾條紋移動的數(shù)量完成對圓光柵的測角任務(wù)[13]。標(biāo)尺光柵的柵距和指示光柵的線寬相等，假設(shè)忽略光柵衍射的現(xiàn)象，依據(jù)透光與遮光原理可知，通過兩塊光柵后形成一個三角波的光能量分布[4]，如圖1所示。然而在實(shí)際應(yīng)用時，因?yàn)楣鈻诺难苌渥饔靡约翱虅澱`差、指示光柵的間隙與標(biāo)尺光柵等因素，光能量實(shí)際分布為一個近似的正弦函數(shù)。應(yīng)用圓光柵時，利用統(tǒng)計莫爾條紋平移數(shù)量的總和完成角位移量的測量。

圖1 莫爾條紋圖形Fig.1 Moire fringe pattern

2 誤差分析

導(dǎo)致圓光柵測角誤差的原因主要有光柵環(huán)的刻劃誤差、光電信號誤差、偏心誤差和傾斜誤差[5]。其中，刻劃誤差和光電信號誤差是高頻測角誤差。

2.1 刻劃誤差

在刻劃圓光柵環(huán)上的柵線時，實(shí)際柵線位置與理想柵線位置存在偏差，即為刻劃誤差。假設(shè)理想刻線與實(shí)際刻線的位置偏差為±30 mm，若直徑D為299 mm，換算成角度的刻劃精度δgra為

(1)

式中δ為刻劃誤差，刻劃精度為±0.5″。

2.2 光電信號誤差

光電信號誤差作為引起讀數(shù)頭誤差因素中最為關(guān)鍵的一項(xiàng)，其本質(zhì)為在插值操作中信號的非正交、不等幅、直流電平漂移所產(chǎn)生的非線性誤差[6]。光電信號誤差是系統(tǒng)中頻率最高的誤差成分，其由“偏移量”和“橢圓度”構(gòu)成。

理論上，理想條件下莫爾條紋的光電信號應(yīng)為正弦函數(shù)，即莫爾條紋的正弦性[14]。然而現(xiàn)實(shí)環(huán)境下，存在諸多外界因素，實(shí)際的光電信號是由基波與高次諧波相加的形式組成[15]，即：

(2)

光電信號誤差表達(dá)式為

(3)

式中：ΔU(x)為各次諧波；x為光柵位移；U0為光電信號疊加的直流電平；Um為信號幅值；p是光柵柵距。諧波導(dǎo)致光電信號為非正弦信號，最大波動為

(4)

2.3 偏心誤差

偏心是指光柵環(huán)的中心與轉(zhuǎn)軸運(yùn)動中心不重合，其主要由裝配間隙等引起圓光柵幾何中心和裝配后的旋轉(zhuǎn)中心不重疊和軸系運(yùn)動導(dǎo)致的[7]。偏心誤差是導(dǎo)致測角系統(tǒng)誤差的主要因素，通常為測角系統(tǒng)誤差的50%以上[8]。

圓光柵理想旋轉(zhuǎn)中心是O點(diǎn)，半徑是R，偏心量是e，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，偏心方向?yàn)閤軸方向，建立如圖2所示直角坐標(biāo)系xoy。令O′點(diǎn)為圓光柵實(shí)際旋轉(zhuǎn)中心，A′為圓光柵理想位置上的點(diǎn)，A為圓光柵實(shí)際運(yùn)動軌跡上的點(diǎn)。利用圓光柵轉(zhuǎn)過的弧長與圓光柵半徑作商，即可得到測角系統(tǒng)測得的角度值。因?yàn)槠脑斐蓤A光柵上的點(diǎn)與圓光柵理想旋轉(zhuǎn)中心O的距離周期性變化，所以，利用弧長L和角度θ之間的數(shù)學(xué)關(guān)系，能更精確表示測得的角度值。

圖2 圓光柵偏心示意圖Fig.2 Diagram of circular grating eccentricity

如圖2所示，B為圓光柵實(shí)際運(yùn)動軌跡上一點(diǎn)，設(shè)∠AOB=θ，圓光柵轉(zhuǎn)過的弧長為L。如圖3所示，在極坐標(biāo)系中，弧長L與極徑r之間關(guān)系可以表示為

(5)

圖3 弧長和角度關(guān)系圖Fig.3 Relationship diagram between arc length and angle

設(shè)A點(diǎn)坐標(biāo)為(x,y)，那么有：

(x-e)2+y2=R2

(6)

由于r>0，R>e，則：

(7)

利用冪級數(shù)展開和保留二階小量，能夠獲得圓光柵上A與B之間的弧長為

(8)

角度誤差為

(9)

在0°～360°的測量范圍內(nèi)，以10°為間隔讀取一個測量值，偏心量0≤e≤0.9 μm，r=54 mm時，偏心誤差的變化趨勢如圖4所示。

圖4 偏心誤差Fig.4 Eccentricity error

角度誤差的最大值為

(10)

如圖5所示，有一個旋轉(zhuǎn)初始角θ0，令O′點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立直角坐標(biāo)系x′o′y′，弧長可表示成：

L=-Rθ0+Rθ+e·sinθcosθ0-e·cosθsinθ0

(11)

圖5 初始角偏心示意圖Fig.5 Diagram of initial angular eccentricity

角度誤差為

(12)

由(11)式和(12)式能夠發(fā)現(xiàn)，當(dāng)圓光柵有偏移量時，在弧長與角度間的關(guān)系中會產(chǎn)生諧波誤差，圓光柵半徑R為一次項(xiàng)系數(shù)，在角度誤差中也會有待測角度的諧波成分，并且為一次諧波。

2.4 傾斜誤差

光柵環(huán)的傾斜是二階測角誤差的一個重要來源，其會使莫爾條紋的寬度與數(shù)量一同產(chǎn)生變化[9]。光柵環(huán)產(chǎn)生傾斜的主要原因有以下兩種：安裝傾斜和軸系運(yùn)動過程導(dǎo)致的傾斜[10]。圖6所示為安裝傾斜示意圖。令光柵環(huán)相對讀數(shù)頭所在平面的傾斜角為γ，光柵半徑是r，那么光柵旋轉(zhuǎn)過程中導(dǎo)致莫爾條紋移動的最大值是：

ΔB=±rsinγ

(13)

則莫爾條紋移動數(shù)為

(14)

圖6 安裝傾斜示意圖Fig.6 Diagram of tilt installation

一般情形下，由于柵線角較小，柵線角θ、光柵柵距ω和莫爾條紋寬度B滿足下式[11]：

(15)

在光柵平移一個柵距ω的情況下，莫爾條紋會平移一個條紋寬度B，所以，利用莫爾條紋平移的數(shù)目N可計算出光柵轉(zhuǎn)動量s：

s=N·ω=N·Bθ

(16)

令光柵的半徑為r，則光柵轉(zhuǎn)過的角度β表達(dá)式為

β=s/r=N·Bθ/r

(17)

將(14)式帶入(17)式，得到安裝傾斜導(dǎo)致的角度誤差為

(18)

在0°～360°的測量范圍內(nèi)，以10°為間隔讀取一個測量值，當(dāng)傾斜角0°≤γ≤1°時，傾斜導(dǎo)致的誤差變化趨勢如圖7所示。

圖7 傾斜誤差曲線Fig.7 Curve of tilt error

3 實(shí)驗(yàn)

3.1 實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)

為了分析引起圓光柵測角系統(tǒng)誤差的各類誤差因素并進(jìn)行修正，搭建實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)，實(shí)驗(yàn)中選用Renishaw公司SiGNUMTM系列金屬圓光柵測角系統(tǒng)，如圖8所示。為了獲得測角誤差，利用二等8面棱體和CSZ-1型CCD雙軸自準(zhǔn)直儀配合使用，以獲得測量真值。

圖8 測角系統(tǒng)Fig.8 Angle measuring system

3.2 誤差修正

圖9為金屬圓光柵測角系統(tǒng)原始誤差曲線。由圖9曲線可知，在0°～360°的范圍內(nèi)，峰-峰值為-70.51″和63.67″，測角誤差為134.2″。

圖9 誤差曲線Fig.9 Error curve

RESM系列金屬圓光柵柵距為20 μm，有效直徑為52 mm?？虅澱`差為±3.97″，光電信號誤差為0.32″，圓光柵測角系統(tǒng)工作過程中，旋轉(zhuǎn)軸系與光柵盤的偏心量為e=7 μm。由(9)式可知，當(dāng)sinθ=±1時，偏心誤差最大為

由此可知，偏心是導(dǎo)致測角系統(tǒng)誤差的主要因素。

由于角分辨率為0.004″，莫爾條紋間距為B=0.286 5 mm，當(dāng)光柵旋轉(zhuǎn)一個柵距ω時，莫爾條紋移動一個條紋寬度B，由(17)式計算得到θ=0.36″，光柵由于在安裝、軸系旋轉(zhuǎn)過程中，傾斜量為8 μm，所以光柵環(huán)的傾斜角為63.47″，帶入(9)式，可得安裝傾斜誤差為Δβ=±0.32″。

利用獲得的刻線誤差、光電信號誤差、偏心誤差和傾斜誤差修正原始誤差曲線，修正后圓光柵測角系統(tǒng)的誤差為32.23″。

4 結(jié)論

基于誤差的特性和表現(xiàn)形式，本文從諧波角度對圓光柵測角系統(tǒng)中的刻劃誤差、光電信號誤差等建立了相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，并對測角系統(tǒng)中誤差較大的偏心誤差和傾斜誤差進(jìn)行了具體的數(shù)學(xué)建模與仿真分析。搭建了金屬圓光柵測角系統(tǒng)，對偏心誤差和傾斜誤差進(jìn)行了具體分析。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，測角系統(tǒng)測角誤差為134.2″，修正后誤差為32.23″，為后續(xù)誤差補(bǔ)償提供了依據(jù)。