譚景寶 李明

(1. 合肥幼兒師范高等?？茖W(xué)校基礎(chǔ)部， 合肥 230013； 2. 安徽文達(dá)信息工程學(xué)院， 合肥 231201)

近年來(lái)，我國(guó)政府對(duì)計(jì)劃生育政策逐步作了重大調(diào)整。自2015年開(kāi)始，已全面實(shí)施二孩政策。人口問(wèn)題是一個(gè)復(fù)雜的系統(tǒng)工程，生育政策的變化，必然會(huì)使人口數(shù)量、人口質(zhì)量和人口結(jié)構(gòu)發(fā)生變化。在這種新形勢(shì)下，原有的人口系統(tǒng)模型研究也需隨之調(diào)整，以適應(yīng)新的人口發(fā)展趨勢(shì)。本次研究將在現(xiàn)有人口系統(tǒng)模型的基礎(chǔ)上[1-4]，探討二孩政策下的人口系統(tǒng)模型，建立和補(bǔ)充新的人口系統(tǒng)模型。

1 常用人口系統(tǒng)模型

1.1 非線性人口發(fā)展方程

簡(jiǎn)單描述生物種群模型：

(1)

在方程組(1)中，通過(guò)微分公式，對(duì)種群群落數(shù)量N(t)變化的速率進(jìn)行分析，即分析離散狀態(tài)下的時(shí)間與種群數(shù)量關(guān)系。其中，b為種群群落的出生系數(shù)；d為種群群落的死亡系數(shù)；γ為種群群落數(shù)量N(t)的增長(zhǎng)系數(shù)。

Malthus人口模型：

(2)

方程組(2)與方程組(1)在函數(shù)表達(dá)形式上有著一定的相似性。p(t)代表的是不同時(shí)間的人口增長(zhǎng)系數(shù)，即相關(guān)研究?jī)?nèi)容方面的種群樣本總數(shù)。然而，方程組(1)中種群群落的增長(zhǎng)系數(shù)在種群總量增加的情況下卻不斷降低，這不利于種群群落人口數(shù)量的研究。針對(duì)此問(wèn)題，可應(yīng)用Logistic分析法構(gòu)建相關(guān)模型，使其與生態(tài)學(xué)中的人口模型研究相適應(yīng)。具體模型如方程組(3)所示：

(3)

在方程組(3)中，某一時(shí)刻t的種群群落總數(shù)為N(t)，種群環(huán)境生存常數(shù)為k，種群生活環(huán)境的實(shí)際容量(也稱種群增長(zhǎng)系數(shù)) 為γ。相對(duì)于方程組(1)(2)來(lái)說(shuō)，方程組(3)的適用性較強(qiáng)。在此基礎(chǔ)上，推導(dǎo)出與我國(guó)人口發(fā)展相適應(yīng)的模型，如方程組(4)所示：

(4)

在方程組(4)中，p(t)表示在t時(shí)刻某一穩(wěn)定環(huán)境中的人口總數(shù)情況。其中，δ0為環(huán)境總量，ω0則為其人口增長(zhǎng)系數(shù)。利用假設(shè)法，假設(shè)穩(wěn)定生態(tài)環(huán)境中人口出生、死亡與年齡均無(wú)相關(guān)性。方程組(4)能夠在一定程度上應(yīng)對(duì)傳統(tǒng)線性人口動(dòng)力學(xué)模型對(duì)人口數(shù)量增長(zhǎng)與自然資源的適應(yīng)性問(wèn)題。由此，得到對(duì)應(yīng)的適應(yīng)模型：

假設(shè)增量h>0，用方程表示為：

(5)

dp(a,t)代表的是t

p(a,0)=p0(a)

(6)

這里忽略了遷移的影響，仿照方程組(4)，假設(shè)：

d(a,t)=[μ(a,t)-kN(t)]p(a,t)

(7)

在方程(7)中，μ(a,t)為死亡率相對(duì)函數(shù)，k是環(huán)境容量，N(t)為在t時(shí)刻下社會(huì)人口總量。設(shè)p(a,t)可微，則有：

(8)

結(jié)合式(6)、(7)、(8)，得到式(9)：

=-[μ(a,t)-kN(t)]×p(a,t)

(9)

考慮遷移因素，則有式(10)：

=-[μ(a,t)-kN(t)]×p(a,t)+f(a,t)

(10)

于是，得到非線性人口動(dòng)力學(xué)方程：

(11)

其中：p0(a)、β(t)、h(a,t)、k(a,t)分別代表最大育齡總數(shù)、規(guī)格化條件、生育模式、總和生育率。方程組(11)有別于線性動(dòng)力學(xué)方程，式中社會(huì)死亡率和總?cè)藬?shù)相關(guān)，即人口的生存依賴于人口總?cè)萘俊?/p>

我們提出的非線性人口動(dòng)力學(xué)方程，可以更準(zhǔn)確地反映社會(huì)人口的出生與死亡與其總?cè)萘康年P(guān)系。在方程(6)中，令

d(a,t)=μ(a,t,N(t))p(a,t)

(12)

為了區(qū)分，稱μ(′, ″ ,′)為死亡率，設(shè)β(a,t,N(t))為t時(shí)刻年齡為a的個(gè)體在平均單位時(shí)間內(nèi)的平均生育量，即生育率。β依賴N(t)，則邊界條件為：

(13)

設(shè)人口初始密度函數(shù)為

p(a,0)=p0(a)

(14)

結(jié)合式(6)(12)(13)(14)，得到方程組(15)：

(15)

在方程組(15)中，f(a,t)代表t

1.2 定常人口預(yù)測(cè)方程

通常，對(duì)于較短時(shí)間內(nèi)的人口狀態(tài)預(yù)測(cè)，大多進(jìn)行簡(jiǎn)單化的處理即可。在這一時(shí)間段內(nèi)，需要以生態(tài)環(huán)境的穩(wěn)定為前提，人口出生、死亡率與時(shí)間無(wú)相關(guān)性，而僅受樣本年齡的影響。采用年齡作為人口數(shù)量變化的函數(shù)參量，所得短期人口數(shù)量預(yù)測(cè)結(jié)果較為準(zhǔn)確。需要注意的是，社會(huì)生態(tài)環(huán)境的穩(wěn)定主要包括人口性別比例的穩(wěn)定，以及生育率、死亡率的保持。在此情況下，可以通過(guò)式(16)推導(dǎo)人口發(fā)展公式：

(16)

在相對(duì)封閉穩(wěn)定的社會(huì)環(huán)境中，外部遷入人口為零，即遷移率f(a,t)=0。基于模型分析的人口發(fā)展非線性方程所涉及的變量只有內(nèi)部樣本的年齡，由此可以得到方程組(15)的變式，即式(17)：

(17)

參數(shù)意義同方程組(15)，仍假定社會(huì)封閉。這里Q=(0,a+)×(0,T),其中a+,T∈(0,+∞)。

2 Leslie模型

在龐大的人口基數(shù)影響下，我國(guó)人口發(fā)展呈現(xiàn)出明顯的“倒金字塔”形狀。近年來(lái)，人口老齡化現(xiàn)象日益嚴(yán)重，男女比例失衡，人口紅利已經(jīng)明顯低于東南亞地區(qū)國(guó)家。這在加重年輕人經(jīng)濟(jì)負(fù)擔(dān)的同時(shí)，也削弱了我國(guó)經(jīng)濟(jì)發(fā)展的優(yōu)勢(shì)。為解決這一問(wèn)題，我國(guó)政府在堅(jiān)持貫徹計(jì)劃生育基本國(guó)策的同時(shí)，全面放開(kāi)二孩政策，以應(yīng)對(duì)當(dāng)前人口結(jié)構(gòu)失衡所帶來(lái)的問(wèn)題。面對(duì)此問(wèn)題，可以利用Leslie模型進(jìn)行人口系統(tǒng)模型研究。首先，選取具適應(yīng)性的評(píng)價(jià)指標(biāo)。在Leslie模型中，所選取的相關(guān)模型指標(biāo)為人口老齡化模型、新生兒出生率、適齡勞動(dòng)人口數(shù)量、不同年齡段人口總數(shù)等。然后，構(gòu)建人口系統(tǒng)模型。

構(gòu)建人口系統(tǒng)模型，需合理分配人口系統(tǒng)模型的年齡段。為了保證人口系統(tǒng)模型的穩(wěn)定，內(nèi)部性別比例需要保持恒定，并能夠通過(guò)其比例系數(shù)進(jìn)行相應(yīng)性別人數(shù)的推斷。在模型構(gòu)建過(guò)程中，可以按年齡段分組。用i表示研究樣本的年齡范圍，用j表示時(shí)間段，劃分區(qū)間為10 a。

考慮到女性生育年齡的限制，當(dāng)女性分組超過(guò)m之后，模型就沒(méi)有了實(shí)際意義，由此帶來(lái)的影響也就可以忽略不計(jì)。

將女性年齡分為m+1組，通過(guò)下式得出不同組別之間人員的轉(zhuǎn)換關(guān)系。

將矩陣A代入以上方程組后，可得：Nj+1=ANj。

矩陣A就是Leslie模型的命名依據(jù)，該矩陣也就是Leslie矩陣。如果矩陣中的群向量N0=(N(0,0),N(1,0),…,N(m,0))T明確，則該穩(wěn)定環(huán)境下的樣本年齡分布情況可以通過(guò)迭代的方法進(jìn)行如下計(jì)算：

Nj+1=ANj=…=Aj+1N0

為了降低研究難度，可以針對(duì)育齡婦女的結(jié)婚年齡和二胎生育的時(shí)間間隔調(diào)整h(i,j),使其指標(biāo)能夠達(dá)到最優(yōu)狀態(tài)。在此情況下，對(duì)Leslie模型變換如下：

Nj+1=[A(j)+B(j)]Nj

對(duì)于某一時(shí)間段內(nèi)，h(i,j)k(i,j)與j無(wú)相關(guān)性。根據(jù)Leslie系統(tǒng)模型的構(gòu)建結(jié)果，將人口年齡按照0～25、26～45、46～65、66～85、86～105歲進(jìn)行區(qū)分，并繪制人口數(shù)量的變化曲線。按照不同年齡段的人口總數(shù)，根據(jù)Leslie矩陣計(jì)算其特征向量。在人口增加的情況下，特征向量的值大于1；在人口減少的情況下，則特征向量小于1。為實(shí)現(xiàn)基于全面二孩政策的人口總數(shù)增加，則需要增加Leslie系統(tǒng)模型的特征向量值。

按照當(dāng)前我國(guó)人口結(jié)構(gòu)的實(shí)際情況，在沒(méi)有人口出入的情況下，我國(guó)人口總數(shù)的Leslie模型將呈現(xiàn)出先降低、后增長(zhǎng)的趨勢(shì)。在歷時(shí)25 a之后，人口規(guī)模將達(dá)到最大，人口總數(shù)保持一定時(shí)期的穩(wěn)定，然后緩慢下降。所以，人口基數(shù)的大小及整體人口年齡結(jié)構(gòu)的分布情況，將直接影響到Leslie系統(tǒng)模型的分析結(jié)果。

3 結(jié) 語(yǔ)

在使用Leslie系統(tǒng)模型的過(guò)程中，其中變量關(guān)系主要為人口與時(shí)間的關(guān)系。隨著時(shí)間的變化，不同年齡段人群的數(shù)量也會(huì)隨之發(fā)生改變。借助離散數(shù)學(xué)分析方法，可以通過(guò)矩陣的特征根進(jìn)行人口發(fā)展趨勢(shì)的預(yù)測(cè)，其預(yù)測(cè)結(jié)果的準(zhǔn)確性較高?；诙⒄叩腖eslie人口系統(tǒng)模型中，老齡人口的比重將持續(xù)增加，這在一定程度上反映了我國(guó)計(jì)劃生育政策的不足。二孩政策的實(shí)施并不能立即解決當(dāng)前我國(guó)所面臨的人口老齡化問(wèn)題。通過(guò)人口結(jié)構(gòu)的合理調(diào)整，可以使人口老齡化問(wèn)題逐步得到緩解。