趙 莉， 黃永艷

(山西大學 數(shù)學科學學院， 山西 太原 030006)

0 引言

本文主要研究下面Kirchhoff問題解的存在性

(1)

其中Ω?R3是一個有界光滑區(qū)域，a,b>0,p∈(4,6).問題(1)和擬線性雙曲方程

(2)

在最近幾年里，Kirchhoff問題已經(jīng)受到了許多學者的廣泛研究，研究者們建立了正解[6]，多重解[7]，變號解[3]和基態(tài)解[8]的存在性結(jié)果.與此同時，對數(shù)非線性項tln|t|也經(jīng)常出現(xiàn)在描述數(shù)學和物理現(xiàn)象的偏微分方程中[9-12].

然而，一方面，本課題組發(fā)現(xiàn)大多數(shù)Kirchhoff問題的非線性項只含有冪函數(shù)項K|t|p-2t[8,13]，而不含有對數(shù)項tln|t|，這就引起了對含有對數(shù)非線性項Kirchhoff問題的研究興趣.另一方面，本課題組注意到limt→0[tln|t|+|t|p-2t]/t=-∞,這與通常的條件limt→0f(t)/t=0[14,15]顯然不同，也就是說，一般情形下，tln|t|+|t|p-2t不可能是f的特例，這就使得本文的研究具有一定的現(xiàn)實意義和理論價值.

因此，鑒于以上兩方面的理論依據(jù)，本課題組自然而然地會思考tln|t|是如何影響Kirchhoff問題解的存在性.目前，有關(guān)這一問題的研究甚少.

受上述工作的啟發(fā)，本文研究問題(1)非平凡解的存在性結(jié)果.注意到對數(shù)非線性項不滿足單調(diào)性條件和AR條件，所以，這就使問題(1)變得比不含有對數(shù)非線性項的情形更復雜，更具挑戰(zhàn)性.另外，不同于文獻[8,13,15]，本文的勢函數(shù)V是可變號的，且V滿足(V)V∈L3/2(Ω),infx∈ΩV(x)≥-1/4.

基于這些事實，本文應用對數(shù)型Sobolev不等式和山路定理來獲得問題(1)解的存在性結(jié)果.在下文第一章節(jié)中引入一些基本的記號和要用到的結(jié)果；在第二章節(jié)證明主要結(jié)論.

1 準備工作

在整篇論文中使用一些常用的記號.Lp(Ω)是通常的Lebesgue空間，其范數(shù)為

H1(Ω)={u:u∈L2(Ω),u∈L2(Ω)},

為了處理對數(shù)非線性項tln|t|，本文需要下面的對數(shù)型Sobolev不等式[16].

引理1對所有的u∈H1(RN){0},α>0,有

(3)

為了證明主要結(jié)論，本文引用下面的山路定理[17].

引理2設E是一個實的Banach空間，I∈C1(E,R)滿足PS條件且I(0)=0.若I滿足山路結(jié)構(gòu)，即

(i)存在r,β>0,使得當‖u‖=r時，有I(u)≥β;

(ii)存在v∈E且‖v‖>r,使得I(v)<0.

定義

Γ={γ∈C([0,1],E)∶γ(0)=0,γ(1)=v},

那么，c:=infγ∈Γmaxt∈[0,1]I(γ(t))是I的一個臨界值.

2 主要結(jié)論證明

為了運用上面的山路定理，下面主要來證明泛函I滿足山路型結(jié)構(gòu)和PS條件.

引理3存在r,β>0,使得當‖u‖=r時，有I(u)≥β.

(4)

因此，從(4)式和Sobolev嵌入定理，有

因為p∈(4,6)所以就得到I(tu)→-∞,t→∞.于是，存在足夠大的t0,使得‖t0u‖>r且I(t0u)<0.因此，v=t0u就滿足引理的要求.

引理5I滿足PS條件.

C+on(1)‖un‖≥

C1‖un‖3,

on(1)=

〈I′(un)-〈I′(u),un-u〉=

[‖u‖4-‖un‖2(un,u)-‖u‖2(un,u)+

(5)

(6)

|unln|un|-uln|u||2|u-un|2→0.

(7)

同樣，再利用H?lder不等式，有

||un|p-2un-|u|p-2u|p/(p-1)|u-un|p→0.(8)

于是，根據(jù)式(5)～(8)，得到

on(1)=a‖un-u‖2+b[‖un‖4-

‖un‖2(un,u)-‖u‖2(un,u)+‖u‖4].

而注意到

‖un‖4-‖un‖2(un,u)-‖u‖2(un,u)+

‖u‖4≥‖un‖4-‖un‖3‖u‖-

‖u‖3‖un‖+‖u‖4=[‖un‖3-

‖u‖3][‖un‖-‖u‖]≥0.

因此，‖un-u‖2→0.

下面來敘述和證明本文的主要結(jié)論.

定理1若(V)成立，則問題(1)存在非平凡解.

3 結(jié)論

通過上述深入研究可知，當變號勢有一定的負下界時，可利用山路定理得到kirchhoff問題的非平凡解.本文在方法上具有一定的創(chuàng)新性，解決了理論和技術(shù)方面的一般性問題，將對今后的進一步研究起到指導性作用.