邢永峰，武曉輝

(山西大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院， 太原 030006)

近幾十年來，分布參數(shù)系統(tǒng)已被廣泛研究。例如,文獻(xiàn)[1-2]考慮了含源項和阻尼項的非線性波動方程的解在有限時間內(nèi)爆破。文獻(xiàn)[3]通過邊界控制可以使得波方程系統(tǒng)穩(wěn)定。對于帶有內(nèi)部和外部干擾的波方程的控制問題也得到廣泛研究[4-5]。在控制理論中,處理擾動的技術(shù)方法有許多，例如魯棒控制[6]、自適應(yīng)控制[7]、滑?？刂芠8]、李雅普諾夫方法[9]等，然而它們多數(shù)基于一個精確的模型，通常針對最壞的情形，這樣使得控制器的設(shè)計相當(dāng)保守且不能合理地利用資源。

為了解決這一問題，自抗擾控制器首次被韓京清提出[10]。自抗擾控制技術(shù)設(shè)計理念明顯不同于前者，它主要是通過輸出把干擾估計出來，之后在反饋環(huán)節(jié)消除。它解決了響應(yīng)速度與超調(diào)性之間的矛盾，通過補(bǔ)償消除了模型未知部分和外部未知擾動綜合對控制對象的影響，實(shí)現(xiàn)了動態(tài)系統(tǒng)的反饋線性化。在波系統(tǒng)的控制器設(shè)計中，自抗擾控制技術(shù)已經(jīng)被廣泛應(yīng)用于處理系統(tǒng)未知的內(nèi)部和外部擾動[11-12]。特別地,文獻(xiàn)[13]利用自抗擾控制技術(shù)考慮了邊界含有未知擾動的波方程的鎮(zhèn)定。本文在此基礎(chǔ)上，進(jìn)一步考慮了含有內(nèi)部和未知邊界擾動的波動方程的鎮(zhèn)定。首先，通過量測位移的加權(quán)平均來設(shè)計擴(kuò)張狀態(tài)觀測器對擾動進(jìn)行估計；其次，設(shè)計相應(yīng)的反饋控制器來使系統(tǒng)鎮(zhèn)定；最后，證明閉環(huán)系統(tǒng)解是漸近穩(wěn)定的并且通過數(shù)值仿真進(jìn)一步驗證本文的結(jié)論。

系統(tǒng)由下面方程給出：

(1)

1 控制器的設(shè)計及主要結(jié)論

首先估計擾動d(t)。對Y(t)關(guān)于t求兩階導(dǎo)，并結(jié)合式(1)：有：

(2)

令Y1(t)=Y(t),則式(2)可以寫成如下微分器形式：

(3)

設(shè)計如下狀態(tài)觀測器來估計干擾：

(4)

其中，g∈C1[0,∞)是時變的增益函數(shù)，并且滿足：

(5)

(6)

令

(7)

則由式(3)和(4)可知，誤差系統(tǒng)(7)滿足：

(8)

當(dāng)t→∞時，

(9)

證明根據(jù)存在唯一性定理[14]可知系統(tǒng)(8)的解存在且唯一。下面證明系統(tǒng)(8)解的穩(wěn)定性。

容易驗證，如下矩陣G是Hurwitz矩陣：

(10)

因此，存在正定矩陣V，使得GΤV+VG=-I3成立，其中I3為3階單位矩陣。

構(gòu)造 Lyapunov 泛函如下：

(11)

則有，

(12)

其中λmin與λmax分別為矩陣V的最小與最大特征值。L(t)關(guān)于t求導(dǎo)，并結(jié)合式(8)，有：

(13)

當(dāng)t→∞時,k(t)→∞

(14)

因此，存在t0>0使得

k(t)>0， ?t≥t0

(15)

結(jié)合式(13)，有：

?t≥t0

(16)

直接計算可得：

(17)

由于式(14)，當(dāng)t→∞時，式(17)右邊第一項收斂到0，對式(17)右邊第二項運(yùn)用 L’Hospital法則，得到：

(18)

從而，當(dāng)t→∞時，

(19)

(20)

其中k>0是一個設(shè)計常數(shù)。由式(1)、(4)以及(20)可以得到如下閉環(huán)系統(tǒng)：

(21)

2 閉環(huán)系統(tǒng)的適定性與穩(wěn)定性

注意到系統(tǒng)(8)，直接計算可得式(21)等價于

(22)

(23)

〈(f1,g1),(f2,g2)〉X=

?(fi,gi)∈X,i=1,2

(24)

將系統(tǒng)(23)寫成如下抽象形式：

(25)

其中：B=(0,δ(x-1))，δ(·)是Dirac分布，算子A定義如下：

f(0)=g(0)=0,f′(1)=-kg(1)}

(26)

定理1算子A由式(26)定義，g(t)滿足式(5)，d(t)滿足式(6)，則對任意的初值(w0,w1)∈C([0,∞);X)，系統(tǒng)(23)存在唯一的解(w,wt)∈C([0,∞);X)。此外，

(27)

證明1) 對任意的(f,g)∈D(A)，有：

(28)

所以，A在X中耗散。

(29)

其中，

(30)

根據(jù)Sobolev嵌入定理[15]可知：A-1存在且在X中是緊的。由Lumer-Phillips定理[16]得：A在X中生成壓縮C0-半群。

(31)

此時，為系統(tǒng)(23)構(gòu)造如下Lyapunov泛函為：

F(t)=NE(t)+φ(t)+αψ(t)

(32)

(33)

以及

(34)

直接計算可得：

(35)

F(t)關(guān)于t求導(dǎo),應(yīng)用Young不等式，我們有

αw(1,t)wx(1,t)≤

(36)

?t≥0

(37)

因此，

?t≥0

(38)

所以A在X上生成指數(shù)穩(wěn)定的C0-半群eAt。

3 數(shù)值仿真

進(jìn)行數(shù)值模擬來說明理論結(jié)果。在仿真中，采用中心差分的方法對空間和時間進(jìn)行離散。設(shè)計常數(shù)k=1,空間步長dx=0.005，時間步長dt=0.005。時變增益為:

(39)

擾動

d(t)=cost+0.1sin5t

(40)

初始條件如下：

w0(x)=sinπx

w1(x)=cosπx

(41)

圖1表示系統(tǒng)的位移，系統(tǒng)(21)的狀態(tài)收斂到0。圖2中，綠色線代表干擾，紅色線代表它的估計值。從圖中可以看出：一定時間后，干擾可由擴(kuò)張狀態(tài)觀測器很好地估計出來。與文獻(xiàn)[11]和文獻(xiàn)[13]中的常增益擴(kuò)張狀態(tài)觀測器相比，采用變增益擴(kuò)張狀態(tài)觀測器可以有效抑制超調(diào)的產(chǎn)生。由圖2可以看出：干擾和干擾的估計始終在同一數(shù)量級。

圖1 帶有擾動的一維波動方程的鎮(zhèn)定

圖2 干擾和它的估計值

4 結(jié)束語

本文基于量測位移的加權(quán)平均設(shè)計了時變的擴(kuò)張狀態(tài)觀測器對系統(tǒng)的干擾進(jìn)行估計，從而設(shè)計了一個控制器來穩(wěn)定帶有干擾的一維波動方程。設(shè)計的擴(kuò)張狀態(tài)觀測器對擾動具有較為準(zhǔn)確的估計，相應(yīng)的反饋控制器的設(shè)計使得系統(tǒng)穩(wěn)定。通過算子半群理論和李雅普諾夫方法證明了系統(tǒng)解的適定性和漸近穩(wěn)定性。從理論和實(shí)踐兩方面驗證了此方法的有效性。我們的方法可以延伸到只通過量測系統(tǒng)狀態(tài)的加權(quán)平均來對系統(tǒng)做輸出反饋控制，這也是今后研究和努力的方向。