張冠杰

(中國(guó)電子科技集團(tuán)公司第五十四研究所，河北 石家莊 050081)

0 引 言

隨著無(wú)源定位技術(shù)的發(fā)展，基于多平臺(tái)的高精度無(wú)源定位，在軍用和民用領(lǐng)域都有著非常廣泛的應(yīng)用前景。在多平臺(tái)無(wú)源定位技術(shù)中，利用多個(gè)觀測(cè)平臺(tái)接收目標(biāo)信號(hào)的到達(dá)時(shí)差(TDOA)定位技術(shù)，從定位算法到誤差分析都已有研究成果。針對(duì)空中運(yùn)動(dòng)平臺(tái)，時(shí)差定位技術(shù)并未充分利用平臺(tái)的運(yùn)動(dòng)特性。平臺(tái)的運(yùn)動(dòng)特性導(dǎo)致接收信號(hào)的頻率上產(chǎn)生多普勒頻移，因此該頻移隱含了目標(biāo)的位置信息和相對(duì)運(yùn)動(dòng)信息。如果在測(cè)量TDOA的基礎(chǔ)上，增加測(cè)量接收信號(hào)的到達(dá)頻差(FDOA)信息，則可能會(huì)提高目標(biāo)的定位精度。為了衡量運(yùn)動(dòng)多平臺(tái)時(shí)差頻差聯(lián)合定位方法的定位性能，采用定位誤差下界實(shí)現(xiàn)定位性能的度量。

文獻(xiàn)[1]給出了多星對(duì)地面目標(biāo)單次TDOA/FDOA聯(lián)合定位的克拉美-羅界(CRLB)計(jì)算方法，分析了在地球表面方程約束條件下的單次定位CRLB分布圖，驗(yàn)證了在單次定位情況下，聯(lián)合定位比單獨(dú)利用時(shí)差或者頻差定位可以獲得更高的定位精度。文獻(xiàn)[2]給出了固定多站對(duì)運(yùn)動(dòng)輻射源的TDOA/FDOA定位方法，分析了單次定位誤差的CRLB，以及利用濾波擴(kuò)展卡爾曼(EKF)協(xié)方差估計(jì)了多次定位誤差的CRLB。文獻(xiàn)[3]分析了在等式約束條件下TDOA/FDOA單次定位的CRLB計(jì)算方法，并證明了帶等式約束的CRLB比無(wú)約束的CRLB更精確。文獻(xiàn)[4]分析了運(yùn)動(dòng)多站時(shí)差定位的多次定位誤差CRLB。文獻(xiàn)[5]分析了存在觀測(cè)站位置誤差時(shí)的多站時(shí)差定位誤差CRLB。文獻(xiàn)[6]分析了主動(dòng)和被動(dòng)2種情況下機(jī)動(dòng)目標(biāo)的CRLB，提供了一種矩陣?yán)碚摲治龇椒āＮ墨I(xiàn)[7]分析了衛(wèi)星干擾源定位中的誤差影響因素。在以上文獻(xiàn)的基礎(chǔ)上，本文提出了一種運(yùn)動(dòng)多平臺(tái)對(duì)地面固定目標(biāo)的連續(xù)多次TDOA/FDOA定位的誤差性能分析方法，推導(dǎo)了在有等式約束條件下的連續(xù)多次定位過(guò)程中的定位誤差CRLB，并通過(guò)仿真實(shí)例驗(yàn)證了時(shí)差頻差聯(lián)合定位的性能優(yōu)勢(shì)。

1 TDOA和FDOA的定位模型

1.1 定位原理

目標(biāo)輻射源到任何1對(duì)觀測(cè)站i和j的頻差與時(shí)差可表示為：

(1)

(2)

由公式(1)和公式(2)可知，TDOA與FDOA都與目標(biāo)位置有關(guān)，而且FDOA與相對(duì)運(yùn)動(dòng)速度有關(guān)，因此觀測(cè)量TDOA與FDOA可以同時(shí)提供關(guān)于目標(biāo)位置的信息。對(duì)于二維定位，利用2個(gè)觀測(cè)站可以得到1對(duì)TDOA和FDOA曲線(xiàn)，2條曲線(xiàn)的交點(diǎn)即為目標(biāo)的位置，如圖1所示。

圖1 二維平面TDOA/FDOA定位原理圖

1.2 多次定位分析

在實(shí)際定位系統(tǒng)中，往往可以連續(xù)測(cè)量到多個(gè)TDOA和FDOA參數(shù)，而且利用連續(xù)多次測(cè)量的觀測(cè)信息可以提高定位精度，為此需要研究多次定位的誤差分析[2]。

假設(shè)目標(biāo)是地面固定目標(biāo)，則k時(shí)刻的目標(biāo)狀態(tài)定義為：

(3)

式中：A為狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣；Γ為擾動(dòng)矩陣；噪聲w～N(0,Q),為x、y、z方向上的加速度噪聲；T為采樣時(shí)間間隔。

觀測(cè)矢量Z由時(shí)差和頻差組成，并且真實(shí)測(cè)量的時(shí)差值和頻差值存在測(cè)量誤差，可以建模為理論值加上高斯白噪聲矢量，k時(shí)刻的觀測(cè)矢量表示為：

(4)

假設(shè)uk服從高斯隨機(jī)分布，其協(xié)方差矩陣為：

(5)

2 TDOA/FDOA定位的CLRB推導(dǎo)

克拉美-羅界(CRLB)表征了無(wú)偏估計(jì)量所能達(dá)到的最小協(xié)方差陣，為無(wú)偏估計(jì)量的方差確定了一個(gè)下限，這為比較無(wú)偏估計(jì)量的性能提供了標(biāo)準(zhǔn)。

2.1 單次定位誤差的CRLB

針對(duì)地面固定目標(biāo)，研究受地球方程約束的運(yùn)動(dòng)多站無(wú)源定位的CRLB更符合實(shí)際情況。首先，研究無(wú)約束情況下的單次定位誤差的CLRB；然后，在此基礎(chǔ)上，推廣到有等式約束的CRLB。

根據(jù)系統(tǒng)模型，構(gòu)建k時(shí)刻測(cè)量數(shù)據(jù)的聯(lián)合條件概率密度函數(shù)為：

(6)

似然函數(shù)為：

(7)

構(gòu)造Fisher矩陣：

(8)

將對(duì)數(shù)似然函數(shù)經(jīng)過(guò)求偏導(dǎo)以及期望運(yùn)算后，得到Fisher信息矩陣為：

(9)

由此得到聯(lián)合定位的理論誤差下界為：

(10)

式中：tr(·)表示矩陣跡運(yùn)算。

式(10)表示無(wú)約束條件下的無(wú)偏估計(jì)器誤差下界，然后將其推廣到有等式約束情況下的誤差估計(jì)下界，經(jīng)過(guò)整理得到有約束的克拉美羅界[8]：

CRLBTDOA/FDOA=

(11)

(12)

式中：e=0.081 819 191 04，為地球曲率；K為等式約束條件關(guān)于輻射源運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的梯度矩陣。

考慮到目標(biāo)輻射源位于地球表面，輻射源坐標(biāo)滿(mǎn)足地球約束條件：

(13)

2.2 多次定位誤差的CRLB

(14)

(15)

式中：Jl(θ)為到l時(shí)刻為止的Fisher信息矩陣；Z為到l時(shí)刻為止的累積觀測(cè)量。

由獨(dú)立觀測(cè)性條件可知：

(16)

于是有：

(17)

3 仿真試驗(yàn)

以3個(gè)運(yùn)動(dòng)平臺(tái)定位為例，說(shuō)明時(shí)差頻差聯(lián)合定位的性能優(yōu)勢(shì)，首先分析單次定位誤差的CRLB，然后分析多次定位誤差的CRLB。假設(shè)3個(gè)運(yùn)動(dòng)平臺(tái)，構(gòu)成一主兩輔折線(xiàn)陣列形式，主站與輔站相距10 km，主輔站連線(xiàn)夾角150°，主站初始位置(114°,38°,5 000 m)，載機(jī)速度為(0 m/s,-340 m/s,0 m/s)，兩輔站與主站保持固定的相對(duì)位置同速飛行，目標(biāo)位置(117°,38.15°,5 000 m)，載機(jī)位置誤差50 m，TDOA測(cè)量誤差60 ns，F(xiàn)DOA測(cè)量誤差10 Hz，載頻2 GHz。

為了分析當(dāng)前時(shí)刻不同位置的定位誤差，可以將目標(biāo)處于不同位置的CRLB進(jìn)行分析，繪制成等高線(xiàn)圖，即定位誤差的幾何分布。根據(jù)GDOP的定義，位置GDOP為：

(18)

可得，TDOA/FDOA聯(lián)合定位GDOP分布如圖 2所示，TDOA定位GDOP分布如圖3所示。

圖2 TDOA定位誤差GDOP圖

圖3 TDOA/FDOA聯(lián)合定位誤差GDOP圖

由圖 2可知，利用時(shí)差頻差聯(lián)合定位的GDOP分布與運(yùn)動(dòng)平臺(tái)的速度相關(guān)，在航線(xiàn)的垂直方向聯(lián)合定位精度最高，而在航線(xiàn)方向定位精度最低，這與時(shí)差頻差聯(lián)合定位的可觀測(cè)性是一致的。對(duì)比圖 2和圖 3可知，在300 km范圍內(nèi)，聯(lián)合定位誤差下界為45 km，時(shí)差定位誤差下界為70 km；因此，與僅利用時(shí)差的定位相比，聯(lián)合定位的精度更高。

為了分析多運(yùn)動(dòng)平臺(tái)對(duì)固定目標(biāo)連續(xù)多次定位的CRLB，將所有時(shí)刻的測(cè)量信息聯(lián)合起來(lái)作為測(cè)量信息。假設(shè)TDOA和FDOA的測(cè)量數(shù)據(jù)更新率為1 s一次,則連續(xù)多次定位的CRLB如圖 4所示。

從圖 4中可以看出，隨著觀測(cè)量的累積，聯(lián)合定位的CRLB和僅測(cè)TDOA參數(shù)定位的CRLB不斷減少，定位精度不斷提高。與僅測(cè)TDOA參數(shù)的連續(xù)多次定位相比，TDOA/FDOA聯(lián)合定位的CRLB曲線(xiàn)下降速度更快，說(shuō)明在增加了FDOA信息后，定位精度有了較大的提高。FDOA信息可以提高定位精度，最主要原因是FDOA的相對(duì)精度較高。根據(jù)工程經(jīng)驗(yàn)，達(dá)到這種FDOA測(cè)量水平還是可能的。

圖4 TDOA/FDOA多次定位的CRLB曲線(xiàn)

4 結(jié)束語(yǔ)

本文針對(duì)多運(yùn)動(dòng)平臺(tái)對(duì)地面固定目標(biāo)定位的精度問(wèn)題，推導(dǎo)了在地球橢圓方程約束條件下的多次聯(lián)合定位誤差的CRLB，給出了單次定位誤差GDOP分布和多次定位的CRLB曲線(xiàn)，描述了運(yùn)動(dòng)多平臺(tái)連續(xù)定位的定位精度理論下界。在此基礎(chǔ)上，對(duì)比了運(yùn)動(dòng)多平臺(tái)僅測(cè)時(shí)差定位技術(shù)，仿真結(jié)果表明：

(1) 在相同的定位條件下，通過(guò)增加目標(biāo)的FDOA信息可以有效提高運(yùn)動(dòng)平臺(tái)無(wú)源定位系統(tǒng)的定位精度；

(2) 與僅測(cè)時(shí)差定位系統(tǒng)的誤差分布相比，時(shí)差頻差聯(lián)合定位系統(tǒng)的定位誤差分布與平臺(tái)的運(yùn)動(dòng)速度有關(guān)。

本文重點(diǎn)推導(dǎo)了多運(yùn)動(dòng)平臺(tái)對(duì)地面固定目標(biāo)的多次定位CRLB下界，但是對(duì)于地面機(jī)動(dòng)目標(biāo)的定位誤差下界還有待進(jìn)一步推導(dǎo)分析。該聯(lián)合定位方法可以應(yīng)用于現(xiàn)有的僅測(cè)時(shí)差的定位系統(tǒng)以提高定位精度，而不用對(duì)現(xiàn)有系統(tǒng)進(jìn)行較大改動(dòng)。