☉浙江師范大學教師教育學院 周琳輝

☉浙江師范大學教師教育學院 唐恒鈞

21世紀以來，數(shù)學探究被各國數(shù)學課程所強調.我國《義務教育數(shù)學課程標準（2011年版）》（以下簡稱《課標（2011年版》）中指出：“教學中注重結合具體的學習內(nèi)容，設計有效的數(shù)學探究活動，使學生經(jīng)歷數(shù)學的發(fā)生發(fā)展過程，是學生積累數(shù)學活動經(jīng)驗的重要途徑.”［1］教科書是課程資源的重要組成部分、課程實施的載體，也是師生實施數(shù)學教學最重要的資源和線索.所以對數(shù)學教材中的探究內(nèi)容進行分析，有助于師生對探究教學和學習的領悟，促進探究內(nèi)容的使用和探究活動的實施.

新加坡的數(shù)學教育因其學生在如TMISS等國際比較中位居前列而備受關注［2］，且與中國有著相似的文化背景和環(huán)境.所以本文以“圓的性質”為例，試圖從微觀的角度分析新加坡SHINGLEE出版社2014年出版的《NEW SYLLABUSMATHEMATICSNORMALACADEMIC）》［3］（下簡稱《NSMN》）和浙江教育出版社2014年出版的《義務教育教科書·數(shù)學（九年級上冊）》（以下簡稱《浙教版》）［4］兩版教科書中的探究活動，以期為我國數(shù)學探究教育的發(fā)展提供有益的啟示和借鑒意義.

一、研究方法

1.研究對象

徐斌艷教授認為數(shù)學探究是指：學生遇到某個數(shù)學問題或數(shù)學情境時，通過觀察、分析、推測數(shù)學事實，提出有意義的數(shù)學問題，并尋找、驗證數(shù)學事實及結論，給出相關規(guī)律或結論的解釋或證明，同時反思所得結論以期形成新問題［5］.據(jù)此將表1中的欄目作為探究內(nèi)容加以分析.

表1 數(shù)學探究內(nèi)容取樣

2.研究框架

徐斌艷教授從情境表述、問題表述、活動組織形式、活動類型、與教材上下文的關系這五個維度提出了數(shù)學教材中探究內(nèi)容的分析框架.［5］張維忠教授等在此基礎上進一步增加了探究內(nèi)容的認知水平要求［6］.劉云老師等則在其分析框架中探討了數(shù)學探究活動的內(nèi)容類型［7］.本研究綜合上述研究框架，形成了如圖1所示的分析框架.

圖1 數(shù)學探究內(nèi)容分析的理論框架

二、探究內(nèi)容的比較分析

1.探究內(nèi)容數(shù)量的比較

由圖2可知，在探究內(nèi)容數(shù)量上，《浙教版》略多于《NSMN》.但《NSMN》的探究問題達到51個，遠高于《浙教版》的28個.這主要是因為在《NSMN》中，如調查活動等顯性探究欄目里，一個問題下面通常會出現(xiàn)多個子問題，每個探究內(nèi)容的篇幅也較大.而《浙教版》的探究欄目通常篇幅短小精練，且因為大部分處于節(jié)前和節(jié)中的位置，一個探究內(nèi)容中普遍只有1至2個子問題.

圖2 探究內(nèi)容與探究問題數(shù)量

2.探究內(nèi)容類型比較

探究內(nèi)容的知識類型可以細分為數(shù)學知識本身的探究和應用數(shù)學知識進行探究兩類.具體地，數(shù)學知識本身的探究指向具體數(shù)學知識的學習，一般與數(shù)學概念、定理、公式、運算、方法、研究方法等有關.應用數(shù)學知識探究針對數(shù)學知識的應用，分為模仿性應用探究和創(chuàng)造性應用探究兩種類型［6］.如圖3所示，兩國教材中的探究內(nèi)容主要以陳述性知識為主，程序性知識為輔.相對而言，《浙教版》更注重探究中對數(shù)學知識的創(chuàng)造性應用，占21.43%.它比模仿應用能更好地培養(yǎng)學生的創(chuàng)新意識和解決問題的能力.

圖3 知識類型比較

3.認知水平比較

如圖4所示，該章探究內(nèi)容沒有記憶性的數(shù)學任務.兩版教材均出現(xiàn)三成左右的無聯(lián)系程序性探究，占比最高的是有聯(lián)系的程序性任務.聯(lián)系程序性任務能促使學生深入思考與理解數(shù)學知識本質，充分調動認知來尋求解決問題的程序.如在《NSMN》的探究欄目“調查活動”中，要求學生通過幾何模板里的動點操作、觀察圓的變化來抽象歸納出有關圓的性質定理.在一定的聯(lián)系、無聯(lián)系的程序性探究內(nèi)容的基礎上，《浙教版》還出現(xiàn)了一定量更高認知要求的做數(shù)學任務，拔高和提升了數(shù)學探究的層次.比如，讓學生推測丁字尺找圓心的原理，再進一步設計出改進方案，使它能廣泛應用于更多類型的圓.學生通過這些探究，可以鍛煉結合元認知探索問題內(nèi)在結構的能力.

圖4 認知水平比較

4.探究內(nèi)容情境表述的比較

（1）情境類型比較.

如圖5所示，兩版教材在探究情境的類型上有比較明顯的差異.純數(shù)學情境在《MSMN》中占91.67%，大多數(shù)出現(xiàn)在調查活動中.它要求學生進入指定的新加坡學習網(wǎng)站，利用其中的幾何模板進行探究.所以它涉及的都是關于純數(shù)學知識的幾何操作.如在“圓的對稱性質1”這一節(jié)中，“進入http：//www.shinglee.com.sg/StudentResources/，打開幾何模板圓的性質1如下所示……點擊拖動點A或B改變弦長，拖動R改變圓的大小，你能觀察到AM和BM的長度有什么變化嗎？你把M點叫作什么”.《浙教版》主要通過“做一做”這個欄目，用純數(shù)學知識引入新知展開圓的性質的學習.

強調數(shù)學與現(xiàn)實生活、其他學科間的關聯(lián)是新世紀以來數(shù)學課程改革的一個重要理念.［8］《浙教版》的探究內(nèi)容中分別有3處真實情境和虛設情境，《NSMN》中有4處為虛設情境，沒有出現(xiàn)真實情境.可見，無論是《浙教版》還是《NSMN》中，非數(shù)學情境較少，真實情境更少.而通過與日常生活和其他領域相關聯(lián)的問題情境，能使得探究內(nèi)容更富有趣味性和真實性，讓學生體會數(shù)學與生活和其他學科的聯(lián)系.如在學習圖形的旋轉時，把探究內(nèi)容與現(xiàn)實生活中的藝術作品巧妙結合起來，學生在探究生活中圖形旋轉的同時，又能發(fā)揮自己的創(chuàng)造力設計出各種美麗的圖案.

圖5 情境類型比較

（2）數(shù)學信息比較.

由圖6中關于數(shù)學情境的信息完整度數(shù)據(jù)可以看出，兩版教科書探究內(nèi)容的信息完整度都很高，沒有出現(xiàn)數(shù)學信息冗余的探究問題.相較于《浙教版》中所有探究問題的情境給出了完備的數(shù)學信息，《NSMN》中出現(xiàn)了少量信息不足的情況（占9.8%）.“圓的性質”這一章節(jié)中知識比較抽象復雜，數(shù)學信息完備的探究內(nèi)容有利于學生數(shù)學探究的順利開展.但從探究能力的發(fā)展、數(shù)學思維的鍛煉等角度考慮，數(shù)學結構不完整的探究內(nèi)容能給學生留有更大的探究空間，為學生的探究學習提供更多能發(fā)揮創(chuàng)造力和發(fā)展創(chuàng)新力的機會.

圖6 數(shù)學信息比較

5.探究內(nèi)容問題表述的比較

（1）句式比較.

從圖7中可以發(fā)現(xiàn)，《浙教版》的句式以疑問句為主（占64.29%）.如在第一小節(jié)“圓”的學習中讓學生思考：“經(jīng)過不在同一條直線上的三個點一定能做出一個圓嗎？如果能，怎樣找出這個圓的圓心？經(jīng)過同一條直線上的三個點呢？”這樣，通過多個問題的層層推進，推動了學生的思考，使探究逐步深入.而陳述句大多出現(xiàn)在最簡單基礎的計算中.《NSMN》中則正好相反，陳述句占64.71%.特別是在每個調查活動的最后部分，會讓學生根據(jù)自己的歸納總結把概念或性質補充完整，并在下一個探究問題中要求證明該原理.這些探究問題都是以陳述句的形式呈現(xiàn).可以看出《浙教版》更注重用疑問句式的探究內(nèi)容來推動學生進行探究學習，疑問句的引導性和感染力更強，能更好地調動學生學習和思考的興趣，推動探究知識的一步步深入.

圖7 句式比較

（2）問題類型比較.

由圖8可知，封閉式問題是《浙教版》和《NSMN》探究內(nèi)容主要的問題類型，分別占60.29%和82.36%.另外，《浙教版》中過程開放式和結論開放式問題的比例都高于《NSMN》.開放式問題有利于引導學生大膽假設和探究.這樣學生在“圓的性質”問題探究中，既能發(fā)揮想象力用所學知識尋求多元化的解決方法，又能調動創(chuàng)造力發(fā)現(xiàn)更多有價值的結論.如在圓心角這一小節(jié)中“設計一個實驗，探索兩個相等的圓心角所對的兩段弧、兩條弦長之間的關系”，學生能在探究中回憶前面學過的圓和弦的相關性質，將新、舊知識結合在一起.在這個過程中，用不同的方法設計出不同的驗證實驗，探索出弦、弧與圓心角關系的結論.在開放性的探究中，不僅能加深對圓心角的理解，又能培養(yǎng)學生善于質疑和善于反思的習慣.

圖8 問題類型比較

6.探究活動組織及類型的比較

兩版教材在探究內(nèi)容的活動組織上差異不大（如圖9）.個人活動是主要的組織形式，在《浙教版》和《NSMN》中分別占82.14%和84.32%.如《浙教版》中的正多邊形、弧長及扇形的面積，以及《NSMN》中利用幾何模板的調查活動，都設計了大篇幅的個人活動.兩版教材中合作學習的比例都不大，在《浙教版》中主要存在于“合作學習”這一欄目中，《NSMN》中主要通過“課堂討論”實現(xiàn).

圖9 活動組織比較

進一步，兩版教材探究內(nèi)容的活動類型均以解答活動為主，但是存在較為顯著的差異.如圖10所示，《浙教版》的活動類型比較豐富，除了占主體位置的解答活動（85.71%），還有閱讀活動（7.14%）、項目活動（3.57%）和寫作活動（3.57%）.《NSMN》中除了解答活動（58.86%），特別重視實驗活動（43.13%）.在圓的性質學習中，要求學生借助前述網(wǎng)站中的幾何模板進行探索，讓學生經(jīng)歷數(shù)學化過程，從而更加直觀地感受幾何變化中的不變性，即圓周角、弦長等相關的幾何性質.

圖10 活動類型比較

7.上下文關系比較

如圖11，兩套教材的探究內(nèi)容分別有35.71%和33.33%用于導入新知，多出現(xiàn)在小節(jié)的開頭位置.通過其對新內(nèi)容的引導和探索，有助于學生建構新知識.如《浙教版》中圖形的旋轉一節(jié)的開頭，讓學生探究：能否經(jīng)過旋轉，使左手的圖形與右手重合？經(jīng)過軸對稱呢？另外，兩版教材探究內(nèi)容出現(xiàn)于承上啟下和鞏固拓展環(huán)節(jié)的均在20%左右，一般出現(xiàn)在節(jié)中或節(jié)中后，以幫助學生將前后知識融會貫通，進一步鞏固學習和反思.從整體上看，《浙教版》和《NSMN》對這兩種功能定位都較為重視.《NSMN》中用于歸納總結的探究內(nèi)容占19.61%.如在調查活動欄目中“抄寫并填充下面的定理和原理：一般地，圓中相等的弦與圓心的距離是______”，讓學生對所學的知識進行抽象概括，總結出方法和規(guī)律.《浙教版》里用于歸納總結的探究比例較少，而更強調應用拓展的功能.如在“美妙的鑲嵌”這一閱讀活動中，學生既了解了藝術大師的作品，又能將所學的多邊形知識用來設計圖案.通過探究內(nèi)容對數(shù)學知識的應用拓展，學生既鍛煉了數(shù)學的思維，又提升了數(shù)學的基本思想.

圖11 數(shù)學探究內(nèi)容上下文關系比較

三、結論與啟示

1.適當調整探究內(nèi)容的數(shù)量，準確把控功能定位

我國《浙教版》教材在“圓的性質”這一節(jié)中的探究數(shù)量適中.但因為大部分處在節(jié)前或節(jié)中的位置，同時一個探究內(nèi)容下通常只含有一到兩個問題，易出現(xiàn)探究不夠深入的情況，甚至造成探究內(nèi)容習題化.如果一道題能綜合多個知識點，從學生思維和能力培養(yǎng)的角度來說，它能促使學生開闊、多向地思考問題，建立起數(shù)學內(nèi)部知識的聯(lián)系.《浙教版》可以適當增加具有歸納總結功能的探究內(nèi)容的比例，加深學生對數(shù)學知識點的理解.《NSMN》則需要重視探究在拓展應用功能上的價值，加強數(shù)學與生活、與其他學科的聯(lián)系，豐富數(shù)學文化，增強學生應用數(shù)學的意識，促進學生的體驗性學習和探究性學習，不斷增強探究能力和實踐能力.總之，既要合理安排數(shù)量，又要關注內(nèi)在功能和價值.

2.增加真實情境下的探究內(nèi)容比例，密切生活實際

《課標（2011年版）》在基本理念中指出：“課程內(nèi)容的選擇要貼近學生的實際，有利于學生體驗與理解、思考與探索.”數(shù)學是對生活日常的系統(tǒng)歸納，所以要基于學生的生活實際來編制教材，引導學生在真實的情境中，通過模仿、猜想、觀察、實驗等各種手段來搜集知識和獲取經(jīng)驗，以便培養(yǎng)學生基于數(shù)學知識來解決生活中問題的能力.真實情境下的數(shù)學探究內(nèi)容有助于學生體驗與理解、思考與探索，使學生經(jīng)歷從實際背景中抽象出數(shù)學知識和方法的過程，虛設情境也有利于學生建立生活和抽象數(shù)學之間的聯(lián)系.但中國和新加坡兩個國家目前都是以純數(shù)學情境下完備信息的探究內(nèi)容為主，因此要重視真實情境的創(chuàng)設，密切聯(lián)系生活實際，關注數(shù)學與日常生活、數(shù)學與其他學科等領域的聯(lián)系，由此激發(fā)學生的探究興趣，讓學生學習和應用數(shù)學知識的同時，感受數(shù)學的價值和樂趣.

3.豐富探究內(nèi)容類型，重視輔助工具的應用

實驗活動、寫作活動、項目活動、閱讀活動等不同類型的探究活動有助于學生通過自己經(jīng)歷、體會、感悟、積累獲得基本的數(shù)學思想，鍛煉寫作能力、動手操作能力，拓寬自己的認知領域，提升探究的水平.中國和新加坡教材探究內(nèi)容都以解答活動為主，其他類型的探究活動所占比例很少.不過《NSMN》探究內(nèi)容的實驗活動中對幾何模板的充分應用也給《浙教版》提供了借鑒，應增加學生借助幾何畫板等其他輔助工具的機會，提高學生應用技術和資源解決問題的能力，同時使探究活動更加活性、多元地展開.

4.強化程序性知識探究，注重知識的創(chuàng)造性應用

有研究表明，程序性知識與創(chuàng)造性應用探究對學生問題解決能力及創(chuàng)新意識的培養(yǎng)作用更大.特別是數(shù)學知識的創(chuàng)造性應用，它能更好地幫助學生學會數(shù)學地思維［6］.但在“圓的性質”一章中，兩版的教材都以陳述性知識的探究為主.應進一步重視程序性知識和知識的創(chuàng)造性應用，有助于加強學生自主探索的意識、創(chuàng)造性思考的能力，從而拓寬認知水平，提升認知高度.

5.增加合作學習機會

合作學習也是新課改中強調的重要教學理念和學習能力之一.合作探究能增加學生團隊合作意識，在探究中提高數(shù)學表達能力，通過和同伴合作交流，拓寬彼此的數(shù)學思維，尋求更多方位的解決方法.比較發(fā)現(xiàn)，我國和新加坡教材的探究內(nèi)容在合作學習的比例都還不到20%，更偏向個人活動，所以教材的編制應該在個人與合作活動的設置與比例上做適度的協(xié)調，增加學生合作學習的機會.

6.注意多角度探究，適當加強探究內(nèi)容的開放性

《浙教版》探究類型多為封閉式問題，注重問題的嚴謹性.但開放式問題可以引導學生自由探索多元的解決策略和方法，從多角度切入進行多方位探究.未來應注意創(chuàng)設開放式問題情境，推動多角度的探究，從而調動學生的求知欲和學習的積極性，促進學生思維的發(fā)展，使其通過活性的探究過程和方式，發(fā)散性地探尋未知、多元的結論.

總之，探究能力是學生綜合素養(yǎng)的重要組成要素.數(shù)學教材中的探究內(nèi)容是培養(yǎng)學生綜合實踐能力和探究能力的重要載體.通過對中國和新加坡兩個版本教材的比較，辨證地看待各自的特點，審視我國數(shù)學教材在探究內(nèi)容編制方面的優(yōu)點和不足，以期為教材的修訂及教師創(chuàng)造性設計數(shù)學探究提供借鑒.