☉浙江省玉環(huán)市清港初級中學(xué) 朱雪平

在教學(xué)中，往往我們更關(guān)注成績而忽視了錯誤背后的原因，從學(xué)生的錯誤反思自身教學(xué)問題的就更少，評價的反思價值被忽視.那么，教師如何從學(xué)生的學(xué)情出發(fā)，反思自身教學(xué)過程缺失，打造“深度”數(shù)學(xué)課堂？下面本人就以一道讓不少學(xué)生困惑不解、錯誤率極高的試題為例，談?wù)動伤l(fā)的一些思考.

一、分析學(xué)生解題思路

題目：已知直線與x軸、y軸分別交于B、A兩點(diǎn)，圓C的半徑為1，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，1）.若點(diǎn)M、N、P分別在圓C、直線l和x軸上，則PM+PN的最小值為（ ）.

圖1

本題為九年級上學(xué)期期末考試選擇題壓軸題，從考后統(tǒng)計(jì)的數(shù)據(jù)看，解題錯誤率偏高.經(jīng)分析發(fā)現(xiàn)，學(xué)生的解答存在以下幾種類型.

1.無從入手型

動點(diǎn)問題是學(xué)生學(xué)習(xí)的難點(diǎn)，尤其是本題中有M、N、P三個動點(diǎn)，大部分學(xué)生遇到問題束手無策，不知道從哪個角度切入.

2.特殊化法型

不少學(xué)生嘗試在運(yùn)動過程中找到特殊點(diǎn)，發(fā)現(xiàn)當(dāng)M、P同時運(yùn)動到O點(diǎn)時，最小值ON等于于是錯誤地把特殊情況下的最小值當(dāng)成了本題的答案.

3.思路中斷型

部分學(xué)生固定M、N，作N的對稱點(diǎn)N′，借助軸對稱模型轉(zhuǎn)化為求MN′的最小值，但在求最小值時無法轉(zhuǎn)化為過圓心最短和垂線段最短的問題.

4.正確解答型

少數(shù)學(xué)生認(rèn)為N′的運(yùn)動軌跡為直線l關(guān)于x軸對稱的直線m，當(dāng)MN′過圓心C時最短，再作點(diǎn)C到直線m的垂線段即有最小值，然后通過相似三角形可得結(jié)果為

二、反思教師教學(xué)過程

通過分析學(xué)生的答題情況，回過頭來深入分析題目特點(diǎn)，發(fā)現(xiàn)本題涉及的知識點(diǎn)較多，在軸對稱問題中加入了動點(diǎn)及過圓心最短、垂線段最短等問題，其中學(xué)生對軸對稱模型能否綜合應(yīng)用是本題考查的關(guān)鍵.為進(jìn)一步找到錯誤的本質(zhì)原因，選取了其中兩個情境進(jìn)行分析.

情境1：八上課題學(xué)習(xí)“最短路徑問題”

問題1：如圖2，某天然氣公司分別要向兩個新建住宅A、B小區(qū)提供天然氣，需要在主天然氣管道l上修建一個供氣站，問：供氣站修在主管道的什么地方，可使所用的輸氣管線最短？

問題2：如圖3，供氣站修在主管道l的什么地方，可使所用的輸氣管線最短？

圖2

圖3

師：你能解決問題1嗎？

生：連接AB，與直線l交于點(diǎn)P，點(diǎn)P就是供氣站的位置.

師：理由是什么？

生：兩點(diǎn)之間，線段最短.

師：很不錯，再來看問題2.

學(xué)生表示困惑，無人回答.

師：有沒有發(fā)現(xiàn)問題2與問題1的區(qū)別在于A、B位于直線同一側(cè)？只要轉(zhuǎn)化為異側(cè)問題即可解決.

學(xué)生表示肯定.

教師板書解答過程，并給出其他類似問題加以鞏固.

學(xué)生聽講并模仿應(yīng)用.

情境2：八下“平行四邊形”章節(jié)復(fù)習(xí)課

圖4

圖5

例如圖4，菱形ABCD的邊長為1，∠ABC=120°，E、F、P分別是AB、BC、AC上的動點(diǎn)，PE+PF的最小值等于________ .

教師出示例題，學(xué)生思考后無法解決，教師出示如下解答過程.先找出圖中點(diǎn)E關(guān)于AC的對稱點(diǎn)E′，過點(diǎn)E′作E′F⊥BC于F，交AC于P，利用垂線段最短可知E′F為PE+PF的最小值.再過點(diǎn)B作BG⊥AD于G，根據(jù)平行線間的距離相等得出最小值E

以上是我在“應(yīng)用軸對稱求最短路徑”教學(xué)中的一些片段，細(xì)細(xì)打磨發(fā)現(xiàn)，以上教學(xué)過程中存在不少缺失.一是缺少深刻的過程體驗(yàn).如情境1中我只關(guān)注了知識的講解而忽視了學(xué)生學(xué)的過程，缺少深刻的過程體驗(yàn)，學(xué)生無法內(nèi)化知識，更不用說推廣遷移了，遇到新的問題時無從入手.二是缺少數(shù)學(xué)本質(zhì)的揭露.如情境2中我的講解沒有讓學(xué)生深刻體會以靜制動的方法.缺少了數(shù)學(xué)本質(zhì)的揭露，導(dǎo)致無法靈活運(yùn)用知識解決問題.三是缺少知識的系統(tǒng)整合.如情境1中學(xué)生獲得的知識是零散的、孤立的，缺乏與其他知識的橫縱聯(lián)系，缺少了知識的系統(tǒng)整合，這也是思路中斷型學(xué)生的成因.

三、打造“深度”數(shù)學(xué)課堂

為彌補(bǔ)以上教學(xué)過程的缺失，讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)探究的過程，深刻理解數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)，并學(xué)會推廣應(yīng)用，我特從以下幾方面著手，改進(jìn)教學(xué)設(shè)計(jì)，致力于打造“深度”數(shù)學(xué)課堂.

1.深度設(shè)疑，經(jīng)歷數(shù)學(xué)探究的過程

情境1中，學(xué)生解決問題2感到困惑時，教師提問：“你能利用兩個問題的區(qū)別解決問題2嗎？”再“放慢”課堂的腳步，給予學(xué)生充足的思考時間和表達(dá)空間，使學(xué)生經(jīng)歷觀察、實(shí)驗(yàn)、推理、驗(yàn)證等探究過程，體會遇到新問題要轉(zhuǎn)化為已知的問題，建立兩者間的聯(lián)系.讓學(xué)生感受豐富的生命體驗(yàn)：主動探索時的困惑，尋找方案時的嘗試，解決問題后的快樂.在學(xué)生完成問題2后追問：“解決問題時你用的是什么方法？能描述下你的解題思路嗎？”學(xué)生經(jīng)歷了反思的過程，總結(jié)解題的方法和思路，抽象出軸對稱模型，才能自主將數(shù)學(xué)知識上升到思想方法的層次，這也是學(xué)習(xí)深化的過程.

2.變式訓(xùn)練，觸摸數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)

在情境2的教學(xué)中，補(bǔ)充以下兩個例題作為原例題的鋪墊與拓展.

例1如圖6，點(diǎn)P是邊長為1的菱形ABCD的對角線AC上一個動點(diǎn)，點(diǎn)M、N分別為AB、BC邊的中點(diǎn)，則MP+NP的最小值是__________.

圖6

本題是軸對稱模型在菱形背景下的簡單應(yīng)用，放在例題前讓學(xué)生回顧相關(guān)知識，為例題的解決做好知識和方法的鋪墊.之后，讓學(xué)生自己嘗試解決例題，找到問題的區(qū)別在于定點(diǎn)M、N變?yōu)閯狱c(diǎn)E、F，通過以靜制動，固定E或F點(diǎn)，類比例1的方法就能解決.學(xué)生在解題中找到了問題的本質(zhì)，才能舉一反三完成例2.

例2如圖7，菱形OABC中，點(diǎn)A在x軸上，頂點(diǎn)C的坐標(biāo)為（1，3），動點(diǎn)D、E分別在射線OC、OB上，則CE+DE+DB的最小值為_________.

圖7

例2是對以上兩個例題的拓展與提升.本題涉及了兩個動點(diǎn)，需要學(xué)生在充分理解軸對稱本質(zhì)的基礎(chǔ)上解題.利用第一次軸對稱求出CE+DE的最小值為AD，再利用第二次軸對稱求出AD+BD的最小值.本題有助于培養(yǎng)學(xué)生思維的深度與廣度，在學(xué)生的自我質(zhì)疑、自我探究中循序漸進(jìn)，達(dá)到對知識和方法的內(nèi)化和梳理.

3.綜合應(yīng)用，構(gòu)建數(shù)學(xué)知識體系

為了深化軸對稱模型，加強(qiáng)知識點(diǎn)的橫縱聯(lián)系，我選擇了以下例題，旨在讓學(xué)生站在全局的觀點(diǎn)看問題，在解決綜合型問題的過程中構(gòu)建數(shù)學(xué)知識體系.

例3如圖8，已知點(diǎn)A（-4，8）和點(diǎn)B（2，n）在拋物線y=ax2上.

（1）求a的值及點(diǎn)B關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)P的坐標(biāo)，并在x軸上找一點(diǎn)Q，使得AQ+QB最短，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo).

（2）平移拋物線y=ax2，記平移后點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)為A′，點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)為B′，點(diǎn)C（-2，0）和點(diǎn)D（-4，0）是x軸上的兩個定點(diǎn).

圖8

①當(dāng)拋物線向左平移到某個位置時，A′C+CB′最短，求此時拋物線的函數(shù)解析式.

②當(dāng)拋物線向左或向右平移時，是否存在某個位置，使四邊形A′B′CD的周長最短？若存在，求出此時拋物線的函數(shù)解析式；若不存在，請說明理由.

本題是在二次函數(shù)的背景下對軸對稱模型的遷移與應(yīng)用，將軸對稱問題與一次函數(shù)、二次函數(shù)、平移變換等問題相結(jié)合，讓學(xué)生經(jīng)歷思考探究解決問題的過程，將各部分零散的知識進(jìn)行系統(tǒng)整合，構(gòu)建完整的知識體系，這樣一來，學(xué)生對知識的理解深刻且不易遺忘.第（2）題第②問中求四邊形周長的最小值即求A′D+CB′的最小值，通過平移C點(diǎn)至D點(diǎn)，B′點(diǎn)至B″點(diǎn)，可找到問題的本質(zhì)為軸對稱模型，讓學(xué)生學(xué)會從知識系統(tǒng)中提取知識和方法，遇到新的問題能轉(zhuǎn)化為已知的問題，這也是數(shù)學(xué)教學(xué)的最終目標(biāo).

有“深度”的數(shù)學(xué)課堂，既有數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)積累和數(shù)學(xué)思想方法感悟的過程，也有知識系統(tǒng)構(gòu)建的過程.在教學(xué)中，我們要善于利用學(xué)生的錯誤資源反思自身的教學(xué)，找到錯誤的本源，立足學(xué)情，探尋改進(jìn)教學(xué)的方法，在不斷完善中，讓我們的數(shù)學(xué)課堂更有味道、更有實(shí)效、更有深度.F