☉湖北省武漢市鋼花中學(xué) 姚 莉

隨著基礎(chǔ)教育課程改革的不斷深入，人們越來越注意到中小學(xué)生綜合核心素養(yǎng)的培養(yǎng)和提升.2014年，教育部頒布了《關(guān)于全面深化課程改革 落實立德樹人根本任務(wù)的意見》；2016年，中國教育學(xué)會發(fā)布了《中國學(xué)生發(fā)展核心素養(yǎng)（征求意見稿）》.這些政策指導(dǎo)性文件，都強調(diào)了核心素養(yǎng)之于中小學(xué)生成長發(fā)展的重要性.作為初中數(shù)學(xué)一線教師，本人更多關(guān)心的是數(shù)學(xué)學(xué)科的“核心素養(yǎng)”有哪些，以及初中數(shù)學(xué)教學(xué)如何圍繞這些內(nèi)容來培養(yǎng)學(xué)生的綜合能力等.《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標準（2011年版）》明確將數(shù)感、符號意識、空間觀念、幾何直觀、數(shù)據(jù)分析觀念、運算能力、推理能力、模型思想、應(yīng)用意識和創(chuàng)新意識等視為數(shù)學(xué)的十大核心素養(yǎng)［1］.在此基礎(chǔ)上，進一步可提煉為數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運算、數(shù)據(jù)分析等.而其中，最重要、最本質(zhì)的是抽象、推理、模型［2］.本人在多年的初中數(shù)學(xué)教學(xué)實踐中，對數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)建模運用最多，也有一定的認識和思考.一般來說，數(shù)學(xué)抽象是指從具體數(shù)學(xué)對象或問題中，抽取具有共性的本質(zhì)屬性而舍棄其他屬性的思維過程；數(shù)學(xué)建模則是根據(jù)實際需要，建立數(shù)學(xué)模型，用數(shù)學(xué)知識與方法解決問題的過程.下面以人教版九年級下冊第二十六章第1課時“反比例函數(shù)”的教學(xué)設(shè)計為例，談?wù)勗诮虒W(xué)中如何培養(yǎng)學(xué)生以數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)建模為主要內(nèi)容的核心素養(yǎng)問題.

一、反比例函數(shù)的概念學(xué)習(xí)及分析

函數(shù)是描述現(xiàn)實世界中變化規(guī)律的數(shù)學(xué)模型.“反比例函數(shù)”是函數(shù)家族中的一個新成員，前面已經(jīng)學(xué)習(xí)了一次函數(shù)和二次函數(shù)，后面還要學(xué)習(xí)三角函數(shù)，我們將利用函數(shù)描述某些變化規(guī)律，解決一些實際問題.

1.情景引入

問題1：2018年10月1日，“萬里長江公鐵第一隧”武漢長江公鐵隧道正式通車.這條公鐵隧道全長2600m，某汽車的平均速度v隨運行時間t的變化而變化.

（1）平均速度v、運行時間t存在什么數(shù)量關(guān)系？

（2）這兩個變量間有函數(shù)關(guān)系嗎？試說明理由.

（3）你能寫出v關(guān)于t的解析式嗎？

下列問題中，兩個變量之間具有函數(shù)關(guān)系嗎？如果有，其解析式分別是什么？它們的共同特點是什么？

問題2：某住宅小區(qū)要種植一塊面積為1000m2的矩形草坪，草坪的長y隨寬x的變化而變化.

問題3：已知武昌區(qū)的總面積為82km2，人均占有面積s隨全區(qū)人口n的變化而變化.

設(shè)計分析：在函數(shù)的學(xué)習(xí)中，主要培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模和數(shù)學(xué)抽象思維.我們通過列舉身邊的實際問題，讓學(xué)生感受和理解數(shù)學(xué)與現(xiàn)實的關(guān)聯(lián)，將模型思想貫穿整個教學(xué)的全過程.在本節(jié)反比例函數(shù)教學(xué)中，利用武漢剛剛開通的長江公鐵隧道，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣與熱情，讓學(xué)生在情境創(chuàng)設(shè)中，感受函數(shù)就在于我們的現(xiàn)實生活中，以此來啟發(fā)學(xué)生建構(gòu)函數(shù)模型，為后面給反比例函數(shù)下定義作鋪墊.

2.概括定義

由上面三個問題情境，通過分析所得到的解析式，發(fā)現(xiàn)它們的共同特征是都呈現(xiàn)為的形式，其中k是常數(shù)，k≠0.據(jù)此，我們可將反比例函數(shù)定義為形如y=（k是常數(shù)，k≠0）的函數(shù)，其中x是自變量，y是函數(shù)，自變量x的取值范圍為不等于0的一切實數(shù).

設(shè)計分析：通過實際問題，讓學(xué)生抽象出數(shù)學(xué)問題，通過歸納三個解析式的共同特征，用數(shù)學(xué)語言函數(shù)的形式來解析實際問題.與此同時，讓學(xué)生從函數(shù)形式上觀察并認知反比例函數(shù)的右邊是分式，比例系數(shù)k≠0的要求和合理性.

讓學(xué)生在具體的實際問題中感受、體驗，建構(gòu)出數(shù)學(xué)模型——函數(shù)，總結(jié)、歸納、概括出反比例函數(shù)所具有的特征，在此基礎(chǔ)上，給出反比例函數(shù)的基本定義.通過這樣一個過程，培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)的視角、數(shù)學(xué)的眼光感受世界、發(fā)現(xiàn)問題、解決問題，從而形成并夯實學(xué)生數(shù)學(xué)抽象的意識；用數(shù)學(xué)的語言和方式表達世界，進一步發(fā)展數(shù)學(xué)建模的思維.

3.加強認識

根據(jù)以上認識，請指出：下列函數(shù)中哪些是反比例函數(shù)？這些反比例函數(shù)相應(yīng)的k值是多少？

⑥2y=x；⑦xy=-1.

設(shè)計分析：在數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)建模的過程中，我們可以借助k=xy這個關(guān)系式，幫助學(xué)生直觀地建立反比例函數(shù)模型，理解常數(shù)k的實際意義，從而能夠更簡便、形象地理解反比例函數(shù)與現(xiàn)實問題間的關(guān)系.

4.鞏固深化

活動1：課堂上，每個同學(xué)寫出3至5個反比例函數(shù)關(guān)系式，請你的同桌指出其中的k值.

活動2：寫出下列問題中兩個變量間的函數(shù)關(guān)系式，并判斷它們是否是反比例函數(shù).

（1）一個游泳池的容積為2000m3，游泳池注滿水所用時間t（單位：h）隨注水速度v（單位：m3/h）的變化而變化；

（2）某長方體的體積為1000cm3，長方體的高h（單位：cm）隨底面積S（單位cm2）的變化而變化；

（3）圓的周長l（單位：cm）隨半徑r（單位：cm）的變化而變化.

設(shè)計分析：當學(xué)生對數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)建模有了初步的認識和理解后，我們通過一定的練習(xí)，就可以鞏固對反比例函數(shù)定義及有關(guān)知識的掌握.通過反比例函數(shù)表達式的適當變化，與前面的正比例函數(shù)、一次函數(shù)等知識進行區(qū)別.同時對反比例函數(shù)中常數(shù)的現(xiàn)實意義作進一步的認識，從而深化學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的培養(yǎng).

活動3：你能賦予反比例函數(shù)一個實際背景嗎？引出例題：

已知y是x的反比例函數(shù)，當x=2時，y=6.

（1）寫出y與x的函數(shù)關(guān)系式；

（2）求當x=4時y的值.

跟蹤練習(xí)：已知y與x2成反比例，并且當x=3時，y=4.

（1）寫出y關(guān)于x的函數(shù)解析式；

（2）當x=1.5時，求y的值；

（3）當y=6時，求x的值.

設(shè)計分析：通過以上實例，我們發(fā)現(xiàn)：給出的反比例函數(shù)模型可以被賦予多個不同的實際背景，也就是說，同一個函數(shù)模型可以有十分豐富的實際背景.通過這種逆向思維的訓(xùn)練，可以對學(xué)生數(shù)學(xué)思維的培養(yǎng)提出更高要求，也能進一步讓學(xué)生體會和感受到數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)建模思想在實際情境中的價值.從學(xué)生賦予的實際背景中，抽象出數(shù)學(xué)問題，用數(shù)學(xué)符號建立函數(shù)來表示問題中的數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律.讓學(xué)生在經(jīng)歷運用有關(guān)知識解決實際問題的過程中，逐步培養(yǎng)和提升學(xué)生的數(shù)學(xué)推理能力和語言表達能力.由例題（y是x的反比例函數(shù)）抽象出跟蹤練習(xí)（y與x2成反比例），是將一個數(shù)學(xué)問題抽象成另一個數(shù)學(xué)問題，這其中包含了數(shù)學(xué)遷移的思想.

5.課堂小結(jié)

在本課中，我們對反比例函數(shù)的概念和特征應(yīng)該有哪些基本的認識？從中，你能感受到哪些數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)？除此之外，還有哪些數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)需要我們注意？

設(shè)計分析：通過課堂總結(jié)，讓學(xué)生簡單回顧梳理一下學(xué)到了什么新內(nèi)容，關(guān)聯(lián)到了哪些舊知識，體悟到了怎樣的數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)建模思想，以及在今后的學(xué)習(xí)中如何作更進一步的提升等.盡量將數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的培養(yǎng)貫穿課堂教學(xué)的始終.

二、關(guān)于數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)的思考

本節(jié)“反比例函數(shù)”課堂教學(xué)設(shè)計中，主要探索的是如何培養(yǎng)初中生的數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)建模思想.在我看來，數(shù)學(xué)抽象思想是數(shù)學(xué)諸多核心素養(yǎng)中最本質(zhì)、最重要的一種.通過數(shù)學(xué)抽象，將現(xiàn)實生活中的實際問題數(shù)學(xué)化；通過建立數(shù)學(xué)模型，使原問題獲得理想的解決.從而建構(gòu)起純粹的數(shù)學(xué)王國與外部現(xiàn)實世界的密切聯(lián)系，全面提升用數(shù)學(xué)思想解決實際問題的能力.

本節(jié)課教學(xué)設(shè)計第1、2部分，從學(xué)生比較感興趣的三個情景問題出發(fā)，啟發(fā)學(xué)生抽象出函數(shù)模型，從而提出反比例函數(shù)的概念，將情景問題抽象成數(shù)學(xué)問題解決，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象思維.在第3部分中，歸納情景問題的特征，總結(jié)出結(jié)論：定量=變量1×變量2，從而抽象出反比例函數(shù)另一個關(guān)系式k=xy.在第4部分中，更是由例題y是x的反比例函數(shù)抽象出跟蹤練習(xí)y與x2成反比例，是將一個數(shù)學(xué)問題抽象成另一個數(shù)學(xué)問題.數(shù)學(xué)抽象思想貫穿本節(jié)課始終.

此外，數(shù)學(xué)建模思想也貫穿在本節(jié)反比例函數(shù)教學(xué)設(shè)計中.以前，我們可能局限地認為，數(shù)學(xué)建模就是把實際問題抽象成數(shù)學(xué)問題，建立數(shù)學(xué)模型加以解決.數(shù)學(xué)建模思想其實有兩個方面的表現(xiàn).一方面表現(xiàn)為學(xué)生面對實際問題，運用數(shù)學(xué)思維、利用數(shù)學(xué)工具尋找解題路徑的過程.比如，在學(xué)習(xí)相似三角形一章時，我提出一個實際問題：如何省時、省力地測出我們教學(xué)樓的高度？學(xué)生的興奮點被燃起，課堂氣氛非常活躍，有的說用尺量，可惜沒有那么長的尺；有的說用繩子量，啟用直升機將繩子從高空垂直放下，這個費用有點高；其中有一個學(xué)生說給我一只小木棍，我就可以測出教學(xué)樓的高度，原來他就是利用相似三角形的比例關(guān)系，通過測量小木棍和它影子的長度，再測出教學(xué)樓影子的長度，從而得到教學(xué)樓的實際高度……提出學(xué)生喜聞樂見的情景問題，啟發(fā)學(xué)生抽象出數(shù)學(xué)模型，并建立模型解決問題.數(shù)學(xué)建模并不僅僅局限于這一種形式.另一方面，在應(yīng)試思路下，命題者的命題往往源于假設(shè)的、被抽象過的問題，往往是不太實際的“現(xiàn)實問題”，如何思考并獲得正確答案呢？這就需要學(xué)生在參加各類考試時，掌握和熟練運用數(shù)學(xué)建模思想.因為在很多時候，我們所學(xué)的數(shù)學(xué)知識并不能全部應(yīng)用到實際生活中去.因而，在當前的應(yīng)試思維下，培養(yǎng)學(xué)生以數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)建模思想等為核心的數(shù)學(xué)素養(yǎng)就顯得十分有必要.