☉山東省濟(jì)南市萊蕪區(qū)雪野鎮(zhèn)中心中學(xué) 許迎新

圖1

在我們解決數(shù)學(xué)問題時，總要根據(jù)數(shù)學(xué)問題蘊(yùn)含的解題信息才能求解.當(dāng)然，很多時候數(shù)學(xué)問題蘊(yùn)含的解題信息往往不止一個，甚至是多個解題信息.例如，如圖1，正方形ABCD的邊長為1，對角線AC、BD相交于點(diǎn)O，求OC的長.在這個問題中，就蘊(yùn)含很多解題信息.如數(shù)量關(guān)系方面的信息：AB=BC=CD=AD=1，OA=OB=OC=OD，∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB=90°，對角線AC平分∠DAB和∠BCD，對角線BD平分∠ABC和∠ADC；位置方面的關(guān)系：AB∥CD，AD∥BC，對角線AC與BD互相垂直平分，△AOB、△BOC、△COD、△AOD、△ABC、△BCD、△CDA、△DAB都是等腰直角三角形.在眾多的解題信息中，我們可能只用到部分解題信息.而且不同的人由于使用的解法不一樣，因而用到的解題信息也不盡相同.再如化簡這個式子中包含的解題信息有無論是數(shù)與式，還是幾何圖形或函數(shù)圖像，都蘊(yùn)含有解題信息.而我們把那些與解題目標(biāo)最為密切的解題信息稱為目標(biāo)信息.下面舉例說明在解決數(shù)學(xué)問題時如何利用目標(biāo)信息使數(shù)學(xué)問題獲得巧解.

一、巧用式中的數(shù)量關(guān)系

許多代數(shù)式都蘊(yùn)含很多解題信息.我們可以通過作和、差、倍、分，甚至平方和、平方差等多種手段對代數(shù)式進(jìn)行處理，以便發(fā)現(xiàn)這些代數(shù)式中蘊(yùn)含的解題信息，然后選取與解題目標(biāo)關(guān)系最密切的信息，從而使問題便捷求解.

例1解方程（x-2）（x-5）=-2.

本題若按常規(guī)解法，只需把原方程化為一元二次方程的一般形式x2-7x+12=0，然后對左邊進(jìn)行因式分解，得（x-3）（x-4）=0.則x-3=0或x-4=0.則原方程的解為x1=3，x2=4.仔細(xì)觀察原方程等號左邊，我們發(fā)現(xiàn)兩個因式x-2與x-5正好相差3，即（x-2）-（x-5）=3，而右邊的-2正好可以分成兩個相差3的數(shù)相乘，即-2=1×（-2）=2×（-1），因此必有x-2=1（或x-5=-2），或者x-2=2（或x-5=-1）.則x=3或x=4.這樣也可以求出原方程的解為x1=3，x2=4.這種解法不需要對原方程進(jìn)行化簡整理，不需要進(jìn)行因式分解，而只需進(jìn)行因數(shù)分解，大大減少了運(yùn)算量，甚至可以口算，不得不說這是一種在認(rèn)識觀察方程結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)上得出的巧妙解法，更是一種創(chuàng)新解法，確實是“化腐朽為神奇”！

二、巧對常數(shù)進(jìn)行變形

我們知道，當(dāng)一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的判別式大于0時，一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根.反之，若則x1、x2又可以看作一元二次方程的兩不相等實根，這實際上是對一元二次方程根的定義的逆向應(yīng)用.在逆向應(yīng)用一元二次方程根的定義時要注意觀察所給方程的結(jié)構(gòu)特征是否具有或者可以化成和的形式.

本題若按常規(guī)方法，可以先對原方程組進(jìn)行整理，即將原方程組化成整系數(shù)方程，得然后解方程組，這樣做本身無可厚非.如果仔細(xì)觀察方程組中的兩個方程，我們發(fā)現(xiàn)，若將36化成62，將49化成72，原方程組可以化成的形式，這樣兩個方程都具有的結(jié)構(gòu)，逆用一元二次方程根的定義可知和是一元二次方程xp2-yp+1=0的兩根.由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系定理，得則這樣我們把一個看似與一元二次方程無關(guān)的方程組問題，通過對方程組中的方程變形，巧妙地利用一元二次方程的知識求解，得到了本題的創(chuàng)新解法，極大地開闊了學(xué)生的視野，開拓了學(xué)生的思維能力.

三、巧用已知條件和待求結(jié)論之間的倍分關(guān)系

在列方程解決實際問題時，一般情況下，我們都是根據(jù)能夠表示全部數(shù)量關(guān)系的相等關(guān)系列方程求解.但在某些情況下，如果直接根據(jù)相等關(guān)系列方程，思路雖然簡單，方程也容易列出，但由于所列方程比較繁雜，無疑增加了求解困難和運(yùn)算量，此時我們可以對相等關(guān)系進(jìn)行變通，或者另外尋求突破口，使問題的求解變得相對簡單.

例3如圖2，在矩形ABCD中，AB=20厘米，BC=16厘米，動點(diǎn)M從點(diǎn)A出發(fā)沿AB以4厘米/秒的速度向終點(diǎn)B運(yùn)動，同時動點(diǎn)N從點(diǎn)B出發(fā)沿BC以2厘米/秒的速度向終點(diǎn)C運(yùn)動，它們到達(dá)終點(diǎn)后停止運(yùn)動.幾秒后，點(diǎn)M、D之間的距離是點(diǎn)M、N之間的距離的2倍？

圖2

假設(shè)t秒后，點(diǎn)M、D之間的距離是點(diǎn)M、N之間的距離的2倍.此時AM=4t，BM=20-4t，BN=2t.在Rt△ADM中，由勾股定理，得在Rt△BMN中，由勾股定理，得根據(jù)“點(diǎn)M、D之間的距離是點(diǎn)M、N之間的距離的2倍”列方程得這是一個無理方程，求解比較困難.注意到點(diǎn)M的運(yùn)動速度是點(diǎn)N的運(yùn)動速度的2倍，因此AM=2BN，而點(diǎn)M、D之間的距離是點(diǎn)M、N之間的距離的2倍意即DM=2MN.則而且△ADM和△BMN都是直角三角形，根據(jù)“斜邊、直角邊”可知△ADM △BMN.則.即，即解得t=3.不難看出，由于我們對“點(diǎn)M、D之間的距離是點(diǎn)M、N之間的距離的2倍”這個可以列方程的等量關(guān)系進(jìn)行轉(zhuǎn)換，轉(zhuǎn)化成“△ADM △BMN”，所列方程簡單多了.

以上我們談了如何根據(jù)目標(biāo)信息解決一些數(shù)學(xué)問題.這樣的例子還有很多，如已知方程組的值。常規(guī)方法是先求出方程組的解然后再計算x+y的值。事實上，由于我們要求的是x+y的值，也可以先將x+y從兩個方程中分離出來，即將方程組轉(zhuǎn)化為（Ⅰ）的形式，在方程組（Ⅰ）中，由②-①×2，不難求出x+y=20；在方程組（Ⅱ）中，由①×4-②，得3（x+y）=60，所以x+y=20.再如已知方程組求x+y的值，我們就沒有必要求出方程組的解，而是直接將兩個方程的左右兩邊相加，可得，即這樣很容易求出x+y=9.9。再如，在四邊形ABCD中，對角線AC、BD相交于點(diǎn)O，DA=DB=DC，如圖3所示. 如果∠CAB=2∠ACB，且∠ADB=46°，你能求出∠BDC的度數(shù)嗎？對于該題，如果利用常規(guī)方法，需要根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理求解，運(yùn)算量大，比較麻煩.如果能夠注意到“DA=DB=DC”這個條件，聯(lián)想到圓的定義，不難斷定點(diǎn)A、B、C都在以點(diǎn)D為圓心的圓上，因此可以通過構(gòu)造輔助圓（如圖4）求解，這樣就簡單多了.希望學(xué)生在今后的學(xué)習(xí)中多加總結(jié)，注意根據(jù)目標(biāo)信息對數(shù)學(xué)問題進(jìn)行巧妙求解，提高解題效率，讓解法“大放光彩”.

圖3

圖4