☉上海市嶺南中學(xué) 劉華為

眾所周知，構(gòu)圖、分類和求值是處理因動點產(chǎn)生的等腰三角形存在性問題的三大基本步驟.其中構(gòu)圖較易操作（主要以某條邊為基準，若該邊為底邊則作其垂直平分線；若該邊為腰則分別以其兩端點為圓心、長為半徑畫圓，即可得滿足條件的三個等腰三角形），分類（即以三角形的三邊兩兩相等分三種情況討論）也不棘手，但究竟如何求值不易把握，甚至常常有束手無策之感.本文不揣淺陋，就求值的轉(zhuǎn)化策略談幾點膚淺的認識，以拋磚引玉.

一、轉(zhuǎn)化策略

1.利用三邊兩兩相等分類列方程轉(zhuǎn)化

例1（2018年上海虹口一模第25題）如圖1，已知AB=，點C、E分別為射線BG上的動點（點C、E都不與點B重合），連接AC、AE，使得∠DAE=∠BAC，射線EA交射線CD于點F.設(shè)

（1）當x=4時，求AF的長；

（2）當點E在點C的右側(cè)時，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出函數(shù)的定義域；

（3）連接BD交AE于點P，若△ADP是等腰三角形，直接寫出x的值.

圖1

圖2

思路剖析

（3）對于△APD而言，由于AD=4，因此若能把AP和DP用含x的代數(shù)式表示，然后依據(jù)PA=PD、AP=AD和DA=DP三種情況分別列方程即可求出相應(yīng)的x值.注意到△APD △EPB，則即則問題轉(zhuǎn)化為EB、AE和BD的值（或用含x的代數(shù)式表示）.由∠BAC=∠DAE=∠BEA和∠ABC=∠EBA，知△BAC △BEA，依據(jù)對應(yīng)邊成比例可得而要求AE和BD的值，自然想到分別過點A、D作BC的垂線AM與DN（垂足分別為M與N，如圖2），構(gòu)造直角三角形求解，易得代入前一比例式可得然后列方程可解得x的值分別為和表面上看，本解法所列方程的形式與過程較復(fù)雜，但求解相當便捷，大可不必畏“繁”而退.

說明：利用三邊兩兩相等處理等腰三角形存在性問題的轉(zhuǎn)化策略，其優(yōu)越性在于：思維指向十分明確，解題思路較為單一.因此，若所涉三角形的三邊易求（或用相關(guān)變量表示），運用本轉(zhuǎn)化策略處理往往可化難為易.

2.利用定角的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化

例2（2018年上海松江一模第25題）如圖3，已知△ABC中，∠ACB=90°，AC=1，BC=2，CD平分∠ACB交邊AB于點D，P是射線CD上一點，連接AP.

（1）求線段CD的長；

圖3

（2）當點P在CD的延長線上，且∠PAB=45°時，求CP的長；

（3）記點M為邊AB的中點，連接CM、PM，若△CMP是等腰三角形，求CP的長.

思路剖析：（1）過點D作DE∥AC，交BC于點E.由以及勾股定理，得

圖4

圖5

如何求∠MCP的余弦值呢？自然想到重新構(gòu)造直角三角形，即過點D作DF⊥CM，垂足為F（如圖5），則問題又轉(zhuǎn)化為求DF的長了.由△CDM的面積想到過點C作CG⊥AB，垂足為G.易求得所以進而得故CP=其實，輔助線CG一旦作出，由∠BCD=∠ACD和∠BCM=∠B=∠ACG，可直接求得cos∠MCP=所以輔助線DF也無需構(gòu)造了，計算量自然大大減少.

若CP=MP（如圖6），構(gòu)造直角三角形CPQ，求出CP=也就是手到擒來之舉了.

說明：當所研究的三角形中既有定角又有定邊時，可借助“等腰三角形三線合一”構(gòu)造直角三角形，并通過解直角三角形求出相關(guān)量.

圖6

圖7

例3（2018年上海崇明一模第25題）如圖7，已知△ABC中D是AB邊的中點，E是AC邊上一點，連接DE，過點D作DF⊥DE交BC邊于點F，連接EF.

（1）當DE⊥AC時，求EF的長.

（2）當點E在AC邊上移動時，∠DFE的正切值是否會發(fā)生變化？如果變化，請說出變化情況；如果保持不變，請求出∠DFE的正切值.

（3）連接CD，交EF于點Q，當△CQF是等腰三角形時，請直接寫出BF的長.

思路剖析：（1）EF=5.

（3）因為BC=6，所以要求BF實際上就是求CF的長.顯然，在△CQF中，∠QCF=∠B是一定角，且正、余弦值分別是與但與例2不同的是，其三邊CQ、CF與QF均是變量，不能像例2一樣直接解直角三角形求出CF的長，需引入變量，不妨設(shè)CF=5m.

若FQ=FC=5m，過點F作FG⊥CQ，垂足為G（如圖7），則CQ=2CG=6m.下面只需構(gòu)造等式，列出關(guān)于m的方程即可.注意到tan∠DEF=tan∠A，所以∠DEF=∠B=∠QCF，則△DEQ △FCQ，則由于比例式中ED、EQ、DQ均不能直接用m表示，所以需再引入新變量，注意到DE∶DF∶EF=3∶4∶5，所以可設(shè)DE=3n，EF=5n，故，解得進而得

若CQ=FQ，則過點Q作QH⊥CF，垂足為H（如圖8）.易得所以解得m=故BF=3.

當然，對于CQ=FQ時，由∠QFC=∠QCF=∠B和∠DFE=∠A，可得∠DFC=90°，進而得EF∥AB，易得BF=3.

圖8

不過前者與另兩種情形融為一體，是通性通法，而后者雖然簡捷，但技巧性強，自然應(yīng)用的局限性也強.

說明：當?shù)妊切沃兄挥卸ń嵌鄙俣ㄟ厱r，可巧設(shè)變量先把三邊表示出來，再借助其他條件列方程（組）求解.

3.利用相似三角形華麗轉(zhuǎn)身

例4（2016年上海市徐匯區(qū)一模第25題）如圖9，四邊形ABCD中，∠C=60°，AB=AD=5，CB=CD=8，P、Q分別是邊AD、BC上的動點，AQ和BP交于點E，且∠BAD，設(shè)A、P兩點的距離為x.

（1）求∠BEQ的正切值；

圖9

（3）當△AEP是等腰三角形時，求B、Q兩點的距離.

思路剖析：（1）由∠BAD和AB=AD、CB=CD想到連接AC，得再由∠BAD想到連接BD，交AC于點O，則∠BEQ=∠ABO，得其正切值為

（2）易證△AEP △ADF和△BEF △BDP.由對應(yīng)邊成比例可得

（3）對于△AEP而言，由于三個內(nèi)角均非定角且三邊都不易求解，所以直接處理頗為棘手，但若借助與其相似的△ADF轉(zhuǎn)化，則可巧奪天工.

在△ADF中，若AF=AD=5，則Q、F、E均與點B重合，∠BEQ不存在，故不成立.

若AF=DF，由∠DAF=∠ADF＜∠DAO，知點F在線段OD上，此時點Q不在邊BC上，也不成立.

若FD=AD=5，則BF=3，F(xiàn)O=1.不妨設(shè)BQ=t，下面只需列出關(guān)于t的方程（即尋找含有t的相關(guān)線段的等式）即可.注意到∠CBD=60°，所以過點Q作QG⊥BD，垂足為G，則且代入相關(guān)量即可求得

說明：若所研究的三角形中有多個相似三角形，應(yīng)選擇存在定角（定邊）或邊長易用相關(guān)變量表示的三角形，再依照前面的策略逐步轉(zhuǎn)化求解.

二、兩點思考

1.習(xí)題教學(xué)應(yīng)以加強學(xué)法指導(dǎo)為抓手

數(shù)學(xué)教學(xué)離不開習(xí)題教學(xué)，但究竟如何開展習(xí)題教學(xué)常常是仁者見仁智者見智，很難有統(tǒng)一標準.不過筆者覺得習(xí)題教學(xué)至少要以學(xué)法指導(dǎo)為抓手，從知識轉(zhuǎn)化角度切入，剖析解題思路的生成過程，充分挖掘解題策略形成的必然性與操作性，從而引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會“怎樣想”，提升他們分析問題和解決問題的轉(zhuǎn)化能力.如“腰相等”“底角相等”“三線合一”是等腰三角形的三個重要性質(zhì)，當然也是處理由動點產(chǎn)生的等腰三角形存在性問題的三大切入點.本文的四道例題均是先由這三個性質(zhì)切入（其中例1由“邊相等”直接切入；例2則是由“邊相等”和“三線合一”共同打開解題思路；例3更是把三者進行了有機融合后打通思維通道；例4是從“邊相等”和“角相等”入手使問題迎刃而解），一舉找到解題思路的突破口，再逐步完善轉(zhuǎn)化過程，值得細細品味.

2.解題教學(xué)應(yīng)以追求以題會類為境界

習(xí)題永遠做不完，但處理同類問題的策略或方法就那么多.因此，如何精選例題，以涵蓋同類問題的常見類型與處理問題的基本策略，著重培養(yǎng)學(xué)生的類化能力和遷移能力，力求達到“以題會類”的習(xí)題教學(xué)最高境界，恐怕是值得每位執(zhí)教者深入思考與扎實推進的課題.對于由動點產(chǎn)生的等腰三角形存在性問題而言，用相關(guān)變量表示出三邊（或求出具體值）再依據(jù)兩兩相等分類列方程求解是處理問題的基本策略（如例1），但當三邊不易用含變量的代數(shù)式表示時，可借助某一定角的三角函數(shù)巧妙轉(zhuǎn)化（如例2、例3）；若不僅三邊不易表示而且沒有定角，則可借助與其相似（含全等）且符合上述特征之一的三角形轉(zhuǎn)化（如例4）.經(jīng)此提煉，學(xué)生面對“等腰三角形存在性問題”就有了明確的思考方向與轉(zhuǎn)化策略，處理起來自然就更加得心應(yīng)手了.

當然，隨著情境的變化和綜合性的強化，處理由動點產(chǎn)生的等腰三角形存在性問題的轉(zhuǎn)化策略也會不盡相同.但只要我們做個有心人，深入挖掘解決問題的本質(zhì)，就一定能不斷歸納出處理問題的通性通法，追求“以題會類”的習(xí)題教學(xué)最高境界，從而擺脫“題海戰(zhàn)術(shù)”的桎梏，真正把“減負增效”落到實處，最終提升自己造福學(xué)生.