☉山東省濟(jì)南市萊蕪區(qū)雪野鎮(zhèn)中心中學(xué) 畢平思

學(xué)習(xí)了二元一次方程組的解法后，我們知道解二元一次方程組有兩種基本方法：代入法和加減法.下面讓我們看看如何解方程組根據(jù)方程組的特點(diǎn)，常規(guī)解法是采用加減法.比較兩個(gè)未知數(shù)的系數(shù)，我們發(fā)現(xiàn)消去x比較簡單，解法如下.①×7，得14x+21y=84③，②×2，得14x-34y=194 ④.③-④，得55y=-110.則y=-2.把y=-2代入①，得2x+3×（-2）=12.則x=9.則原方程組的解為上述解法其實(shí)是一種常規(guī)解法.本題其實(shí)可以應(yīng)用均值換元法巧解.若實(shí)數(shù)m、n滿足m+n=p，則可設(shè)我們稱這種換元方法為均值換元法.觀察方程①，根據(jù)系數(shù)特點(diǎn)，可設(shè)2x=6+6t，3y=6-6t，即x=3+3t，y=2-2t.代入方程②，得7（3+3t）-17（2-2t）=97.則t=2.則x=3+3×2=9，y=2-2×2=-2.不難發(fā)現(xiàn)，采用均值換元法解原方程組，大大減少了運(yùn)算量，提高了解題效率.實(shí)際上，換元法也是一種重要的數(shù)學(xué)解題方法.在解決數(shù)學(xué)問題時(shí)，有時(shí)可以把某個(gè)式子看成一個(gè)整體，用一個(gè)變量去代替它，從而使問題得到簡化，叫作換元法.換元法的種類比較多，均值換元法只是其中的一種.應(yīng)用換元法可以起到化難為易、化繁為簡之效，從而提高解題效率.

一、用于計(jì)算

分析：由于括號內(nèi)加數(shù)太多，此題若直接計(jì)算，無論是先對括號內(nèi)通分，還是應(yīng)用乘法分配律，都不現(xiàn)實(shí).注意到括號內(nèi)有許多相同的項(xiàng)，如可以先將這些相同的項(xiàng)看成一個(gè)整體并用字母表示，再計(jì)算就方便多了.

解：令則原式

評注：本解法實(shí)際上是雙參數(shù)換元，即在換元時(shí)引入兩個(gè)字母（或參數(shù)）.通過換元可以發(fā)現(xiàn)，換元之后原式變得非常簡捷，而且在計(jì)算時(shí)相同項(xiàng)可以相互“抵消”.

快樂體驗(yàn)：已知且都是正數(shù)，試比較M、N的大小，并說明理由.

二、用于解方程組

分析：本題若按常規(guī)解法，需要先對方程組進(jìn)行化簡，比較麻煩，且易出錯(cuò)．若能注意觀察到兩個(gè)方程中都含有可分別視為一個(gè)整體，然后運(yùn)用整體換元的方法求解．

快樂體驗(yàn)：解方程組

例3已知關(guān)于x、y的二元一次方程組的解是則關(guān)于x、y的二元一次方程組的解是______.

評注：本題若按常規(guī)方法，需要將代入方程組①求出再把代入方程組②，得到另一個(gè)方程組再解這個(gè)方程組，得這樣解步驟甚多、運(yùn)算繁雜，容易產(chǎn)生錯(cuò)誤.仔細(xì)觀察方程組①和②，對比兩個(gè)方程組的結(jié)構(gòu).若設(shè)x+y=u，x-y=v，則方程組②可變形為方程組③對比方程組①和③，我們發(fā)現(xiàn)這兩個(gè)方程組除了未知數(shù)的表達(dá)形式不一樣，未知數(shù)的系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)部分都相同，因此它們的解相同，則即解這個(gè)方程組，得顯然這樣求解非常簡捷.

快樂體驗(yàn)：已知方程組的解是則方程組的解是（ ）.

三、用于求二元二次方程的實(shí)數(shù)解

例4方程x2-xy+y2-x-y+1=0的實(shí)數(shù)解是_____.

評注：本題若按常規(guī)方法，可以先將原方程整理成關(guān)于x的一元二次方程，得x2-（y+1）x+（y2-y+1）=0.由方程有實(shí)數(shù)根的條件，得一元二次方程的判別式即（y-1）2≤0.而（y-1）2≥0，于是（y-1）2=0，則y=1.

將y=1代入原方程，得（x-1）2=0，則x=1.

則原方程的實(shí)數(shù)解為x=1，y=1.

其實(shí)本題若用二元代換求解，非常簡捷.由于對于任意實(shí)數(shù)，恒有令則x=a+b，y=a-b，這種代換就叫作二元代換.二元代換是一種非常重要的換元方法，利用二元代換解決數(shù)學(xué)問題同樣可以起到化繁為簡、化難為易之功效.下面利用二元代換解答本題：

則a=1，b=0.則x=1，y=1.

則原方程的實(shí)數(shù)解為x=1，y=1.

快樂體驗(yàn)：方程x2+xy+y2+x-y+1=0的實(shí)數(shù)解是_____.

以上僅通過三例說明了換元法在解決數(shù)學(xué)問題時(shí)的作用.換元法的應(yīng)用還有很多，如我們可以利用換元法解分式方程，如解方程利用換元法解無理方程，如解方程利用換元法解分式方程組，如方程組的解是______（可先對方程組中的每個(gè)方程兩邊分別取倒數(shù)，將原方程組變形為的形式，然后再采用換元法）；利用換元法化簡分式，如已知：x+y+z=3a（a≠0，且x、y、z不全相等），求的值.希望大家在今后的學(xué)習(xí)中認(rèn)真總結(jié)，看看哪些數(shù)學(xué)問題適合應(yīng)用換元法，并盡可能掌握這種方法，從而提高解決數(shù)學(xué)問題的效率.W