☉甘肅省涇川縣第二中學(xué) 吳麥科

在解決數(shù)學(xué)問題時(shí)，有時(shí)為了解題的需要，可以先將問題的一般情形轉(zhuǎn)化為特殊情形，從而便于找到解決問題的一般思路，這就是特例法.在幾何中，從分析研究一些簡單的特殊圖形，或圖形上的特殊點(diǎn)，或圖形的特殊位置等入手，探索幾何命題解題途徑的方法稱為特殊圖形法.特殊圖形法是特例法的一種，在解題中不僅有著獨(dú)特的作用，而且對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的探索能力，激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)新思維也至關(guān)重要.下面用例子說明應(yīng)用特殊圖形法探索解題途徑的幾種策略.

一、一般圖形特殊化

例1 如圖1所示，在梯形ABCD中，AB∥CD，E是BC的中點(diǎn)，EF⊥AD于點(diǎn)F，AD=4，EF=5，則梯形ABCD的面積是（ ）

A.40 B.30 C.20 D.10

圖1

圖2

本題若按常規(guī)解法，可延長DE交AB的延長線于點(diǎn)M，并連接AE（如圖2），將梯形ABCD的面積轉(zhuǎn)化為△AMD的面積，而△AMD的面積等于△AED面積的2倍，且△AED的面積容易求出，從而順利求出梯形ABCD的面積.

當(dāng)然也可過點(diǎn)E作MN∥AD，交DC的延長線于點(diǎn)M，交AB于點(diǎn)N（如圖3），將梯形ABCD的面積轉(zhuǎn)化為平行四邊形ANMD的面積，而平行四邊形ANMD的面積容易求出（一邊AD及該邊上的高EF已知），從而順利求出梯形ABCD的面積.

圖3

圖4

注意到“EF⊥AD，E是BC的中點(diǎn)”這個(gè)條件，因此可取梯形ABCD為直角梯形的情形（如圖4），此時(shí)EF是梯形ABCD的中位線，AD是梯形ABCD的高，根據(jù)“梯形的面積等于中位線與高的乘積”可以快速求出梯形ABCD的面積是20.顯然這樣方便快捷.

答案為C.

二、點(diǎn)的位置特殊化

例2如圖5所示，正方形ABCD的邊長為2，在其中一條對(duì)角線BD上取一點(diǎn)E（不與點(diǎn)B和點(diǎn)D重合），使BE=2.連接CE，再在CE上取一點(diǎn)O（不與點(diǎn)C和點(diǎn)E重合），過點(diǎn)O分別作BC、BD的垂線段OM、ON，則OM+ON=（ ）.

圖5

圖6

本題若按常規(guī)方法，需要證明OM+ON等于等腰三角形BEC一腰上的高，這可運(yùn)用面積法.如圖6，接接BO，過點(diǎn)C作CP⊥BD于點(diǎn)P，則則又BC=BE=2，則OM+ON=CP.這樣求解比較麻煩.

不妨取點(diǎn)O與點(diǎn)C重合時(shí)的情況進(jìn)行分析.如圖7所示，過點(diǎn)O作OQ⊥BD，垂足為Q，則OM+ON=OQ，使用三角形面積公式可求得顯然這樣簡化了推算過程.

答案為A.

三、圖形位置特殊化

例3 如圖8所示為三個(gè)邊長為2的正方形，其中O1既是第一個(gè)正方形的中心，又是第二個(gè)正方形的一個(gè)頂點(diǎn)，O2既是第二個(gè)正方形的中心，又是第三個(gè)正方形的一個(gè)頂點(diǎn).那么陰影部分的面積是______.

圖7

圖8

解答本題首先要弄清兩個(gè)正方形重疊部分的面積與其中一個(gè)正方形面積的關(guān)系.若按常規(guī)方法，需要作輔助線證明兩個(gè)三角形全等.如圖9，表示其中相鄰的兩個(gè)正方形ABCD和A1B1C1D1.連接A1B、A1C（如圖10），然后證明△EA1B △FA1C.或者過點(diǎn)A1分別作AB、BC的垂線段A1E、A1F（如圖11），然后證明△EA1M △FA1N.這兩種方法都可以得出重疊部分的面積等于其中一個(gè)正方形面積的不過比較麻煩.

圖9

圖10

圖11

圖12

若將其中一個(gè)正方形旋轉(zhuǎn)至如圖12的位置，此時(shí)從圖形可以直觀得到結(jié)論.這樣不難求出陰影部分的面積大大提高了解題效率.

例4如圖13，等邊△DEF的頂點(diǎn)E在等邊△ABC的內(nèi)部，且邊EF與BC相交于點(diǎn)O.如果點(diǎn)O恰為BC和EF的中點(diǎn)，連接AD、BE，則AD∶BE的值為（ ）.

本題若按常規(guī)方法，需要連接DO、AO，如圖14所示，通過證明△AOD △BOE求解，難度較大.

若取BC⊥EF，由△DEF為等邊三角形，O為EF的中點(diǎn)，得DO⊥EF.則點(diǎn)D必然在BC上.再取點(diǎn)D與C重合，如圖15.在Rt△BOE中設(shè)OE=1，則則.則AD∶

圖13

圖14

答案為A.

本題先取BC⊥EF，這是圖形位置特殊化，而取點(diǎn)D與C重合，屬于點(diǎn)的位置特殊化.因此本例兼有圖形位置特殊化和點(diǎn)的位置特殊化.

圖15

不難看出，以上所舉例子全部是選擇題或填空題，因?yàn)檫x擇題或填空題不需要解答過程，只注重問題結(jié)果，因此“特殊圖形法”一般來說是對(duì)選擇題或填空題而言適合采取的一種解題方法.但是對(duì)于那些需要求解過程的解答題來說，解題過程不能采用“特殊圖形法”，它只能作為一種找到解決問題思路的方法，只具有借鑒作用.W