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        一道平面幾何試題的探究歷程

        2019-05-22 07:41:02安徽省滁州市第二中學(xué)張廣慶
        中學(xué)數(shù)學(xué)雜志 2019年6期
        關(guān)鍵詞:解題探究

        ☉安徽省滁州市第二中學(xué) 張廣慶

        每一道試題都是有源頭的,我們在解題時只要能突破“背景”,構(gòu)造出合適的基本圖形和數(shù)量關(guān)系,問題就易于解決了.下面以一道??荚囶}為例,談?wù)勎业囊恍┐譁\見解,與廣大同行共勉.

        一、原題呈現(xiàn)

        已知梯形ABCD,AD∥BC,AB⊥BC,AD=1,AB=2,BC=3.

        (1)如圖1,P為AB邊上一點,以PD、PC為邊作平行四邊形PCQD,請問:對角線PQ、DC的長能否相等?為什么?

        圖1

        圖2

        (2)如圖1,若P為AB邊上任意一點,以PD、PC為邊作平行四邊形PCQD,請問:對角線PQ的長是否存在最小值?如果存在,請求出最小值;如果不存在,請說明理由.

        (3)如圖2,若P為AB邊上任意一點,延長PD到E,使DE=PD,再以PE、PC為邊作平行四邊形PCQE,請?zhí)骄繉蔷€PQ的長是否存在最小值.如果存在,請求出最小值;如果不存在,請說明理由.

        (4)如圖3,若P為DC邊上任意一點,延長PA到E,使AE=nPA(n為常數(shù)),以PE、PB為邊作平行四邊形PBQE,請?zhí)骄繉蔷€PQ的長是否存在最小值.如果存在,請求出最小值;如果不存在,請說明理由.

        圖3

        二、解法探究

        在解決問題時,首先應(yīng)弄清問題的背景,獲取相關(guān)信息;然后基于背景的相關(guān)知識展開聯(lián)想,對信息進(jìn)行處理、加工,抽象出相關(guān)的基本圖形和對應(yīng)的數(shù)量關(guān)系,從而獲得解決問題的路徑.

        對于問題(1),結(jié)合圖形和條件,發(fā)現(xiàn)直接說明對角線PQ、DC的長能否相等,感到無從下手,我們不妨從結(jié)論出發(fā):假設(shè)對角線PQ、DC的長相等,則平行四邊形PCQD就會成為矩形,從而得到∠DPC=90°.(即當(dāng)∠DPC=90°時,PQ=DC)現(xiàn)在的問題就是:∠DPC能否等于90°?若∠DPC=90°,一個基本圖形——凹槽型(如圖4)浮現(xiàn)出來了.(圖中的兩個直角三角形相似)

        設(shè)PB=x,則AP=2-x.

        圖4

        則x2-2x+3=0.而b2-4ac=(-2)2-4×1×3=-8<0,所以此方程無實數(shù)解.

        所以假設(shè)不成立,即對角線PQ、DC的長不可能相等.

        點評:由凹槽型相似,能得到對應(yīng)邊成比例,對應(yīng)角相等.特別地,當(dāng)有一組對應(yīng)邊相等時,兩個三角形全等.此類圖形對于解決一些涉及邊的數(shù)量關(guān)系的復(fù)雜圖形的題目時有著“柳暗花明又一村”的功效.

        對于問題(2),設(shè)PQ與CD相交于點O.由平行四邊形PCQD,可得PQ與CD互相平分于點O,即PQ=2OP(O為定點).要求PQ的最小值,可轉(zhuǎn)化為求OP的最小值.其實際背景就是:定點O與定線段AB上任意一點連接的線段中,哪一條線段最短?這樣易聯(lián)想到一個數(shù)量關(guān)系“垂線段最短”.

        圖5

        如圖5,根據(jù)垂線段最短,過CD的中點O作OP⊥AB,垂足為P,延長PO至點Q,使OQ=OP,連接PC、CQ、QD、DP,則四邊形PCQD為平行四邊形,PQ為所求.

        因為AB⊥BC,OP⊥AB,所以PO∥BC.而點O為CD的中點,由平行線分線段成比例定理,得點P為AB的中點,從而OP為梯形ABCD的中位線,則又AD=1,BC=3,所以O(shè)P=2,從而得到PQ的最小值為4.

        對于問題(3),給出以下兩種解法:

        解法1:由DE=PD,易聯(lián)想到三角形的中位線的基本圖形,過點E作AD的平行線交BA的延長線于點M.由于定值),易聯(lián)想到在BC的延長線上補(bǔ)上一段與ME等長的線段CN,這樣可把平行四邊形PEQC放到以BM、BN為鄰邊的矩形BNHM中,說明點Q始終在線段HN上運動,聯(lián)想到一個數(shù)量關(guān)系“兩平行線間的距離最短”(如圖6).

        圖6

        圖7

        則NC=2AD=2.

        所以BN=BC+CN=5.

        當(dāng)PQ⊥AB時,PQ最短.此時有矩形PQNB.則PQ=BN=5.

        換一個角度,這道題也可以利用二次函數(shù)求最值來解決.

        解法2:觀察圖形發(fā)現(xiàn),隨著AP長的變化,PQ的長也在變化,它們之間有沒有聯(lián)系呢?又如何將這些分散的線段集中起來呢?便想到構(gòu)造一個以PQ為斜邊的直角三角形,利用勾股定理表示出PQ,從而利用函數(shù)模型求PQ的最值.

        如圖7,作QN⊥AB于點N,作QM⊥BC,交BC的延長線于點M.則有矩形BNQM.設(shè)AP=x,則BP=2-x,其中x的取值范圍是0≤x≤2.

        對于問題(4),有了解決問題(3)的經(jīng)驗,可以模仿求解,但值得一提的是,PQ不可能與CD垂直,所以采用函數(shù)模型求解比較好.(應(yīng)注意變量PM的取值范圍為0≤x≤2)

        如圖8,設(shè)PM=x,則NH=MC=x,AO=2-x,PO=BM=3-x.

        由△APO △QBH,可 得 QH=(n+1)(2-x),BH=(n+1)(3-x).

        圖8

        因為a=2(n+2)2>0,所以當(dāng)時,PQ2隨x的增大而減小.

        點評:求線段最值的常用方法:(1)利用性質(zhì)求最值,如“兩點之間線段最短”“垂線段最短”“兩平行線間的距離最短”;(2)利用函數(shù)模型求最值;(3)利用圖形變換求最值……這些方法可以使復(fù)雜的問題情境數(shù)學(xué)化,數(shù)學(xué)模型便躍然紙上,思路便豁然開朗.羅增儒教授在《解題信息論》一文中指出,數(shù)學(xué)解題需要:“捕捉信息——弄清題意;提取信息——從“存儲機(jī)構(gòu)”中提取出本問題有關(guān)的性質(zhì)、類型(基本模式)……加工信息——將相關(guān)信息結(jié)合起來,進(jìn)行加工、重組與再生……”等五個過程.也就是說,拿到一道題,我們應(yīng)先辨別是否屬于已經(jīng)掌握的類型,如果屬于,那就提取出該類型來解答;如果不直接屬于,那就進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖兓谌粘=虒W(xué)中,我們應(yīng)指導(dǎo)學(xué)生首先弄清問題背景,讓他們學(xué)會在紛繁復(fù)雜的背景中抽象出“模式圖形”和“數(shù)量關(guān)系”,最終實現(xiàn)“有效轉(zhuǎn)化”,探索出解題途徑.W

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