☉江蘇省江陰市敔山灣實驗學校 夏培培

本文以“幾何最值問題”專題課為例，以問題探究為驅(qū)動，帶領學生進行高階學習活動，組織學生經(jīng)歷“操作—分析—交流—質(zhì)疑—創(chuàng)造”的思維過程，使思維從低階向高階轉(zhuǎn)化，提升高階思維能力.

一、高階思維能力解讀

高階思維是指發(fā)生在高層次認知水平上的心智活動.它對應教學目標分類中諸如分析、綜合、評價等高層次認知水平的能力，是創(chuàng)新能力、問題解決能力、決策力和批判思維能力的核心［1］.

發(fā)展高階思維需要高階學習活動予以支持.高階學習是一種以學習者為中心、開展問題求解的學習活動，是一種形成知識共享、互動合作的學習方式.在“幾何最值問題”一節(jié)的教學中，筆者以探究為主線，以問題為依托，從基本模型入手，豐富問題背景，帶領學生從復雜圖形中發(fā)現(xiàn)基本模型并與相關思想方法聯(lián)系，進而拓展學生思維，培養(yǎng)學生的高階思維能力.

二、高階思維能力的實踐

教學環(huán)節(jié)1：根據(jù)問題情境回顧基本模型、思想方法

問題1：如圖1，已知直線l外兩點A、B，在l上找一點P，使PA+PB的值最小.

圖1

圖2

問題2：如圖2，已知∠MON外一點A，在OM、ON上分別找一點P、B，使PA+PB的值最小.

生1：對于問題1，以直線l為對稱軸作A（或B）的對稱點A′（或B′），連接A′B（或AB′）；對于問題2，過點A作AB⊥ON，交OM、ON于點P′、B′.

師：解決最值問題常用的方法是什么？

生2：軸對稱變換，旋轉(zhuǎn)變換，平移變換，確定動點軌跡等.

師：解決這兩個問題的理論依據(jù)是什么呢？

生3：兩點之間線段最短和垂線段最短.

設計意圖：問題是思維的起點和動力.通過兩個元問題帶領學生復習回顧解決最值問題的兩個基本模型，歸納最值問題的基本構(gòu)造方法和理論依據(jù).讓學生充分理解模型的內(nèi)涵，并將知識和思想方法相聯(lián)系，豐富學生的知識結(jié)構(gòu).

教學環(huán)節(jié)2：拓展模型和思想方法，探尋思維發(fā)散點

問題3：如圖3，已知正方形OBCD，點A是OD邊上一定點，請你在對角線BD上確定一點P，使PB的值最小.

變式：如圖4，在l上找一點P，使得PB的值最小.

圖3

圖4

驅(qū)動性問題1：看到“你想到什么？能否從這個角度出發(fā)嘗試轉(zhuǎn)化

生4：我想到45°的三角函數(shù)值，構(gòu)造直角三角形.

驅(qū)動性問題2：PB為直角邊還是斜邊？如何構(gòu)造？

生5：由BD為對角線，得∠DBC=45°.以BP為斜邊構(gòu)造直角三角形（如圖5）.

圖5

圖6

驅(qū)動性問題3：如果去掉正方形這一條件（如圖6），如何解決？

生6：補出BC這條線，按照剛才的方法.

學生畫圖探究解決并交流.

生7：在l下方構(gòu)造Rt△BEP（如圖7），其中∠EBP=30°；找到點P′即為所求.

圖7

圖8

生8：能否在l上方構(gòu)造Rt△BFP（如圖8，∠EBP=30°）？

驅(qū)動性問題4：不妨試一試，PA+PB=PA+PE.那么接下來就轉(zhuǎn)化為怎樣的問題？

生8：PA+PE的值最小，即將軍飲馬問題，作E點的對稱點，又變?yōu)閳D7的方法.我明白了，因此在l上方構(gòu)造，最終仍然要對稱轉(zhuǎn)化到l下方.

驅(qū)動性問題5：若將“PA+PB”改為“PA+k·PB”呢？

高階思維發(fā)展的關鍵是思維的交互、內(nèi)省.思維不是自然發(fā)生的，但是它一定是由“難題和疑問”或“一些困惑、混淆或懷疑”引發(fā)的［2］.學生提出在直線上方構(gòu)造直角三角形可否解決，此時引導學生進一步思考，發(fā)現(xiàn)問題轉(zhuǎn)化為將軍飲馬問題，需作對稱轉(zhuǎn)化到直線下方解決問題.在學生有想法和困惑時，教師予以肯定和支持，讓學生體驗解決問題方法的多角度、多樣性，在探究過程中進行思維的自我調(diào)節(jié)與省思，從而發(fā)展高階思維能力.

教學環(huán)節(jié)3：模型應用，產(chǎn)生質(zhì)疑，進一步拓展模型

問題4：如圖9，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CB=4，CA=6，⊙C的半徑r為2，P為圓上一動點，連接AP、BP，求的最小值.

圖9

學生提出問題：經(jīng)過探究發(fā)現(xiàn)利用三角函數(shù)值無法進行構(gòu)造轉(zhuǎn)化BP.

驅(qū)動性問題6：函數(shù)值給我們提供了一個倍分關系，還有什么指示也能提供倍分關系呢？

生10：相似比，即構(gòu)造相似三角形.

生11：CP=2，BC=4，它們存在2倍關系，由此構(gòu)造△BCP的相似三角形，在BC上取點D，使CD=1，如圖10所示.由，∠PCD=∠PCB=45°，得△PCD △BCP，則則PD=，則

圖10

師：非常透徹，通過構(gòu)造相似比再轉(zhuǎn)化邊，在構(gòu)造相似三角形時需結(jié)合題中已知條件之間的關系.

設計意圖：利用三角函數(shù)轉(zhuǎn)化未能成功解決問題；由此引起認學生的認知沖突，教師充分利用沖突，引導學生打破思維定式、另辟蹊徑，探尋轉(zhuǎn)化倍分關系的另一種方法：相似三角形.構(gòu)造相似三角形在學生思維過程中是一個“逆向”的過程，具有一定的挑戰(zhàn)性，教師有必要帶領學生一起探究構(gòu)造方法，感悟構(gòu)造過程，以此優(yōu)化學生思維過程的內(nèi)省與反思.該問題的設計旨在引導學生打破思維僵局，帶著質(zhì)疑和批判去推理和思考，并給予學生充分的時間和機會探索和表達，在潛移默化中提高學生的數(shù)學思維品質(zhì)，培養(yǎng)高階思維能力.

教學環(huán)節(jié)4：變式探究，創(chuàng)新優(yōu)化

變式1：如圖9，在“問題4”的條件下，你會求BP的最小值嗎？

變式2：如圖11，已知扇形COD中，∠COD=90°，OC=6，OA=3，OB=5，點P是CD上一點，求2PA+PB的最小值.

圖11

設計意圖：課后研究是課堂的延伸，給出兩個變式讓學生在不同倍分關系和圖形環(huán)境中探究解決問題的策略，讓學生經(jīng)歷知識、方法的再認識和再創(chuàng)造過程.

三、培養(yǎng)學生高階思維能力的教學思考

1.精心設計問題，培養(yǎng)幾何直觀

認知心理學認為，“問題”是思維活動進行的原動力和牽引力.問題的設計關系到學生思維的深度和廣度；教師的思維結(jié)構(gòu)觀念也影響著學生圖形與幾何的學習走向和效果.因此教師在備課時，要根據(jù)學生當前的認知結(jié)構(gòu)，認真研讀教材，把握知識體系，關注知識和方法的形成過程及學生的學習心理圖式，從而精心設計新知識的“邏輯關聯(lián)點”，引導學生自我構(gòu)建知識網(wǎng)絡，提升圖形與結(jié)合思維結(jié)構(gòu)水平，促使學生高階思維能力逐級躍升.

2.關注策略的形成，加強方法的積累

在解決問題的過程中，需重視解題策略的形成，關注問題的解法和結(jié)論.策略的學習無法通過直接的傳輸獲得，需要學生在畫圖、操作、猜想、實踐中發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析和解決問題，從而總結(jié)、反思，提煉相應的方法、技巧、經(jīng)驗，真正形成解決問題的策略.當然，策略的形成離不開方法的支撐，方法不是指一個特定的解題技巧，而是解決一類問題的通性通法，它在解決問題的過程中發(fā)揮著不可替代的作用.實踐證明，通過策略培養(yǎng)、方法養(yǎng)成積累的數(shù)學能力更利于學生的思維生長.

3.學會等待，靜待花開

在專題課的教學過程中，教師要舍得留時間給學生大膽嘗試，找到問題的核心所在.探究嘗試的過程，就是發(fā)展思維的過程.解決問題后也應留時間讓學生進行反思，將探究經(jīng)驗內(nèi)化為自己的數(shù)學素養(yǎng).內(nèi)化的過程，就是自我提升的過程.專題課的著眼點應放在學生學習能力發(fā)展上，讓學生通過課堂學習，創(chuàng)新數(shù)學思維方式，積累解決問題的方法，提升優(yōu)化意識.

當然，數(shù)學思維能力的培養(yǎng)不是一蹴而就的，這需要教師在平時的教學過程中摒棄傳統(tǒng)的“授受”模式，為學生思維獨立性和創(chuàng)新性培養(yǎng)創(chuàng)造條件，使學生的潛能和創(chuàng)造性得到發(fā)揮，以期提高其高階思維能力.