☉浙江省臺(tái)州市三門初級(jí)中學(xué) 李如軍

一、源起

沙孟海先生在自傳中提及自己一生的書法學(xué)習(xí)過(guò)程，他用四個(gè)字“窮源競(jìng)流”概括.今天我借沙先生的四個(gè)字與讀者共話解題之道.筆者在翻閱某校九年級(jí)月考卷時(shí)，發(fā)現(xiàn)一道填空題得分率很高，過(guò)了幾個(gè)星期之后筆者將此題作為簡(jiǎn)答題布置給學(xué)生再做，由統(tǒng)計(jì)結(jié)果得知得分率很低，我很詫異.在這高低變化過(guò)程中我和學(xué)生進(jìn)行了簡(jiǎn)短的對(duì)話.

筆者：當(dāng)初你是如何解決這道填空題的？

生：個(gè)人感覺應(yīng)該是點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到中點(diǎn)的時(shí)候，此時(shí)F點(diǎn)是CD的中點(diǎn).

筆者：為什么當(dāng)E、F為各邊的中點(diǎn)時(shí)，EF最?。慨?dāng)E為BC的中點(diǎn)時(shí)，F(xiàn)是否也為CD的中點(diǎn)？

這些問題一下子把該生難住了.

一道難度系數(shù)接近0.95的填空題，很容易被教師忽視.不再深入挖掘答對(duì)的習(xí)題是當(dāng)下教學(xué)中普遍存在的問題.為了給學(xué)生更充足的時(shí)間，我將此簡(jiǎn)答題作為周末家庭作業(yè)，以期待更多更好的解答.

經(jīng)歷過(guò)這事以后，我開始反思自己的教學(xué)與解題.有很多得分率不低的題，作為教師的我們都想當(dāng)然覺得學(xué)生已經(jīng)掌握了，并且能上升到推理分析的角度完整解答，其實(shí)他們只是停留在主觀臆測(cè)的層次.學(xué)生是否窮其源，謀其法，需要我們教師用“窮源競(jìng)流”加以引導(dǎo)，下面以一道幾何題為例.

二、問題的提出

有這樣一道考題：

試題（2017新昌期末卷）如圖1，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2，點(diǎn)E、F分別在BC和CD上，∠EAF=45°，則EF的最小值是_______.

圖1

三、競(jìng)流——解法欣賞

一部分學(xué)生看到這道題后采用直觀想象的方法：在∠EAF不變的情況下，根據(jù)主觀判斷，E點(diǎn)從點(diǎn)B往點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，EF經(jīng)歷由大到小，再由小到大的過(guò)程，那么E、F關(guān)于直線AC對(duì)稱時(shí)EF最短.即E、F分別為BC、CD的中點(diǎn)時(shí)，EF最小.其中有小部分學(xué)生脫離宏觀分析，直接猜測(cè)E、F為BC的中點(diǎn)時(shí)，EF最小.（此法記為直觀想象法，記為解法1）

在學(xué)習(xí)“旋轉(zhuǎn)”一章后，有學(xué)生結(jié)合旋轉(zhuǎn)的基本要素觀察圖形.這是一個(gè)正方形背景下的問題，想到將△ABE繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)至△ADE′，如圖2.將一些變化分散的量集中到Rt△ECF中，利用勾股定理得到這是絕大部分學(xué)生反饋的周末作業(yè)，對(duì)于如何處理這個(gè)方程，很多學(xué)生束手無(wú)策.

圖2

為什么用Δ法可以求得y的最值呢？有很多學(xué)生提出質(zhì)疑.經(jīng)過(guò)一些時(shí)間的討論后，有學(xué)生給出了解釋，如圖3、圖4.

此時(shí)拋物線y1=（x+2）［x-（t+2）］必與y2=-8相交.

該生利用函數(shù)圖像解釋了參數(shù)y的最值問題，很直觀，易于接受.此類方法是從方程的角度引入未知量x，借勾股定理建立方程，再結(jié)合二次函數(shù)與一元二次方程所學(xué)內(nèi)容，把用函數(shù)圖像解決方程問題演繹得淋漓盡致，同時(shí)把Δ法解釋得很完美，我們著實(shí)為善于思考的學(xué)生拍手叫絕.（不妨記該法為解法2）

圖5

圖6

筆者歸納：大家從最初的主觀想象（猜測(cè)）到方程建模，函數(shù)圖像的巧妙解析，從直觀走向理性，從微觀走向宏觀.那么，能否從函數(shù)角度直接加以解決呢？經(jīng)過(guò)筆者提示后，學(xué)生自然引入變量x與y，得函數(shù)關(guān)系式可惜此函數(shù)是初中階段沒有研究過(guò)的一類新函數(shù)，無(wú)論從表達(dá)式還是函數(shù)圖像都很難得到它的函數(shù)值分布情況.故從函數(shù)角度研究其最小值是難以實(shí)現(xiàn)的.但是學(xué)過(guò)幾何畫板的學(xué)生還是繪制了草圖（如圖5）.從圖像中不難看出，當(dāng)x近似取0.84時(shí)，y最小，約為1.61（如圖6）.盡管利用畫板可以得到圖像，但是難以精確，更何況平時(shí)沒有條件使用.

至此，山重水復(fù)疑無(wú)路.筆者回顧解法2圖形變換過(guò)程中有一個(gè)不變的量S△AEF=S△ABE+S△ADF，即 S△AEF=S△AE′F能否借助面積不變量分析法與算兩次來(lái)實(shí)現(xiàn)呢？如圖7，過(guò)點(diǎn)A作AB′⊥EF于點(diǎn)B′，交EF的平行線CG于點(diǎn)G，過(guò)C點(diǎn)作CC′⊥EF于點(diǎn)C′，設(shè)CC′=x，則AG=2+x，連接AC.由此可知

圖7

要使得EF最小，只要x最大.結(jié)合圖形可知，AG≤AC，即

除了面積的倍數(shù)關(guān)系，很巧合的是題干中給我們的兩個(gè)已知角也成倍數(shù)關(guān)系.從角度的倍數(shù)關(guān)系中是否可以再做做文章？在完成九上“圓”一章中“圓心角與圓周角”后，有學(xué)生提出這樣的做法：因?yàn)椤螮AF=45°不變，聯(lián)想到圓中的圓周角，如圖8，作△AEF的外接圓圓O，連接AO、EO、FO，作EF的中點(diǎn)M，連接OM、CM.易得OM⊥EF，CM=EM=MF.因?yàn)椤螮AF=45°，所以∠EOF=90°.設(shè)圓的半徑為r，所以所以由圖可知，A、O、M、C四點(diǎn)共線，即時(shí)，r最小，此時(shí)則EF=也最小.（此法記為解法4）

圖8

精彩的討論交流完畢，有一位學(xué)生聯(lián)想到曾經(jīng)遇到的一道世界團(tuán)體錦標(biāo)賽試題.

（世界團(tuán)體錦標(biāo)賽試題）如圖1，點(diǎn)E和F分別是正方形ABCD中，BC邊和CD邊上的點(diǎn)，且∠EAF=45°，求的最小值.

往常覺得很難的問題，如今變得簡(jiǎn)單了.此題解法此處不再贅述.至于新昌期末卷、團(tuán)體錦標(biāo)賽試題孰源孰流無(wú)從考證，抑或是一種巧合，經(jīng)歷這場(chǎng)討論后，學(xué)生收獲了這樣的感受：難題無(wú)非是簡(jiǎn)單問題的疊加，只要窮源競(jìng)流多歸納，再難的問題也可以輕松解決.

四、解后反思

1.構(gòu)造模型巧轉(zhuǎn)化

解法3借助旋轉(zhuǎn)知識(shí)，構(gòu)造一對(duì)全等三角形，得到面積相等.把EF最小問題轉(zhuǎn)化為線段AG最大問題，在解題過(guò)程中深切感受到面積法數(shù)形兼?zhèn)?，能把代?shù)、方程中不變量分析法、算兩次等思想方法融為一體.這種技法其實(shí)源于教材.“表示相等關(guān)系的式子叫等式”，這是教材中普通的話語(yǔ)，表現(xiàn)在數(shù)量上，我們通常要從不同的角度算兩次，才能得到好的結(jié)果，人教版八下“勾股定理”的證明就是這種思想的美妙呈現(xiàn).解法4是構(gòu)造一個(gè)外接圓，把EF最小問題轉(zhuǎn)化為折線段最短問題，即兩點(diǎn)之間線段最短問題.此題的隱圓使用得非常漂亮.可以釋放∠EAF=45°這個(gè)特殊的條件，只要0°＜∠EAF＜90°都可以通過(guò)此法解決.

當(dāng)然，我們也可以通過(guò)構(gòu)造方程模型、函數(shù)模型加以解決，只是主元法與新函數(shù)的研究貌似有點(diǎn)兒超綱，但是還是源于教材的.

2.數(shù)形結(jié)合妙解析

幾何問題代數(shù)化就是數(shù)形結(jié)合最好的體現(xiàn)，無(wú)論是方程還是函數(shù)，都是代數(shù)化的表現(xiàn)形式，而參數(shù)方程最值問題（Δ法）處理過(guò)程中又離不開函數(shù)及其圖像的支撐，華羅庚先生說(shuō)得好“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形缺數(shù)時(shí)難入微”.解法1中暴露了“難入微”的尷尬.

3.宏觀把控憶舊知

波利亞在《怎樣解題》中指出：當(dāng)問題比較困難時(shí)，我們可能很有必要進(jìn)一步把問題再分解成幾部分，并研究其更細(xì)微的末節(jié).所以研究幾何圖形，一個(gè)基本方法就是教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生建立一個(gè)完整的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，讓學(xué)生的思維游走在一張四通八達(dá)的網(wǎng)上，教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生窮源競(jìng)流，相互交流碰撞出思維的火花，歸納出方法網(wǎng)，只有這樣，解題的思維才能找到著力點(diǎn)，思維開闊，游刃有余.解得一法后歸納其法才能演繹出更多更好的問題解決之法.