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        Hilbert空間的張量積的連續(xù)性

        2019-05-22 02:56:54邢美麗
        關(guān)鍵詞:張量積內(nèi)積界線

        邢美麗

        (中國海洋大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院, 山東 青島 266071)

        歸納極限在研究空間性質(zhì)方面有廣泛的作用. 2000年, 紀(jì)培勝[1]中探討了算子空間的定向極限和逆極限并定義了算子空間的Haagerup張量積, 然后證明了Hilbert列空間的無限Haagerup張量積與Hilbert空間的無限張量積是相容的. 2002年, Ryan[2]介紹了巴拿赫空間的張量積并給出了不同的范數(shù). 2018年, Janson Antony[3]研究了算子空間的歸納極限與算子空間的張量積. 在已有文獻(xiàn)的基礎(chǔ)上, 我們研究了內(nèi)積空間的歸納極限的概念及其關(guān)于張量積的連續(xù)性, 這些探索有助于理解C*-代數(shù)的逼近與擾動理論.

        1 預(yù)備知識

        定義1[4]若H,K,H′,K′為向量線性空間. 如果μ:H→H′,ν:K→K′, 則存在唯一的映射μ?ν:H?K→H′?K′, 使得對任取x∈H,y∈K均有

        (μ?ν)(x?y)=μ(x)?ν(y).

        定義2[4]設(shè)H,K為Hilbert空間, 則在H與K的代數(shù)張量積HΘK上可定義內(nèi)積:

        其中xi,xj∈H,yi,yj∈K, 則HΘK構(gòu)成內(nèi)積空間, 完備化記為H?K.

        2 內(nèi)積空間的歸納極限的定義

        1)對任意的n∈N, 有g(shù)n,n=1Hn;

        2)對于任意的n≤m≤k, 有g(shù)km°gmn=gkn;

        則稱{Hn,gmn}為內(nèi)積空間的一個正向系.

        1)對于任意的n≤m, 有φn=φm°gmn, 即圖1可交換;

        圖1 可交換,φn=φm°gmn

        圖2 可交換,ψn=g°φn

        定理1 若內(nèi)積空間的正向系{Hn,gmn}的歸納極限存在, 則歸納極限在酉等價意義下唯一.

        證明: 設(shè)(H,φn)和(K,μn)均為正向系{Hn,gmn}的歸納極限, 則對任意的n≤m有:φn=φm°gmn,μn=μm°gmn.

        由歸納極限的定義, 存在范數(shù)小于等于1的有界線性算子g:H→K. 同理, 存在范數(shù)小于等于1的有界線性算子f:K→H, 再由唯一性可以得到f°g=1H, 類似的可以得到g°f=1K, 這就證明了g為滿射. 任取x∈H, 有

        即g為等距的滿射. 因此, 歸納極限在酉等價意義下唯一.

        以下給出歸納極限的具體構(gòu)造:

        設(shè){Hn}為一列內(nèi)積空間. 令

        設(shè){Hn,gmn}為內(nèi)積空間的一個正向系. 令

        任取{xn}∈H0, 存在正整數(shù)N, 當(dāng)k>N時,

        證明1)任給m≥n及x∈Hn, 則有:

        φn(x)-φm°gmn(x)=π(νn(x)-(νm°gmn)(x))=0.

        因此φn=φm°gmn. 因為?x∈Hn, 都有φn(x)=φn+1°gn+1,n(x), 所以有

        vN+1(xN+1)=(0,…,0,xN+1,gN+2,N+1(xN+1),…).

        2) 由

        令ε→0, 我們可以得到ψn(x)=ψm(y). 這樣我們就可以定義一個映射:

        由上可知g的定義合理. 下證g為有界線性算子,

        先證g為線性的: 任取α,β∈C,

        g(αφn(x)+βφn(y))=ψn(αx+βy)=αψn(x)+βψn(y)=αg(φn(x))+βg(φn(y)).

        再證g為有界的: 任取k為整數(shù), 則有

        因此,

        3 Hilbert空間的張量積關(guān)于歸納極限的連續(xù)性

        命題1 若{Hn,fmn}和{Kn,gmn}分別為Hilbert空間的正向系, 則{Hn?Kn,fmn?gmn}為Hilbert空間的正向系.

        證明1)fnn?gnn=1Hn?Kn;

        2)對任意的n

        (fkm?gkm)(fmn?gmn)=(fkmfmn)?(gkmgmn)=fkn?gkn;

        因此{(lán)Hn?Kn,fmn?gmn}為正向系.

        定義5 設(shè)(H,μn)為正向系{Hn,fmn}的任一歸納極限, (K,νn)為正向系{Kn,gmn}的任一歸納極限, 若(H?K,φn)為正向系{Hn?Kn,fmn?gmn}的歸納極限, 則稱Hilbert空間的張量積關(guān)于歸納極限是連續(xù)性的.

        定理3 設(shè)(H,μn)為正向系{Hn,fmn}的任一歸納極限, (K,νn)為正向系{Kn,gmn}的任一歸納極限, 則(H?K,φn)為正向系{Hn?Kn,fmn?gmn}的歸納極限.

        證明設(shè)(H,μn)為正向系{Hn,fmn}的歸納極限, (K,νn)為正向系{Kn,gmn}的歸納極限,則可以定義有界線性映射:

        φn:Hn?Kn→H?K;

        其中k≥i,j,xk=fki(xi),yk=gkj(yj). 下證h定義合理:

        設(shè)k1>k2≥i,j, 則

        ψk2(xk2?yk2)=ψk1(fk1k2?gk1k2)(xk2?yk2)=ψk1(xk1?yk1).

        則像的取值與k無關(guān).

        要證

        φn+k(xn+k)=ψn+k(xn+k?yn+k),n≥0, 其中xn+k=fn+k,k(xk),yn+k=gn+k,k(yk).

        顯然,φn+k:Hn+k→L是有界線性算子, 且對任意的n≤m有

        φm+kfm+k,n+k(xn+k)=ψm+k(xm+k?ym+k)=ψm+k(fm+k,n+k?gm+k,n+k)(xn+k?yn+k)=ψn+k(xn+k?yn+k)=
        φn+k(xn+k).

        由歸納極限的定義, 存在唯一的有界線性算子fνj(yj):H→L使得φn+k=fνj(yj)°μn+k. 因此,

        固定xi,x=μi(xi), 設(shè)(x,νj1(yj1))=(x,νj2(yj2)), 其中i1≥i2, 設(shè)k≥i,j1,j2,

        fy1(x)+fy2(x)=h(x,y1)+h(x,y2)=h(x,y1+y2)=fy1+y2(x).

        則任取x∈H, 由fy1,fy2,fy1+y2的連續(xù)性知,

        fy1(x)+fy2(x)=fy1+y2(x).

        h(x,y1)=fy1(x)→fy2(x)=h(x,y2),

        這樣h關(guān)于x,y分別連續(xù).令gx(y)=h(x,y),fy(x)=h(x,y), 則任取x∈H, 存在Cx, 使得gx(y)≤Cxy, 固定x, 任取y≤1,

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