闕素琴，林艷芳，滕忠銘

（福建農(nóng)林大學(xué) 計(jì)算機(jī)與信息學(xué)院， 福建 福州 350002）

灰色系統(tǒng)理論是1982年由我國學(xué)者鄧聚龍教授創(chuàng)立的（文獻(xiàn)[1]），在研究既含已知信息又含未知信息的灰色系統(tǒng)的變化規(guī)律方面，有著廣泛的應(yīng)用前景。從灰色系統(tǒng)理論的觀點(diǎn)出發(fā)，森林生態(tài)系統(tǒng)是典型的灰色系統(tǒng)，以往采用經(jīng)典數(shù)學(xué)與數(shù)理統(tǒng)計(jì)的方法研究森林生態(tài)系統(tǒng)，要受大樣本參數(shù)含量及獨(dú)立、線性、正態(tài)等方面條件的限制，很難達(dá)到要求，因而失去了實(shí)際意義，應(yīng)用灰色理論則能在信息量較少的情況下，充分利用白色信息建立模式，研究系統(tǒng)的功能，結(jié)構(gòu)及動態(tài)變化。用灰色參數(shù)，灰色方程，灰色矩陣來描述灰色系統(tǒng)的灰色過程，會更符合客觀實(shí)際的要求。本文擬就日本落葉松材積生長量進(jìn)行灰色動態(tài)模擬的探討?；疑A(yù)測模型主要用于時間短、數(shù)據(jù)資料少、波動不大的預(yù)測問題，但對波動性較大的數(shù)據(jù)列擬合較差，精度較低；與GM（1,1）模型相比，分?jǐn)?shù)階GM(1,2)模型在輸入端引入與主序列具有強(qiáng)關(guān)聯(lián)特性的參考序列，能夠有效解決波動性變化序列預(yù)測問題[2]。采用分?jǐn)?shù)階GM（1,2）模型提高了對日本落葉松材積的預(yù)測精度。

1 林場自然概況與數(shù)據(jù)來源

1.1 林場概況

湖北省建始縣國瑩長嶺崗林場，林場中心位置北緯30°48′、東徑110°03′。屬北亞熱帶氣候。場內(nèi)地勢較高，海拔1 600～1 900 m，相對高差200 m，平均坡度25°。林場年平均氣溫11.7 ℃，極端最高氣溫29 ℃，極端最低氣溫-17.2 ℃，無霜期203 d，年降水量1 884.3 mm，相對濕度85%，土壤為山地棕壤，成土母質(zhì)系石灰?guī)r、硅質(zhì)頁巖等，土層厚度80 cm 左右，質(zhì)地中壤至輕壤，土壤有機(jī)質(zhì)含量較高，氮磷含量較低。森林植被豐富,主要鄉(xiāng)土喬木樹種有水冬瓜、擦木、漆樹、鵝掌揪、樺木、錐栗等。主要引進(jìn)樹種有日本落葉松、華山松等。林場立地較好，差異不大，自然條件優(yōu)越，并且日本落葉松速豐產(chǎn)林，充分發(fā)揮了林地生產(chǎn)力，提高了單位面積產(chǎn)材量，能不斷滿足社會需求，解緩木材供求矛盾。

1.2 研究數(shù)據(jù)來源

選取長嶺崗林場日本落葉松的平均材積作為分?jǐn)?shù)階GM（1,2）模型的系統(tǒng)特征序列，通過計(jì)算材積與平均胸徑、平均樹高、D2H 的關(guān)聯(lián)度分別為0.66、0.67、0.78，并選取關(guān)聯(lián)度最高的作為相關(guān)因素序列，為了便于比較，所有數(shù)據(jù)來源于參考文獻(xiàn)[2](見表1)。

表1 日本落葉松平均胸徑、平均樹高、D2H 平均材積原始序列

2 研究方法

2.1 分?jǐn)?shù)階灰色累加GM（1,2）模型的原理

定義1[1]設(shè)原始非負(fù)序列，為系統(tǒng)特征數(shù)列序列為相關(guān)因素序列。

定義2[1]設(shè)如定義1所示，是的分?jǐn)?shù)階累加生成序列的r 階緊鄰生成均值序列，其中

稱方程

為r階累加灰色GM（1,2）模型。

其中Y,B 分別為

定義3[1]參數(shù)如定義2 所述，則稱

為r 階累加灰色GM（1,2）模型x1（r）（k）+x2（r）（k-1）+az1（r）（k）=bx2（r）的白化微分方程。

將白化微分方程的時間序列響應(yīng)（2）式進(jìn)行還原得到

這里Γ（r+1）=r！，Γ（i+1）=i！，Γ（r-i+1）=（r-i）！。

2.2 分?jǐn)?shù)階GM（1,2）模型的殘差檢驗(yàn)

殘差檢驗(yàn)是預(yù)測檢驗(yàn)的常用方式， 它是實(shí)測值和預(yù)測值之間的誤差進(jìn)行的一種逐點(diǎn)檢驗(yàn)的方法，通過個點(diǎn)的相對殘差值，可以計(jì)算出預(yù)測模型的精度P。令絕對誤差序列為：

相對誤差序列為：

平均相對殘差為：

精度為：P=1-Δ。

若P≥0.8，模型通過殘差檢驗(yàn)；若P＜0.8，則須先修正模型使之滿足對精度的要求才可以進(jìn)行預(yù)測；精度越高，模型擬合得越好。

3 結(jié)果分析

為了驗(yàn)證本文模型的有效性，根據(jù)文獻(xiàn)[2]的數(shù)據(jù)以日本落葉松的平均材積作為主要因素，以D2H 作為相關(guān)因素建立分?jǐn)?shù)階GM（1,2）模型，并用本文模型與文獻(xiàn)[2]的傳統(tǒng)GM（1,2）模型的預(yù)測值、實(shí)測值進(jìn)行對比，說明本文模型極大地提高了預(yù)測精度。

用文獻(xiàn)[2]中的數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)測，利用MATLAB 軟件建立分?jǐn)?shù)階GM（1,2）模型，求得模型的最優(yōu)階數(shù)r=0.26，對(材積原始序列)和（D2H 原始序列）作為r=0.26 階灰色累加（r-AGO）得：

于是有

所以就有a=2.652 1，b=0.944 8 得到估計(jì)模型為：

可得分?jǐn)?shù)階GM（1,2）模型的時間響應(yīng)式為：

根據(jù)（3）式作累減還原計(jì)算得原始數(shù)據(jù)的預(yù)測值為：

將文獻(xiàn)[1]的預(yù)測值與本文模型求出的預(yù)測值進(jìn)行對比（見表2）根據(jù)表2數(shù)據(jù)，繪制各模型擬合曲線如圖1所示，各模型殘差圖如圖2所示。

表2 兩種樹木材積預(yù)測模型的殘差及精度比較

圖1 原始數(shù)據(jù)與預(yù)測值比較

圖2 分?jǐn)?shù)階GM（1,2）模型和GM（1,2）模型殘差值的比較

由表2、圖1與圖2可以得出如下結(jié)論：

根據(jù)日本落葉松階齡分別為26、28、30、32、34 的材積生長變化測量數(shù)據(jù)建立的分?jǐn)?shù)階GM（1,2）模型，在對材積指標(biāo)的還原檢驗(yàn)中，其模型計(jì)算數(shù)據(jù)與實(shí)際值非常接近，模型的精度滿足P≥9，模型通過殘差檢驗(yàn)。由圖2可以看出，本文提出的分?jǐn)?shù)階GM（1,2）模型的殘差值與傳統(tǒng)的GM（1,2）模型相比，本文的模型波動小的多，相對穩(wěn)定；由表2和圖1的結(jié)果表明，雖然傳統(tǒng)的GM（1,2）模型的精度也通過殘差檢驗(yàn)，但分?jǐn)?shù)階GM（1,2）模型的變化趨勢與原始數(shù)據(jù)更接近，預(yù)測值與實(shí)測值更符合，擬合效果更好，精度達(dá)到98.005%。由表2可以看出，分?jǐn)?shù)階GM（1,2）模型將傳統(tǒng)的GM（1,2）模型擬合的平均相對誤差由7.3%降至1.905%，極大提高了模型的精度，可適用今后在對日本落葉松平均材積值的預(yù)測。

本文是通過MATLAB 軟件， 以樹木平均材積數(shù)據(jù)作為主要因素序列數(shù)據(jù)和關(guān)聯(lián)度最高序列D2H 作為相關(guān)因素序列的數(shù)據(jù)構(gòu)建分?jǐn)?shù)階灰色累加GM (1,2) 模型， 得到預(yù)測模型為通過尋找在0 階與1 階之間的最優(yōu)r=0.26,從而使得模型的精度得到大幅度提高，極大地提高了預(yù)測的準(zhǔn)確性。從而節(jié)約了林場在人力、財(cái)力、物力方面的支出。

本文建立分?jǐn)?shù)階灰色累加GM（1，2）模型，是基于灰色理論對數(shù)據(jù)要求少，時間短的特點(diǎn)，并選取關(guān)聯(lián)度最高序列D2H 作為相關(guān)因素序列，對樹木材積在無損傷、不伐樹或少伐樹基礎(chǔ)上進(jìn)行預(yù)測，而且預(yù)測結(jié)果非常接近真實(shí)值，預(yù)測精度相當(dāng)高；可以相對準(zhǔn)確地預(yù)測未來幾年的林木生長狀況，豐富對林木的動態(tài)監(jiān)測。另外，本文是根據(jù)日本落葉松樹木材積階齡為26～34 中每隔一年的數(shù)據(jù)進(jìn)行建模的，預(yù)測今后5～10年內(nèi)的材積生長可以達(dá)到一個比較合理的預(yù)測值。當(dāng)數(shù)據(jù)信息較多時，可以采用新陳代謝理論或建立多因子灰色模型，采用增加權(quán)重的辦法來提高數(shù)據(jù)序列的的精確度。

4 結(jié)論

由于灰色預(yù)測法是一種能夠?qū)o序離散的原始序列轉(zhuǎn)化為有序序列， 得到精度較高的預(yù)測結(jié)果，而且對數(shù)據(jù)要求少，本文建立分?jǐn)?shù)階灰色累加GM（1，2）模型，對日本落葉平均材積的進(jìn)行預(yù)測，以減少野外的工作量，節(jié)約成本。從預(yù)測結(jié)果可以看出，平均材積與實(shí)際平均材積相比，其平均相對誤差在2%以內(nèi)，預(yù)測效果較好。傳統(tǒng)的GM（1,2）模型和分?jǐn)?shù)階GM（1，2）模型的精度都符合建模要求，但分?jǐn)?shù)階GM（1，2）模型的精度高于傳統(tǒng)的GM（1,2）模型。分?jǐn)?shù)階GM（1，2）模型拓寬了灰色理論在對樹木材積研究的應(yīng)用范圍，為樹木材積的預(yù)測提供了一種新的方法。