管 強(qiáng)，劉桂紅，林婷婷

（1．三明學(xué)院 信息工程學(xué)院， 福建 三明，365004；2 三明學(xué)院 人事處， 福建 三明，365004）

按照一定的設(shè)計(jì)要求和工藝方案所生產(chǎn)出來(lái)的合格產(chǎn)品，在規(guī)定的工作條件下均具有某種規(guī)定的功能，在可靠性理論中，將產(chǎn)品喪失所規(guī)定功能的現(xiàn)象稱為失效[1]。針對(duì)退化型失效產(chǎn)品使用到一定的時(shí)間，都會(huì)慢慢地降低其功能但不完全喪失[2]，傳統(tǒng)理論研究將產(chǎn)品失效定義為其性能退化[3]至低于或高于一個(gè)臨界值（退化失效水平），如燈泡等元器件電性能衰退[4]、機(jī)械元件磨損、輪胎磨損、藥品效用降低，這種定義雖然簡(jiǎn)單合理，但實(shí)際上不能完全描述產(chǎn)品退化失效問(wèn)題。如輪胎磨損，不能簡(jiǎn)單的規(guī)定輪胎磨損高于到一個(gè)指定值就失效，畢竟輪胎是否失效在一定程度上取決于使用者的心理承受力， 膽小的使用者認(rèn)為輪胎磨損至D1值就失效， 而膽大的使用者認(rèn)為輪胎磨損至D2值才失效，一般的使用者則認(rèn)為輪胎磨損至[D1，D2]中的一個(gè)值時(shí)失效。此時(shí)規(guī)定當(dāng)輪胎的磨損達(dá)到在區(qū)間[D1，D2]中的一個(gè)值時(shí)認(rèn)為輪胎失效就比較合理。針對(duì)單點(diǎn)型退化，近幾十年來(lái)已有大量文獻(xiàn)和學(xué)者對(duì)退化數(shù)據(jù)[5]提出了許多統(tǒng)計(jì)分析方法并取得了豐碩的研究成果。管強(qiáng)，湯銀才[6]在傳統(tǒng)單點(diǎn)退化的思想上提出區(qū)間退化模型， 并討論了退化軌道是線性時(shí)的區(qū)間退化模型問(wèn)題。本文則主要討論退化軌道是非線性時(shí)的區(qū)間退化模型問(wèn)題， 并利用數(shù)值積分[7]分析區(qū)間退化模型的壽命分布，將區(qū)間退化模型與傳統(tǒng)單點(diǎn)模型進(jìn)行對(duì)比，最后通過(guò)實(shí)例分析體現(xiàn)區(qū)間退化的合理有效性。

1 退化數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)模型

1.1 退化軌道函數(shù)

假設(shè)一個(gè)產(chǎn)品的退化量不僅是時(shí)間的單調(diào)函數(shù)，而且依賴于一些參數(shù)α 與β，這樣的函數(shù)稱為退化軌道函數(shù)[7]，記為

其中參數(shù)可分為兩類：一類是固定參數(shù)（向量）α，它對(duì)總體中所有產(chǎn)品都是不變的；另一類是隨機(jī)參數(shù)（向量）β，它隨著產(chǎn)品不同而隨機(jī)變化，一般假定β 服從某一分布fβ（θ），θ 是分布中的參數(shù)（向量）。

1.2 區(qū)間型退化失效分布函數(shù)

傳統(tǒng)的失效標(biāo)準(zhǔn)是當(dāng)產(chǎn)品的性能退化量超過(guò)或少于一個(gè)確定單點(diǎn)值時(shí)，即產(chǎn)品失效。然而這種單點(diǎn)型失效標(biāo)準(zhǔn)在現(xiàn)實(shí)應(yīng)用中有時(shí)未必妥當(dāng)，在這里對(duì)單點(diǎn)型失效標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行修改，提出區(qū)間型退化失效標(biāo)準(zhǔn)，即當(dāng)產(chǎn)品的性能退化量超過(guò)或少于一個(gè)區(qū)間型隨機(jī)變量時(shí)產(chǎn)品失效。若產(chǎn)品壽命為T，退化量y（t，α，β）是增函數(shù)時(shí)，事件“產(chǎn)品在t 時(shí)刻之前失效”等價(jià)于“其退化量y（t，α，β）在t 時(shí)刻之前就達(dá)到失效區(qū)間水平D”，即“T≤t”等價(jià)于“y（t，α，β）≥D”。類似的，退化量y（t）是減函數(shù)時(shí)，“T≥t”等價(jià)于“y（t，α，β）≤D”，故產(chǎn)品壽命的分布函數(shù)為

其中α 是確定參數(shù)（向量），β 是隨機(jī)參數(shù)（向量），D 是介于區(qū)間[D1,D2]的隨機(jī)變量。產(chǎn)品壽命的分布依賴于β 的分布和D 的分布，即依賴于軌道參數(shù)β，與失效區(qū)間水平D。

2 非線性-區(qū)間型退化模型壽命分布函數(shù)

2.1 兩個(gè)參數(shù)的區(qū)間退化模型

設(shè)某產(chǎn)品的實(shí)際退化軌道是時(shí)間t 的非線性增函數(shù)，即

其中α 是固定參數(shù)，表示所有的試驗(yàn)產(chǎn)品在時(shí)刻0 時(shí)的初始退化量，而β 是隨機(jī)參數(shù)，它是由產(chǎn)品間的差異引起的，表示退化率[9]。

考慮1 中β 與失效區(qū)間水平D 在不同情況下的壽命分布函數(shù)

定理1：設(shè)某產(chǎn)品的實(shí)際退化軌道是時(shí)間t 的非線性增函數(shù)，即

其中α 是固定參數(shù)，β 是隨機(jī)參數(shù)，D 是失效區(qū)間水平，當(dāng)β 服從正態(tài)N（μ，σ2），D 服從均勻分布U[D1,D2]時(shí)，T 壽命分布函數(shù)為

證明：

定理2設(shè)某產(chǎn)品的實(shí)際退化軌道是時(shí)間t 的非線性增函數(shù)，即

其中α 是固定參數(shù)，β 是隨機(jī)參數(shù)，D 是失效區(qū)間水平，當(dāng)β 服從對(duì)數(shù)正態(tài)分布LN（μ，σ2），D 服從U[D1,D2]時(shí)，T 壽命分布函數(shù)為

證明：

定理3設(shè)某產(chǎn)品的實(shí)際退化軌道是時(shí)間t 的非線性增函數(shù)，即

其中α 是固定參數(shù)；β 是隨機(jī)參數(shù)；D 是失效區(qū)間水平。當(dāng)β 服從威布爾分布Wei（m，η），D 服從U[D1,D2]時(shí)，T 壽命分布函數(shù)為

證明：

定理4設(shè)某產(chǎn)品的實(shí)際退化軌道是時(shí)間t 的非線性增函數(shù)，即

其中α 是固定參數(shù)，β 是隨機(jī)參數(shù)，D 是失效區(qū)間水平，當(dāng)β 服從伽馬分布Γ（a，b），D 服從U[D1,D2]時(shí)，T 壽命分布函數(shù)為

證明：

定理5設(shè)某產(chǎn)品的實(shí)際退化軌道是時(shí)間t 的非線性增函數(shù)，即

其中α 是固定參數(shù)，β 是隨機(jī)參數(shù)，D 是失效區(qū)間水平，當(dāng)β 服從均勻分布U（β1，β2），D 服從U[D1,D2]時(shí)，T 壽命分布函數(shù)為

定理6設(shè)某產(chǎn)品的實(shí)際退化軌道是時(shí)間t 的非線性增函數(shù)，即

其中α 是固定參數(shù)，β 是隨機(jī)參數(shù)，D 是失效區(qū)間水平， 當(dāng)β 服從指數(shù)分布EXP （λ1），D 服從[D1,D2]時(shí)，截?cái)嘀笖?shù)分布EXP（λ2），T 壽命分布函數(shù)為

證明：

定理7設(shè)某產(chǎn)品的實(shí)際退化軌道是時(shí)間t 的非線性增函數(shù)，即

其中α 是固定參數(shù)，β 是隨機(jī)參數(shù)，D 是失效區(qū)間水平，當(dāng)β 服從正態(tài)分布N（μ1，δ21），D 服從[D1,D2]時(shí)，截?cái)嘀笖?shù)分布N（μ2，δ22），T 壽命分布函數(shù)為

證明：

定理8設(shè)某產(chǎn)品的實(shí)際退化軌道是時(shí)間t 的非線性增函數(shù)，即

其中α 是固定參數(shù)，β 是隨機(jī)參數(shù)，D 是失效區(qū)間水平，當(dāng)β 服從對(duì)數(shù)正態(tài)分布LN（μ1，δ21），D 服從[D1,D2]時(shí)，截?cái)嘀笖?shù)分布N（μ2，δ22），T 壽命分布函數(shù)為

證明：

定理9設(shè)某產(chǎn)品的實(shí)際退化軌道是時(shí)間t 的非線性增函數(shù)，即

其中α 是固定參數(shù)，β 是隨機(jī)參數(shù)，D 是失效區(qū)間水平，當(dāng)β 服從威布爾分布Wei（m，η），D 服從[D1,D2]時(shí)，截?cái)嗾龖B(tài)分布N（μ2，δ22），T 壽命分布函數(shù)為

證明：

定理10設(shè)某產(chǎn)品的實(shí)際退化軌道是時(shí)間t 的非線性增函數(shù)，即

其中α 是固定參數(shù)，β 是隨機(jī)參數(shù)，D 是失效區(qū)間水平，當(dāng)β 服從伽馬分布Γ（a，λ），D 服從[D1,D2]時(shí)，截?cái)嗾龖B(tài)分布N（μ2，δ22），T 壽命分布函數(shù)為

證明：

其中Fβ（x）是伽馬分布Γ（a，λ）的分布函數(shù).

定理11設(shè)某產(chǎn)品的實(shí)際退化軌道是時(shí)間t 的非線性增函數(shù)，即

其中α 是固定參數(shù)，β 是隨機(jī)參數(shù)，D 是失效區(qū)間水平， 當(dāng)β 服從對(duì)數(shù)正態(tài)分布LN （μ1，δ21），D 服從[D1,D2]時(shí)，截?cái)嗾龖B(tài)分布N（μ2，δ22），T 壽命分布函數(shù)為

證明：

上面對(duì)常見(jiàn)11 種非線性區(qū)間退化模型進(jìn)行了討論，獲得了其對(duì)應(yīng)壽命分布，其中部分壽命分布函數(shù)沒(méi)有顯示表達(dá)式，其求解可以采用數(shù)值積分和蒙特卡羅積分求解。壽命分布求出后，就可以對(duì)產(chǎn)品壽命各種特征進(jìn)行推斷。

2.2 三個(gè)參數(shù)的區(qū)間退化模型

設(shè)某產(chǎn)品的實(shí)際退化軌道是時(shí)間的非線性增函數(shù)，即

其中α 是固定參數(shù)，表示所有的試驗(yàn)產(chǎn)品在時(shí)刻0 時(shí)的初始退化量，而β1是β2隨機(jī)參數(shù)，它是由產(chǎn)品間的差異[10]引起的，表示退化率。

定理12設(shè)某產(chǎn)品的實(shí)際退化軌道是時(shí)間t 的非線性增函數(shù)，即

其中α 是固定參數(shù)，當(dāng)β1服從正態(tài)N（μ1，σ21），β2服從正態(tài)N（μ1，σ22），D 服從U[D1,D2]時(shí)，T 壽命分布函數(shù)為

證明：

定理13設(shè)某產(chǎn)品的實(shí)際退化軌道是時(shí)間t 的非線性增函數(shù)，即

其中α 是固定參數(shù)，β 是隨機(jī)參數(shù)，D 是失效區(qū)間水平，β1服從正態(tài)N （μ1，σ21），β2服從對(duì)數(shù)正態(tài)LN（μ1，σ22）D 服從U[D1,D2]時(shí)，T 壽命分布函數(shù)為

證明：

3 區(qū)間型退化模型壽命分布函數(shù)數(shù)值解

對(duì)于第2 節(jié)所求沒(méi)有顯示表達(dá)式的壽命分布函數(shù)[11]，可以采用蒙特卡羅積分[12]進(jìn)行。從第2 節(jié)第7～11 種情況發(fā)現(xiàn)這些沒(méi)有顯示表達(dá)式的壽命分布函數(shù)都具有如下形式積分

其中f（x）是服從區(qū)間U[D1,D2]上已知確實(shí)的某一個(gè)分布的密度函數(shù)，g（t，x）是已知確定的某一個(gè)二元函數(shù)。因此F（t）可以按如下步驟計(jì)算

1.對(duì)給定的t，從服從的分布匯總抽取N 個(gè)樣本(x1,x2，…，xN）

對(duì)于一般退化軌道2.1，和區(qū)間失效水平D，其壽命分布函數(shù)的蒙特卡羅解按如下步驟進(jìn)行：

1.根據(jù)退化數(shù)據(jù)，采用極大似然估計(jì)等方法估計(jì)出β 分布中參數(shù)的估計(jì)以及固定參數(shù)α 的估計(jì)；

2.由β的分布fβ（）分中產(chǎn)生一個(gè)樣本，把它帶入退化軌道同時(shí)區(qū)間失效水平D從區(qū)間[D1,D2]中按事先給定分布隨機(jī)產(chǎn)生一個(gè)失效水平，然后按計(jì)算首次達(dá)到的時(shí)間；

3.步驟2 重復(fù)N 次，譬如N=1 000 000，可得N 個(gè)首次達(dá)到的時(shí)間；

4 模擬例子

4.1 精確解例子

為了對(duì)比單點(diǎn)型退化與區(qū)間型退化壽命分布的關(guān)系，假定單點(diǎn)型中固定退化水平值是區(qū)間型退化水平區(qū)間中間值，如單點(diǎn)型失效水平取值為40，則區(qū)間型失效水平取[38,42]，[36,44]等，否則兩者不好對(duì)比，失去對(duì)比意義。下面我們根據(jù)第3 節(jié)給出的區(qū)間-非線性退化分布函數(shù)，分別畫(huà)出單點(diǎn)型和區(qū)間型分布函數(shù)圖。

1）假設(shè)第2 節(jié)第1 種情況（正態(tài)分布-均勻分布）線性模型中α=1，β～N（0.5，0.052）區(qū)間型退化D 服從均勻分布[38,42]和[36,44],單點(diǎn)型退化D=40。進(jìn)行模擬求解得單點(diǎn)型退化和區(qū)間型退化分布函數(shù)圖（見(jiàn)圖1）。

從圖1中可以看出區(qū)間退化失效分布與傳統(tǒng)單點(diǎn)型退化分布函數(shù)是有區(qū)別的，且在前半部分時(shí)間里區(qū)間失效分布函數(shù)值大于傳統(tǒng)單點(diǎn)型退化分布函數(shù)值，后半部分時(shí)間里則相反。隨著均勻分布區(qū)間接近于單點(diǎn)時(shí)，其分布函數(shù)趨于單點(diǎn)型退化分布函數(shù)。

2）假設(shè)第2 節(jié)第2 種情況（對(duì)數(shù)正態(tài)分布-均勻分布）線性模型中α=1，β～LN（0.5，0.052），區(qū)間型退化D 服從均勻分布[38,42][36,44],單點(diǎn)型退化D=40。求得它們分布函數(shù)圖（見(jiàn)圖2）。從圖2中，可以看出區(qū)間退化失效分布與傳統(tǒng)單點(diǎn)型退化分布函數(shù)有顯著區(qū)別，其他規(guī)律類似（正態(tài)分布-均勻分布）情況。

圖1 軌道正態(tài)分布-失效水平均勻分布線性模型下的分布函數(shù)

圖2 軌道對(duì)數(shù)正態(tài)分布-失效水平均勻分布線性模型下的分布函數(shù)

3） 假設(shè)第2 節(jié)第3 種情況 （威布爾分布-均勻分布） 線性模型中α=2，β 服從威布爾分布Wei（2,2），類似求得它們分布函數(shù)圖（見(jiàn)圖3）。從圖3中，可以看出區(qū)間退化失效分布與傳統(tǒng)單點(diǎn)型退化分布函數(shù)區(qū)別不明顯。

4）假設(shè)第3 節(jié)第4 種情況（威布爾分布-均勻分布）線性模型中α=1，β 服從伽馬分布Γ（6,12），類似求得它們分布函數(shù)圖（見(jiàn)圖4）。從圖4中，可以看出區(qū)間退化失效分布與傳統(tǒng)單點(diǎn)型退化分布函數(shù)區(qū)別不明顯。

圖3 軌道威布爾分布—失效水平均勻分布線性模型下分布函數(shù)

圖4 軌道伽馬分布—失效水平均勻分布線性模型下分布函數(shù)

5)假設(shè)第2 節(jié)第5 種情況（均勻分布-均勻分布）線性模型中α=1，β 服從均勻分布U[0.3，0.6)，類似求得它們分布函數(shù)圖（見(jiàn)圖5）。從圖5中，可以看出區(qū)間退化失效分布與傳統(tǒng)單點(diǎn)型退化分布函數(shù)區(qū)別明顯，其它規(guī)律類似（正態(tài)分布-均勻分布）情況。

6）假設(shè)第2 節(jié)第6 種情況（指數(shù)分布-指數(shù)分布）線性模型中α=1，β 服從指數(shù)分布EXP（2），失效水平D 服從截?cái)嘀笖?shù)分布EXP（2），類似求得它們分布函數(shù)圖（見(jiàn)圖6）。從圖6中，可以看出區(qū)間退化失效分布與傳統(tǒng)單點(diǎn)型退化分布函數(shù)區(qū)別明顯，其它規(guī)律類似（正態(tài)分布-均勻D 分布）情況。

圖5 軌道均勻分布-失效水平均勻分布線性模型下的分布函數(shù)

圖6 軌道指數(shù)分布-失效水平截?cái)嘀笖?shù)分布線性模型下的分布函數(shù)

4.2 數(shù)值解例子

下面給出第2 節(jié)中壽命分布函數(shù)沒(méi)有顯示表達(dá)式時(shí)的模擬情況

1）假設(shè)第2 節(jié)第7 種情況（正態(tài)分布-正態(tài)分布）線性模型中α=1，β～N（0.5,0.52）服從區(qū)間上截?cái)嗾龖B(tài)分布N（40,52）。求出壽命分布數(shù)值積分（見(jiàn)圖7）。從圖7中，可以看出區(qū)間退化失效分布與傳統(tǒng)單點(diǎn)型退化分布函數(shù)區(qū)別明顯，其他規(guī)律類似（正態(tài)分布-均勻分布）情況。

2）假設(shè)第2 節(jié)第8 種情況（對(duì)數(shù)正態(tài)分布-正態(tài)分布）線性模型中α=1，β～LN（0.8,0.052）失效水平D 服從區(qū)間上截?cái)嗾龖B(tài)分布N（40,52）。求出壽命分布數(shù)值積分（見(jiàn)圖8）。從圖8中，可以看出區(qū)間退化失效分布與傳統(tǒng)單點(diǎn)型退化分布函數(shù)區(qū)別明顯。

3）假設(shè)第2 節(jié)第9 種情況（威布爾分布-正態(tài)分布）線性模型中α=1，β 服從威布爾分布Wei（0.6,4），失效水平D 區(qū)間上截?cái)嗾龖B(tài)分布N（40,52）。利用蒙特卡羅積分求得其壽命分布（見(jiàn)圖9）。從圖9中，可以看出區(qū)間退化失效分布與傳統(tǒng)單點(diǎn)型退化分布函數(shù)區(qū)別不明顯。

4） 假設(shè)第2 節(jié)第10 種情況 （伽馬分布-正態(tài)分布） 線性模型中α=1，β 服從伽馬分布Γ（4,0.5），失效水平D 服從區(qū)間上截?cái)嗾龖B(tài)分布N（40,52）。利用蒙特卡羅積分求得壽命分布數(shù)值積分（見(jiàn)圖10）。從圖10 中，可以看出區(qū)間退化失效分布與傳統(tǒng)單點(diǎn)型退化分布函數(shù)區(qū)別不明顯。

5）假設(shè)第2 節(jié)第11 種情況（對(duì)數(shù)正態(tài)分布-對(duì)數(shù)正態(tài)分布） 線性模型中α=1，β服從對(duì)數(shù)正態(tài)分布LN（0.8,0.052），失效水平D 服從區(qū)間上截?cái)鄬?duì)數(shù)正態(tài)分布LN（3.7,1.32）。利用蒙特卡羅積分求得壽命分布數(shù)值積分（見(jiàn)圖11）。從圖11 中，可以看出區(qū)間退化失效分布與傳統(tǒng)單點(diǎn)型退化分布函數(shù)區(qū)別明顯。

圖7 軌道正態(tài)分布-失效水平截?cái)嗾龖B(tài)分布線性模型下的分布函數(shù)

圖8 軌道對(duì)數(shù)正態(tài)分布-失效水平截?cái)嗾龖B(tài)分布線性模型下的分布函數(shù)

圖9 軌道威布爾正態(tài)分布-失效水平截?cái)嗾龖B(tài)分布線性模型下的分布函數(shù)

圖10 軌道伽馬分布-失效水平截?cái)嗾龖B(tài)分布線性模型下的分布函數(shù)

圖11 軌道對(duì)數(shù)正態(tài)分布-失效水平截?cái)鄬?duì)數(shù)正態(tài)分布線性模型下的分布函數(shù)

5 結(jié)果和展望

本文針對(duì)非線性退化軌道情況，詳細(xì)討論和求解出五種情況下區(qū)間退化壽命分布函數(shù)，并利用蒙特卡羅數(shù)值積分法給出區(qū)間退化壽命分布函數(shù)無(wú)顯式時(shí)的求解步驟和方法。通過(guò)模擬分析對(duì)比了單點(diǎn)型退化和區(qū)間型退化壽命分布函數(shù)的關(guān)系。當(dāng)區(qū)間縮小至單點(diǎn)時(shí)，區(qū)間型退化壽命分布就接近于單點(diǎn)型退化壽命分布函數(shù)；當(dāng)區(qū)間對(duì)稱離開(kāi)單點(diǎn)時(shí)，區(qū)間型退化壽命分布與單點(diǎn)型退化壽命分布函數(shù)就有區(qū)別，其區(qū)別強(qiáng)度與退化軌道隨機(jī)參數(shù)分布息息相關(guān)。從模擬5 中情況結(jié)果中發(fā)現(xiàn)當(dāng)退化軌道隨機(jī)參數(shù)服從對(duì)數(shù)正態(tài)分布時(shí)區(qū)間型退化壽命分布與單點(diǎn)型退化壽命分布函數(shù)區(qū)別最明顯。因此在實(shí)際應(yīng)用中，當(dāng)失效機(jī)理不夠確定時(shí)，使用傳統(tǒng)單點(diǎn)型退化模型進(jìn)行推斷，就會(huì)產(chǎn)生較大誤差。

雖然本文給出了區(qū)間型退化分析一般的解決思路，但是對(duì)于不同的退化軌道和失效水平分布其壽命分布求解是千差萬(wàn)別的，其單點(diǎn)型退化壽命分布與區(qū)間型退化壽命分布關(guān)系還需進(jìn)行研究。傳統(tǒng)單點(diǎn)型加速退化[13]，競(jìng)爭(zhēng)退化[14]，退化優(yōu)化設(shè)計(jì)[15]等方面也可以考慮推廣至區(qū)間型加速退化[16]，競(jìng)爭(zhēng)退化，退化優(yōu)化設(shè)計(jì)等。因此未來(lái)區(qū)間型退化模型的研究還可以進(jìn)一步深入。