宋喜佳，馮學(xué)妮，郝亞茹，鄧招奇

(1.電子科技大學(xué)中山學(xué)院計(jì)算機(jī)學(xué)院，廣東 中山 528402；2.中山市啟航技工學(xué)校，廣東 中山 528402)

引言

黑體輻射源的色溫是黑體的絕對(duì)溫度。如果一個(gè)光源發(fā)射光的顏色(即光色，又稱色品)與某一溫度下的黑體發(fā)射光的顏色相同，那么此時(shí)黑體的絕對(duì)溫度值就叫做該光源的顏色溫度(簡(jiǎn)稱色溫)。當(dāng)光源的光色與某一溫度下的黑體輻射光源光色最為接近時(shí)，后者的色溫即為光源的相關(guān)色溫[1，2]。相關(guān)色溫是照明光源的重要參數(shù)，不僅決定了人眼視覺(jué)觀察到的“白光”顏色種類，還對(duì)人體的晝夜節(jié)律、體溫調(diào)節(jié)以及熱平衡等非視覺(jué)生物現(xiàn)象產(chǎn)生重要影響[3]。

照明光源的另一個(gè)重要參數(shù)是Duv，它描述了待測(cè)光源色坐標(biāo)偏離普朗克黑體輻射軌跡的距離和偏離方向。當(dāng)Duv的數(shù)值過(guò)大時(shí)，說(shuō)明光源光色偏離太遠(yuǎn)，人眼會(huì)觀察到發(fā)黃、發(fā)綠或者發(fā)紫等情況[4]。Duv的計(jì)算公式為

(1)

其中(uc,vc)是待測(cè)光源的CIE 1960 UCS色度坐標(biāo)，(u0,v0)是普朗克黑體軌跡上距離(uc,vc)最近的點(diǎn)的CIE 1960 UCS色度坐標(biāo)。

傳統(tǒng)的色溫計(jì)算方法主要包括直接內(nèi)插法、三角形垂足法、曲線擬合法等[4-10]。直接內(nèi)插法和三角形垂足法盡管計(jì)算精度相對(duì)較高，但是為了確定與待測(cè)光源色坐標(biāo)(u,v)最近的兩條等色溫線，需要逐次搜索比較，計(jì)算量大、耗時(shí)較長(zhǎng)，并且直接內(nèi)插法不能同時(shí)給出相關(guān)色溫和Duv的值。求解相關(guān)色溫的其他方法，如逐次逼近法、多項(xiàng)式逼近法、曲線擬合法等，盡管不需要逐次比較，計(jì)算時(shí)間較快，但是適用的色溫范圍十分有限，計(jì)算精度也不夠理想。

1 計(jì)算相關(guān)色溫的三次Hermite插值算法

1.1 確定黑體輻射軌跡上溫度Ti與CIE 1960 UCS色坐標(biāo)(ui,vi)的對(duì)應(yīng)關(guān)系

第一步，對(duì)溫度T進(jìn)行離散化，得到T的離散列表。本文離散化的方法參考文獻(xiàn)[4]的做法，在1 000～20 000 K的色溫范圍內(nèi)，對(duì)T進(jìn)行1%步進(jìn)離散化，分別為

(2)

第二步，依據(jù)普朗克黑體輻射定律，計(jì)算離散溫度點(diǎn)Ti(i=0～302)對(duì)應(yīng)的黑體輻射光譜功率分布。

(3)

這里，c1是第一輻射常數(shù)，c1=2πhc2；h是普朗克常數(shù)，c為光速；c2是第二輻射常數(shù)，c2=hc/k；k為波爾茲曼常數(shù)。

第三步，依據(jù)黑體輻射的光譜功率分布，計(jì)算其顏色三刺激值。

(4)

第四步，計(jì)算黑體輻射在溫度Ti(i=0～302)時(shí)對(duì)應(yīng)的CIE 1960 UCS色坐標(biāo)(ui,vi)。

(5)

第五步，將溫度Ti(i=0～302)與色坐標(biāo)(ui,vi)，按照兩者對(duì)應(yīng)關(guān)系形成表1。

表1 溫度與CIE 1960 UCS色坐標(biāo)的對(duì)應(yīng)關(guān)系Table 1 The relationship of temperature and chromatic coordinate in CIE 1960 UCS

1.2 計(jì)算黑體輻射軌跡在各離散溫度點(diǎn)Ti的曲線斜率li

相應(yīng)的曲線斜率為

(6)

這里，Xi,Yi,Zi是黑體在溫度Ti時(shí)的顏色三刺激值，Xi′,Yi′,Zi′是顏色三刺激值對(duì)于溫度Ti的導(dǎo)數(shù)，計(jì)算方法如下：

(7)

這里，PT′(λ,T)是P(λ,T)對(duì)T的偏導(dǎo)數(shù)：

(8)

按前面所述過(guò)程，計(jì)算各Ti(i=0～302)對(duì)應(yīng)的li，然后將li加入到表1中，得到表2和圖1。

表2 黑體軌跡上溫度、CIE 1960 UCS色坐標(biāo)以及斜率的對(duì)應(yīng)關(guān)系Table 2 The relationship of T,chromatic coordinate in CIE 1960 UCS and slope on the Planck blackbody locus

圖1 黑體軌跡上溫度、CIE 1960 UCS色坐標(biāo)以及斜率的對(duì)應(yīng)關(guān)系Fig.1 The relationship of T,chromatic coordinate in CIE 1960 UCS and slope on the Planck blackbody locus

表1、表2數(shù)據(jù)只需要計(jì)算一次，本文后繼步驟可以直接調(diào)用這些數(shù)據(jù)，不用重復(fù)計(jì)算。

1.3 基于分段三次Hermite插值方法描述黑體軌跡

在區(qū)間[u0,u302]上，定義一組分段三次插值基函數(shù)αj(u)及βj(u)，這里j=0,1,…,302，則黑體軌跡方程v(u)可表示為

(9)

其中基函數(shù)αj(u)表示為

(10)

βj(u)分別表示為

βj(u)=

(11)

按照上面公式，分別在區(qū)間[u0,u1]、[u1,u2]、…、[u301,u302]計(jì)算v0(u)、v1(u)、…、v301(u)，即

(12)

將求得的各多項(xiàng)式系數(shù)，以及前面獲得的溫度值、色坐標(biāo)、斜率統(tǒng)一存于表3。

表3 黑體軌跡上溫度、CIE 1960 UCS色坐標(biāo)、斜率以及多項(xiàng)式系數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系Table 3 The Relationship of T,Chromatic Coordinate in CIE 1960 UCS,Slope,and multinomial coefficient on the Planck Blackbody Locus

借助計(jì)算機(jī)和現(xiàn)代數(shù)學(xué)軟件(如Mathematica)，可以通過(guò)編程快速獲得上述各分段函數(shù)。

1.4 確定黑體軌跡上距離待測(cè)光源(uc,vc)最近的坐標(biāo)點(diǎn)(u0,v0)

假設(shè)已知待測(cè)光源的光譜功率分布，因此可求得待測(cè)光源的色坐標(biāo)待測(cè)光源(uc,vc)(本文直接認(rèn)為(uc,vc)是已知量)，故點(diǎn)(uc,vc)到普朗克黑體軌跡v(u)的距離d(u)可按照如下方法獲得：

(13)

假設(shè)當(dāng)(u,v)=(u0,v0)時(shí)，d(u)的一階導(dǎo)數(shù)d′(u)、二階導(dǎo)數(shù)d″(u)分別滿足：

(14)

則d(u)取得最小值d(u0)。另外，按照Duv的定義，有

Duv=d(u0)sgn(vc-v0)

(15)

1.5 確定黑體軌跡上某點(diǎn)(已知其色坐標(biāo))對(duì)應(yīng)的色溫

在求出黑體軌跡上距離待測(cè)光源(uc,vc)最近點(diǎn)色坐標(biāo)(u0,v0)以后，下一步是確定(u0,v0)所對(duì)應(yīng)的色溫T0，通常有多種方法，如McCamy近似公式、Hernández-Andrés近似公式等，本文采用三角幾何近似的方法來(lái)確定T0(圖2)。最后，根據(jù)相關(guān)色溫的定義可知，該待測(cè)光源的相關(guān)色溫Tc為Tc=T0，則

(16)

由于黑體軌跡采樣點(diǎn)較密集時(shí)(如本文采用的1%步進(jìn)采樣)，θ1、θ2均較小，因此式(16)可以近似為

(17)

圖2 利用三角幾何近似法確定相關(guān)色溫Fig.2 Calculate CCT based on the trigonometry approximate method

2 實(shí)驗(yàn)與測(cè)試結(jié)果

2.1 計(jì)算并驗(yàn)證“標(biāo)準(zhǔn)黑體軌跡等溫線色度坐標(biāo)表”的相關(guān)色溫及計(jì)算誤差

依據(jù)參考文獻(xiàn)[1，2]中提供的“標(biāo)準(zhǔn)黑體軌跡等溫線色度坐標(biāo)表”，使用本文算法，由各色度坐標(biāo)計(jì)算相關(guān)色溫，并與標(biāo)準(zhǔn)值相比較，相對(duì)誤差以及Duv如表4和圖3所示。

從圖3可知，高色溫區(qū)誤差稍微偏大，其原因如下：對(duì)溫度進(jìn)行1%步進(jìn)離散化，在高色溫區(qū)步長(zhǎng)間隔變大，導(dǎo)致數(shù)據(jù)誤差變大。采用1%步進(jìn)離散化的好處是，實(shí)際照明光源多工作在暖光、正白區(qū)域，冷光源色溫一般也很少超過(guò)7 000 K，該方法可保證在光源比較重要的低色溫、中色溫區(qū)域獲得相對(duì)更加精確的計(jì)算結(jié)果，同時(shí)數(shù)據(jù)量不至于太大。

2.3 標(biāo)準(zhǔn)色溫?zé)舻南嚓P(guān)色溫計(jì)算

標(biāo)準(zhǔn)色溫?zé)舻墓怆妳?shù)如表5所示。利用遠(yuǎn)方HAAS-2000光譜儀對(duì)該標(biāo)準(zhǔn)燈進(jìn)行測(cè)量，得到的該標(biāo)準(zhǔn)燈的光譜功率分布如圖4所示。使用HAAS-2000光譜儀對(duì)標(biāo)準(zhǔn)色溫?zé)舻南嚓P(guān)色溫進(jìn)行測(cè)量，測(cè)量結(jié)果與計(jì)算結(jié)果如表6所示。

表4 “標(biāo)準(zhǔn)黑體軌跡等溫線色度坐標(biāo)表”的計(jì)算結(jié)果與計(jì)算誤差Table 4 The Calculation Result and Calculation Error of “Standard Chromatic Coordinate Table for The Isothermal Lines of Blackbody Locus”

圖3 “標(biāo)準(zhǔn)黑體軌跡等溫線色度坐標(biāo)表”的相關(guān)色溫計(jì)算結(jié)果與計(jì)算誤差Fig.3 The calculation result of CCT and calculation error of “standard chromatic coordinate table for the isothermal lines of blackbody locus”

表5 標(biāo)準(zhǔn)色溫?zé)舻闹饕獏?shù)Table 5 The main parameters of the colour temperature standard lamp

圖4 標(biāo)準(zhǔn)色溫?zé)舻南鄬?duì)光譜功率分布Fig.4 Relative spectral power distribution of the colour temperature standard lamp

表6 標(biāo)準(zhǔn)色溫?zé)舻南嚓P(guān)色溫、色溫相對(duì)誤差及Duv的對(duì)比Table 6 The comparison of correlated color temperature,color temperature and Duvof the color temperature standard lamp

3 總結(jié)

經(jīng)過(guò)推導(dǎo)計(jì)算，我們確定了普朗克黑體輻射軌跡上溫度Ti、色坐標(biāo)(ui,vi)以及曲線斜率li三者之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，建立了可以精確平滑地描述普朗克黑體輻射軌跡的分段三次Hermite插值函數(shù)(此過(guò)程過(guò)程只需計(jì)算一遍，然后將計(jì)算的結(jié)果存儲(chǔ)起來(lái)，后續(xù)計(jì)算可以直接調(diào)用，有利于提高計(jì)算效率)；在此基礎(chǔ)上，利用解析方法快速計(jì)算待測(cè)光源(uc,vc)與普朗克黑體輻射軌跡上的最近點(diǎn)的色坐標(biāo)(u0,v0)以及二者之間的距離d(u0)，避免了傳統(tǒng)算法需要逐步搜索比較的煩冗耗時(shí)；最后，采用三角幾何近似的方法，確定色坐標(biāo)(u0,v0)的色溫T0，得到待測(cè)光源(uc,vc)的相關(guān)色溫Tc。通過(guò)對(duì)“標(biāo)準(zhǔn)黑體軌跡等溫線色度坐標(biāo)表”和“標(biāo)準(zhǔn)色溫?zé)簟钡姆抡嬗?jì)算以及實(shí)測(cè)，本文算法的相對(duì)誤差基本穩(wěn)定在10-4范圍內(nèi)(需要注意的是，由于溫度采用1%步進(jìn)進(jìn)行離散化，在高色溫區(qū)的誤差波動(dòng)相對(duì)較大)。因此本文算法在實(shí)現(xiàn)快速計(jì)算相關(guān)色溫的同時(shí)，還具有比傳統(tǒng)計(jì)算方法更好的計(jì)算精度，適用色溫范圍廣(1 000～20 000 K)的特點(diǎn)，可以應(yīng)用在光源色溫計(jì)算、光譜優(yōu)化等方面。