余聯(lián)慶 王占坤 李紅軍 蒙運(yùn)紅

1.武漢紡織大學(xué)工業(yè)雷管智能裝配湖北省工程研究中心，武漢，430073 2.華中科技大學(xué)機(jī)械科學(xué)與工程學(xué)院，武漢，430074

0 引言

閉鏈弓形五連桿通過(guò)主動(dòng)桿件有規(guī)律地來(lái)回?cái)[動(dòng)獲得質(zhì)心偏置力矩來(lái)驅(qū)動(dòng)自身翻滾，在此期間會(huì)有峰值負(fù)載不斷出現(xiàn)［1］。如果單純?cè)黾与姍C(jī)的額定功率，會(huì)導(dǎo)致系統(tǒng)質(zhì)量和能耗的升高。冗余驅(qū)動(dòng)通過(guò)協(xié)調(diào)分配驅(qū)動(dòng)力矩，可以降低分支最大瞬時(shí)負(fù)載，但協(xié)調(diào)分配驅(qū)動(dòng)力矩不當(dāng)會(huì)影響功能的實(shí)現(xiàn)甚至損壞設(shè)備。對(duì)于冗余驅(qū)動(dòng)閉鏈弓形五連桿機(jī)構(gòu)，主動(dòng)關(guān)節(jié)的動(dòng)力和功率分配、電機(jī)參數(shù)的選擇以及實(shí)現(xiàn)動(dòng)力學(xué)精確控制都必須依賴(lài)于動(dòng)力學(xué)的研究，故有必要對(duì)該桿機(jī)構(gòu)的冗余驅(qū)動(dòng)進(jìn)行研究。

國(guó)內(nèi)外學(xué)者對(duì)冗余驅(qū)動(dòng)并聯(lián)機(jī)構(gòu)動(dòng)力學(xué)建模進(jìn)行了研究［2－5］。楊建新等［3］運(yùn)用牛頓－歐拉方程對(duì)新型平面3自由度并聯(lián)機(jī)器人進(jìn)行了動(dòng)力學(xué)建模研究，該方法物理意義明確，可推導(dǎo)出系統(tǒng)內(nèi)的約束反力，適用于對(duì)簡(jiǎn)單系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)進(jìn)行建模分析。孫小勇等［4］運(yùn)用拉格朗日方程對(duì)6－PSS柔性并聯(lián)機(jī)器人動(dòng)力學(xué)進(jìn)行了研究，該方法形式簡(jiǎn)單，計(jì)算量大且過(guò)程復(fù)雜，適用于對(duì)復(fù)雜系統(tǒng)進(jìn)行動(dòng)力學(xué)建模分析。趙海峰等［5］運(yùn)用凱恩方程對(duì)并聯(lián)六自由度機(jī)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)進(jìn)行了研究，但較難理解該方法的偏速度和偏角速度概念。雖然不同方法建模過(guò)程不同，但推導(dǎo)出的結(jié)果是相同的。完成系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)建模后，冗余驅(qū)動(dòng)的力矩分配已有許多研究成果［6－11］。閆彩霞等［7］以一種平面三自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)為研究對(duì)象，運(yùn)用加權(quán)系數(shù)選擇的方法，對(duì)各驅(qū)動(dòng)進(jìn)行了單獨(dú)調(diào)解，數(shù)值計(jì)算及分析表明該方法對(duì)機(jī)構(gòu)有一定的作用。卿建喜等［8］運(yùn)用2范數(shù)優(yōu)化、最小化最大驅(qū)動(dòng)力優(yōu)化、最小化最大驅(qū)動(dòng)功率優(yōu)化等方法對(duì)冗余驅(qū)動(dòng)Tricert并聯(lián)機(jī)構(gòu)進(jìn)行了驅(qū)動(dòng)優(yōu)化，數(shù)值分析顯示冗余驅(qū)動(dòng)可以較顯著地降低驅(qū)動(dòng)器的瞬時(shí)負(fù)載和瞬時(shí)輸出功率。楊建新等［3］運(yùn)用偽逆優(yōu)化對(duì)新型平面三自由度并聯(lián)機(jī)器人動(dòng)力學(xué)進(jìn)行了研究，該機(jī)構(gòu)動(dòng)力學(xué)數(shù)值仿真實(shí)例分析表明冗余驅(qū)動(dòng)可以消除奇異位形，增大作業(yè)空間。綜上所述，當(dāng)前冗余驅(qū)動(dòng)的建模分析對(duì)象多為并聯(lián)固定機(jī)器人，且多運(yùn)用數(shù)值仿真對(duì)驅(qū)動(dòng)力矩協(xié)調(diào)分配方面進(jìn)行理論分析，但對(duì)滾動(dòng)機(jī)器人冗余驅(qū)動(dòng)的理論研究尚未見(jiàn)報(bào)道。

本文研究冗余驅(qū)動(dòng)閉鏈弓形五連桿機(jī)構(gòu)按預(yù)定的軌跡運(yùn)動(dòng)時(shí)的驅(qū)動(dòng)力矩協(xié)調(diào)分配問(wèn)題，采用牛頓-歐拉方法建立該并聯(lián)移動(dòng)機(jī)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)模型。為了減小動(dòng)態(tài)翻滾過(guò)程中出現(xiàn)的最大瞬時(shí)驅(qū)動(dòng)力矩，利用偽逆優(yōu)化的方法對(duì)驅(qū)動(dòng)力矩進(jìn)行協(xié)調(diào)分配。

1 閉鏈弓形五連桿機(jī)構(gòu)

閉鏈弓形五連桿由5個(gè)相同的弓形桿件模塊首尾相接組成，其三維實(shí)體模型如圖1所示。每個(gè)弓形桿件模塊由電機(jī)緊固件、錐齒輪傳動(dòng)裝置、帶減速器的直流電機(jī)和左右弓形板等零部件組成。該機(jī)構(gòu)具有5個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)關(guān)節(jié)，為了使該機(jī)構(gòu)具有結(jié)構(gòu)對(duì)稱(chēng)性以及冗余自由度，在每個(gè)關(guān)節(jié)處均配置一個(gè)直流伺服驅(qū)動(dòng)電機(jī)，伺服電機(jī)通過(guò)一對(duì)錐齒輪將運(yùn)動(dòng)和動(dòng)力傳遞給運(yùn)動(dòng)關(guān)節(jié)，其中一個(gè)錐齒輪與電機(jī)輸出軸固定，另外一個(gè)錐齒輪固定在關(guān)節(jié)軸上。運(yùn)用配重法使每個(gè)弓形桿件模塊質(zhì)量相等，且模塊兩端關(guān)節(jié)連線(xiàn)的中點(diǎn)為弓形桿件質(zhì)心位置。當(dāng)機(jī)構(gòu)變形為整圓時(shí)機(jī)構(gòu)內(nèi)側(cè)為正五邊形，配重后的機(jī)構(gòu)質(zhì)心與形心重合。

圖1 閉鏈弓形五連桿機(jī)構(gòu)三維模型圖Fig.1 3Ddiagram of closed five-bow-shaped-bar l inkage

在非結(jié)構(gòu)環(huán)境中，閉鏈弓形五連桿具有一定的越障以及爬坡能力［12－13］。到達(dá)指定的地點(diǎn)以后，機(jī)構(gòu)能以?xún)筛鶙U件著地，形成圖2所示的穩(wěn)定工作平臺(tái)，可進(jìn)行任務(wù)探測(cè)等作業(yè)。

圖2 工作平臺(tái)示意圖Fig.2 The diagram of the work platform

閉鏈弓形五連桿機(jī)構(gòu)由主驅(qū)動(dòng)關(guān)節(jié)、冗余驅(qū)動(dòng)關(guān)節(jié)、約束關(guān)節(jié)組成。該機(jī)構(gòu)的自由度可以通過(guò)Grbler-Kutzbach方程來(lái)求解：

式中，M 為機(jī)構(gòu)的自由度；N 為機(jī)構(gòu)的總構(gòu)件數(shù)；J為機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)副數(shù)；fi為第i個(gè)運(yùn)動(dòng)副的自由度。

在非冗余驅(qū)動(dòng)的直線(xiàn)翻滾運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，調(diào)整機(jī)構(gòu)2個(gè)主驅(qū)動(dòng)關(guān)節(jié)的關(guān)節(jié)角可以改變機(jī)構(gòu)的位形，使機(jī)構(gòu)質(zhì)心相對(duì)于當(dāng)前觸地點(diǎn)產(chǎn)生偏置，從而產(chǎn)生相對(duì)于當(dāng)前觸地點(diǎn)的質(zhì)心偏置力矩來(lái)驅(qū)動(dòng)機(jī)構(gòu)完成翻滾運(yùn)動(dòng)［14］。當(dāng)機(jī)構(gòu)引入冗余驅(qū)動(dòng)關(guān)節(jié)后，通過(guò)控制3個(gè)驅(qū)動(dòng)關(guān)節(jié)的關(guān)節(jié)角，同樣可以實(shí)現(xiàn)機(jī)構(gòu)的直線(xiàn)翻滾運(yùn)動(dòng)。

2 機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)學(xué)分析

2.1 坐標(biāo)系的建立

建立圖3所示的機(jī)構(gòu)直線(xiàn)翻滾運(yùn)動(dòng)模型。圖3中，虛擬滾動(dòng)圓用的虛線(xiàn)圓表示，其半徑為R，在機(jī)構(gòu)直線(xiàn)翻滾的過(guò)程中，當(dāng)前觸地桿件的圓弧一直與該虛擬圓重合。機(jī)構(gòu)開(kāi)始運(yùn)動(dòng)的觸地點(diǎn)為O，機(jī)構(gòu)當(dāng)前與地面的接觸點(diǎn)為P；兩點(diǎn)之間的弧長(zhǎng)為機(jī)構(gòu)滾動(dòng)位移，這段弧長(zhǎng)對(duì)應(yīng)的圓心角即系統(tǒng)翻滾角f；建立地面坐標(biāo)系XOY、平移坐標(biāo)系xccyc。地面坐標(biāo)系固連于地面，O為初始滾動(dòng)點(diǎn)；平移坐標(biāo)系xccyc的原點(diǎn)c為虛擬滾動(dòng)圓的圓心，平移坐標(biāo)系只做直線(xiàn)平移。以各關(guān)節(jié)點(diǎn)A、B、C、D、E為坐標(biāo)原點(diǎn)，沿逆時(shí)針?lè)较蚪⑦B桿坐標(biāo)系：弓形桿件的弦長(zhǎng)方向?yàn)閤i軸方向，由右手法則確定yi軸及zi軸方向。坐標(biāo)系i與坐標(biāo)系i－1之間的夾角為關(guān)節(jié)角θi（i ＝1，2，…，5）；ci、ai、mi、αi分別為各弓形桿件的質(zhì)心、弦長(zhǎng)、質(zhì)量及觸地桿件所對(duì)應(yīng)的圓心角；mt為機(jī)構(gòu)的總質(zhì)量；Ii為各弓形桿模塊繞其質(zhì)心點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。

圖3 機(jī)構(gòu)直線(xiàn)翻滾運(yùn)動(dòng)學(xué)模型Fig.3 Kinematics model of mechanism linear tumbling

由于閉鏈翻滾機(jī)構(gòu)具有對(duì)稱(chēng)性，且按照配重原則進(jìn)行配重，故各桿件長(zhǎng)度、質(zhì)量、圓心角以及繞其質(zhì)心的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量均相等。

2.2 桿件觸地階段運(yùn)動(dòng)學(xué)分析

令a、m分別為單根桿件的弦長(zhǎng)和質(zhì)量，則各桿件的質(zhì)心齊次坐標(biāo)在連桿坐標(biāo)系中表示為

各關(guān)節(jié)在連桿坐標(biāo)系中的齊次坐標(biāo)可表示為

當(dāng)弓形桿件AB觸地時(shí)，初始點(diǎn)A是原始的觸地點(diǎn)，點(diǎn)P代表當(dāng)前的觸地點(diǎn)，則機(jī)構(gòu)的位移在地面坐標(biāo)系中可以表示為

各桿件質(zhì)心在地面坐標(biāo)系中的坐標(biāo)分3步求解：首先通過(guò)齊次變換求得各桿件質(zhì)心在當(dāng)前觸地桿件坐標(biāo)系中的坐標(biāo)；然后將當(dāng)前觸地桿件坐標(biāo)系中的各桿質(zhì)心坐標(biāo)齊次變換到坐標(biāo)系xccyc中；最后將坐標(biāo)系xccyc中各桿件質(zhì)心齊次變換到地面坐標(biāo)系XOY中。令jTi為連桿坐標(biāo)系xiyi到當(dāng)前觸地桿桿件坐標(biāo)系的齊次變換矩陣，j表示觸地桿件，j＝1，2，…，5；cTj為觸地桿件坐標(biāo)系到xccyc的坐標(biāo)齊次變換矩陣；oTc為坐標(biāo)系xccyc到地面坐標(biāo)系XOY的齊次變換矩陣；各桿件的質(zhì)心在地面坐標(biāo)系XOY中的位置矢量表示為

由質(zhì)心合成定理可以求得機(jī)構(gòu)總質(zhì)心mt在地面坐標(biāo)系XOY中的位置矢量：

同理，可得各桿件關(guān)節(jié)以及當(dāng)前觸地點(diǎn)在地面坐標(biāo)系XOY中的位置矢量。

2.3 關(guān)節(jié)角運(yùn)動(dòng)約束

在非冗余驅(qū)動(dòng)情況下，機(jī)構(gòu)5個(gè)關(guān)節(jié)角應(yīng)同時(shí)滿(mǎn)足運(yùn)動(dòng)學(xué)約束和幾何約束，因此，可以用2個(gè)主驅(qū)動(dòng)關(guān)節(jié)來(lái)表示其余3個(gè)被動(dòng)關(guān)節(jié)，并且假定主驅(qū)動(dòng)關(guān)節(jié)為q1和q2。由齊次轉(zhuǎn)換關(guān)系式可得連桿1坐標(biāo)系相對(duì)于連桿5坐標(biāo)系沿逆時(shí)針?lè)较虻凝R次變換矩陣：

連桿1坐標(biāo)系相對(duì)于連桿5坐標(biāo)系沿順時(shí)針?lè)较虻凝R次變換矩陣

同一坐標(biāo)系相對(duì)于另一坐標(biāo)系之間的齊次變換矩陣相等，可得以下關(guān)節(jié)角運(yùn)動(dòng)約束方程：

其中，cij＝cos（θi＋θj），sij＝sin（θi＋θj），其余類(lèi)推。

5個(gè)相同桿件組成閉鏈弓形五連桿機(jī)構(gòu)，由幾何關(guān)系可知各關(guān)節(jié)角之和為2π，即

求解約束方程式（9）可得

通過(guò)運(yùn)動(dòng)學(xué)影響系數(shù)法，運(yùn)動(dòng)學(xué)影響的第一階項(xiàng)和二階項(xiàng)可以描述被動(dòng)關(guān)節(jié)和主動(dòng)關(guān)節(jié)之間的運(yùn)動(dòng)關(guān)系的系數(shù)矩陣。定義E3、E4、E5分別為θ3、θ4、θ5的一階影響系數(shù)矩陣；H3、H4、H5分別為θ3、θ4、θ5的二階影響系 數(shù)矩陣。令θ＝動(dòng)關(guān)節(jié)角的一階和二階導(dǎo)數(shù)表達(dá)式：

2.4 質(zhì)心速度與加速度分析

通過(guò)桿件質(zhì)心坐標(biāo)齊次變換矩陣，得到了各桿系質(zhì)心mi以及機(jī)構(gòu)合成質(zhì)心mt在地面坐標(biāo)系XOY中的坐標(biāo)。對(duì)式（5）和式（6）求一階導(dǎo)和二階導(dǎo)，可得各質(zhì)心在地面坐標(biāo)系XOY中的速度和加速度：

式中，qk為求導(dǎo)矩陣中的變量。

2.5 桿件角速度和角加速度分析

由圖2可知，桿件i的轉(zhuǎn)動(dòng)角度與當(dāng)前觸地桿有關(guān)。j（j＝1，2，…，5）表示當(dāng)前觸地桿件，Ji表示桿件i相對(duì)地面坐標(biāo)系的旋轉(zhuǎn)角度。當(dāng)桿件1觸地時(shí)，由齊次變換可得各桿件相對(duì)地面坐標(biāo)系的旋轉(zhuǎn)角度：

對(duì)式（18）求一階導(dǎo)和二階導(dǎo)，可得各桿件相對(duì)地面坐標(biāo)的角速度和角加速度：

式中，ωi、ω·i分別為第i 桿件的角速度和角加速度；φ·、φ··分別為翻滾角φ 的一階導(dǎo)數(shù)和二階導(dǎo)數(shù)；θ·i、θ··i分別為第i桿件關(guān)節(jié)角的一階導(dǎo)數(shù)和二階導(dǎo)數(shù)。

3 機(jī)構(gòu)動(dòng)力學(xué)建模

3.1 各桿件牛頓-歐拉動(dòng)力學(xué)方程

在連桿1觸地翻滾階段，對(duì)桿件1以及與桿件1相連的兩根桿件進(jìn)行受力分析，如圖4所示。

圖4 桿件1觸地階段受力分析圖Fig.4 Force analysis diagram of the contact stage of link 1

對(duì)桿件1建立牛頓-歐拉方程：

式中，G1為連桿1所受到的重力；Np為連桿1所受到的摩擦力與地面支持力合力；F51為連桿5對(duì)連桿1的力；F21為連桿2對(duì)連桿1的力；M1、M2分別為關(guān)節(jié)A和關(guān)節(jié)B的驅(qū)動(dòng)力矩；I1為連桿1的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；LC1P、LC1A、LC1B分別為連桿1的質(zhì)心到關(guān)節(jié)A、關(guān)節(jié)B和觸地點(diǎn)P的矢量；ω·1為連桿1的角加速度矢量。

同理，可對(duì)連桿2～連桿5建立牛頓-歐拉方程：

式中，G2、G3、G4、G5分別為連桿2～連桿5所受到的重力；Fij為連桿i對(duì)連桿j的力（i，j＝2，3，4，5）；M2、M3、M4、M5分別為關(guān)節(jié)B、C、D、E 的驅(qū)動(dòng)力矩；Ii為連桿i的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；LC2B、LC2C分別為連桿2的質(zhì)心到關(guān)節(jié)B和關(guān)節(jié)C的矢量；LC3C、LC3D分別為連桿3的質(zhì)心到關(guān)節(jié)C和關(guān)節(jié)D的矢量；LC4D、LC4E分別為連桿4的質(zhì)心到關(guān)節(jié)D和關(guān)節(jié)E的矢量；LC5E、LC5A分別為連桿5的質(zhì)心到關(guān)節(jié)E和關(guān)節(jié)A的矢量。

3.2 機(jī)構(gòu)封閉動(dòng)力學(xué)方程

由桿件i和桿件i＋1在關(guān)節(jié)處的力平衡關(guān)系可知：

聯(lián)立式（21）～（25）中牛頓方程并代入式（26），用矩陣的形式表示：

引入A為待定平面力F51，可求得機(jī)構(gòu)平面約束力關(guān)系：

聯(lián)立式（21）～ 式（25）中歐拉方程，以矩陣的形式寫(xiě)出：

引入待定力矩M1＝M（方向沿Z軸），可求得機(jī)構(gòu)關(guān)節(jié)力矩的關(guān)系：

聯(lián)立式（27）和式（28）消去約束力，整理得

機(jī)構(gòu)的質(zhì)心偏置力矩

式中，LMtP為機(jī)構(gòu)的合成質(zhì)心到觸地點(diǎn)P的矢量。

在冗余驅(qū)動(dòng)下，令其中任意2個(gè)主動(dòng)關(guān)節(jié)力矩值為0，可求出待定平面約束力和待定力矩之間的耦合關(guān)系。冗余驅(qū)動(dòng)方式下的主動(dòng)關(guān)節(jié)的分配有10種，其中，相鄰關(guān)節(jié)驅(qū)動(dòng)5種，非相鄰關(guān)節(jié)驅(qū)動(dòng)5種；比較每種驅(qū)動(dòng)方式最大的驅(qū)動(dòng)力矩值，選擇最小的即最優(yōu)選驅(qū)動(dòng)方式。本文以A、B、C關(guān)節(jié)為冗余驅(qū)動(dòng)關(guān)節(jié)，令M5＝M4＝0可得

將M5＝M4＝0代入式（30）可知B4＝0，即

將式（28）代入式（34）可得待定平面約束力：

式中，S為未知變量；k、V分別為F51在地面坐標(biāo)系上分量的系數(shù)。

將F51代入式（28），整理可得冗余驅(qū)動(dòng)閉鏈弓形五連桿機(jī)構(gòu)各關(guān)節(jié)的約束力：

將式（36）代入式（33），整理可得冗余驅(qū)動(dòng)閉鏈弓形五連桿機(jī)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)方程：

式（37）建立了冗余驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程，在預(yù)定運(yùn)動(dòng)規(guī)律下運(yùn)用該式可求得各驅(qū)動(dòng)關(guān)節(jié)的驅(qū)動(dòng)力矩。然而由于含有未知的變量S，驅(qū)動(dòng)力矩任意時(shí)刻的解有無(wú)數(shù)種組合，因此，為求得驅(qū)動(dòng)力矩唯一解，需運(yùn)用優(yōu)化方法對(duì)驅(qū)動(dòng)力矩進(jìn)行協(xié)調(diào)分配。

4 驅(qū)動(dòng)力矩分配及數(shù)值仿真

4.1 驅(qū)動(dòng)力矩分配

選取適當(dāng)?shù)尿?qū)動(dòng)模式，可以使各驅(qū)動(dòng)關(guān)節(jié)瞬時(shí)負(fù)載與輸出力矩更均衡。偽逆優(yōu)化是冗余驅(qū)動(dòng)的主要優(yōu)化方法之一，當(dāng)機(jī)構(gòu)按預(yù)定軌跡運(yùn)動(dòng)時(shí)可以有效減少單個(gè)驅(qū)動(dòng)關(guān)節(jié)上的驅(qū)動(dòng)力矩，使驅(qū)動(dòng)力矩的2范數(shù)最小。

封閉動(dòng)力學(xué)公式等號(hào)右邊含有任意的變量S，對(duì)矩陣進(jìn)行行變換以消去任意的變量S，從而得到系統(tǒng)封閉動(dòng)力學(xué)方程：

就非齊次線(xiàn)性方程組而言，需要判斷系數(shù)矩陣與增廣矩陣的秩是否相等，若秩相等則方程組必有解，可以借助求解系數(shù)矩陣的逆或者矩陣的初等變換來(lái)得到最后的解。在系數(shù)矩陣為非方陣的情況下，存在偽逆矩陣，使方程組的解2范數(shù)最小。由于矩陣H1（q）為滿(mǎn)秩3×4非方矩陣，對(duì)矩陣可求得偽逆如下：

則優(yōu)化后的驅(qū)動(dòng)力矩

4.2 數(shù)值仿真

給定參數(shù)R＝170mm，a＝200mm，mt＝5kg，Ii＝0.026kg·m2。閉鏈弓形五連桿機(jī)構(gòu)的結(jié)構(gòu)是對(duì)稱(chēng)的，同樣的加速度條件會(huì)使5根桿件相繼觸地時(shí)的關(guān)節(jié)角運(yùn)動(dòng)規(guī)律周期性變化［15］。因此，本文僅對(duì)桿件1觸地階段（f＝0°～72°）進(jìn)行規(guī)劃，其余桿件觸地階段不再贅述。在桿件1觸地階段，翻滾角f、驅(qū)動(dòng)關(guān)節(jié)A和B的角位移隨時(shí)間變化的運(yùn)動(dòng)規(guī)律如圖5所示。

圖5 主動(dòng)關(guān)節(jié)角運(yùn)動(dòng)軌跡Fig.5 The trajectory of the driving joint

分別計(jì)算非冗余驅(qū)動(dòng)情況下各關(guān)節(jié)驅(qū)動(dòng)力矩和冗余驅(qū)動(dòng)情況下采用偽逆優(yōu)化對(duì)驅(qū)動(dòng)力矩進(jìn)行協(xié)調(diào)分配后的各驅(qū)動(dòng)關(guān)節(jié)驅(qū)動(dòng)力矩，結(jié)果分別如圖6、圖7所示。

對(duì)于給定的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，由圖6和圖7中的驅(qū)動(dòng)力矩曲線(xiàn)可以看出：在未采用冗余驅(qū)動(dòng)的情況下，各驅(qū)動(dòng)關(guān)節(jié)的最大瞬時(shí)驅(qū)動(dòng)力矩為3.3N·m，且驅(qū)動(dòng)力矩的變化范圍在0～3.3N·m之間；采用冗余驅(qū)動(dòng)并使用偽逆優(yōu)化后，各驅(qū)動(dòng)關(guān)節(jié)最大瞬時(shí)驅(qū)動(dòng)力矩減小約40%，且各驅(qū)動(dòng)力矩的變化范圍減小約45%?？梢?jiàn)冗余驅(qū)動(dòng)可以在降低單個(gè)驅(qū)動(dòng)電機(jī)的最大瞬時(shí)驅(qū)動(dòng)力矩的同時(shí)，使驅(qū)動(dòng)力矩的變化范圍更小。

圖6 非冗余驅(qū)動(dòng)情況下主動(dòng)關(guān)節(jié)驅(qū)動(dòng)力矩變化曲線(xiàn)Fig.6 The varying curve of driving torque under the condition of non-redundant actuation

圖7 冗余驅(qū)動(dòng)情況下主動(dòng)關(guān)節(jié)驅(qū)動(dòng)力矩變化曲線(xiàn)Fig.7 The varying curve of driving torque under the condition of redundant actuation

5 結(jié)論

采用牛頓-歐拉方程對(duì)閉鏈弓形五連桿機(jī)構(gòu)的冗余驅(qū)動(dòng)進(jìn)行了動(dòng)力學(xué)建模分析。為使機(jī)構(gòu)最大瞬時(shí)驅(qū)力矩最小，運(yùn)用偽逆優(yōu)化對(duì)驅(qū)動(dòng)力矩進(jìn)行了協(xié)調(diào)分配。數(shù)值仿真結(jié)果表明：相比非冗余驅(qū)動(dòng)方式，采用冗余驅(qū)動(dòng)并運(yùn)用偽逆優(yōu)化對(duì)驅(qū)動(dòng)力矩進(jìn)行分配優(yōu)化后，有效減小了單個(gè)驅(qū)動(dòng)關(guān)節(jié)的最大瞬時(shí)驅(qū)動(dòng)力矩，且驅(qū)動(dòng)力矩更加均衡。為閉鏈弓形五連桿機(jī)構(gòu)電機(jī)參數(shù)的選擇以及實(shí)現(xiàn)動(dòng)力學(xué)精確控制提供了理論支撐。