陳芳香， 易 偉， 周 濤， 孔令講

(電子科技大學(xué)信息與通信工程學(xué)院， 四川成都 611731)

0 引言

通常對發(fā)射源的定位一般采用基于兩步處理的定位方法：首先，從觀測信號中估計得到與位置相關(guān)的參數(shù)，如到達(dá)時間/時間差(TOA/TDOA)、到達(dá)角(AOA)、多普勒頻率等[1-3]；然后，利用已估計參數(shù)和雷達(dá)以及目標(biāo)之間的幾何約束進(jìn)一步確定目標(biāo)位置。從估計理論的角度來看，該方法是次優(yōu)的，原因是第一步中的參數(shù)估計是在各接收基站獨立進(jìn)行的，它忽略了所有觀測信號對應(yīng)同一個目標(biāo)這一客觀約束。而直接定位(Direct Position Determination, DPD)[4-6]方法充分利用了這一客觀約束，直接聯(lián)合所有原始回波信號構(gòu)建依賴于目標(biāo)位置的代價函數(shù)，通過優(yōu)化代價函數(shù)進(jìn)行一步參數(shù)估計便能直接提取目標(biāo)的位置，具有較傳統(tǒng)兩步定位方法更優(yōu)的估計性能。

多重信號分類(Multiple Signal Classification, MUSIC)算法[7]能將高維搜索問題轉(zhuǎn)化為低維參數(shù)估計問題，且具有高精度的參數(shù)估計能力。在文獻(xiàn)[5]中，結(jié)合MUSIC算法，通過計算感興趣區(qū)域內(nèi)頻譜峰值點來確定發(fā)射未知信號的多個發(fā)射源的位置。該方法的計算復(fù)雜度相比于基于全局最優(yōu)的最大似然估計器的方法大大減小。在文獻(xiàn)[6]中，目標(biāo)數(shù)目是利用恒虛警率(Constant False Alarm Rate, CFAR)的方法來確定的，卻忽略了目標(biāo)提取的這一關(guān)鍵步驟，而若無法成功提取目標(biāo)，目標(biāo)位置也難以確定，相應(yīng)地，后續(xù)定位性能的分析也會受到阻礙。文獻(xiàn)[8]中給出了一種目標(biāo)提取及位置估計的方法，通過消除已定位目標(biāo)的影響，按照目標(biāo)強(qiáng)度依次定位出監(jiān)測區(qū)域的目標(biāo)，直至滿足一定停止準(zhǔn)則時算法停止。

圖像膨脹(Image Expansion, IE)算法的應(yīng)用可基于像素復(fù)制、雙線性插值、三次插值以及基于Canny邊緣化的方法[9-10]，一般被用于處理圖像方面的問題以及提取局部極值。提出定位方法利用IE算法來提取目標(biāo)，相比于文獻(xiàn)[8]中通過依次進(jìn)行門限處理來獲取目標(biāo)位置的方法，該方法更為簡單且能達(dá)到很好的效果。

在本文中，首先由AIC確定模型階數(shù)，再利用基于MUSIC的DPD算法來獲得用于定位的代價函數(shù)，并通過計算感興趣區(qū)域所有網(wǎng)格點的代價函數(shù)值得到代價函數(shù)平面，之后利用IE算法來提取代價函數(shù)平面的局部最大值即可獲取目標(biāo)個數(shù)以及位置的估計值。仿真驗證提出方法(IE-DPD-MT)可以有效提取并定位多個發(fā)射源，且進(jìn)一步分析了影響目標(biāo)提取有效性的主要因素。

1 基本原理

1.1 信號模型建立

考慮監(jiān)測區(qū)域內(nèi)的G個靜止目標(biāo)，位置坐標(biāo)為pg=(xg,yg),g=1,2,…,G，G的值固定且未知。在二維笛卡爾坐標(biāo)系下，L個在時間上同步的接收基站位于(xl,yl),l=1,2,…,L，每個接收基站接收端是包含N個陣元的均勻線陣(Uniform Linear Array, ULA)。接收基站l截獲的回波信號復(fù)包絡(luò)為

t0,g)+wl(t), 0≤t≤T

(1)

式中：rl(t)表示與時間相關(guān)的N×1維向量；αlg表示信號在第g個發(fā)射源與第l個接收站之間的通道的復(fù)衰減系數(shù)；T表示觀測時間；αl(pg)表示由位置pg的發(fā)射源發(fā)射的信號在第l個接收站的陣列響應(yīng)，為N×1維向量；xg(t-τl(pg)-t0,g)表示第g個發(fā)射源在時刻t0,g發(fā)射并經(jīng)過時延τl(pg)之后的信號波形；wl(t)表示基站l處的陣列天線觀測到的噪聲和干擾。

(2)

式中，c為光速。

式(1)中接收信號的第k部分的傅里葉變換可表示為

wl(m,k),m=1,2,…,M

k=1,2,…,K

(3)

式中，rl(m,k)，xg(m,k)以及wl(m,k)分別表示接收信號、發(fā)射信號以及噪聲在第k部分第m個頻點上的傅里葉系數(shù)。

首先定義以下向量及變量：

(4)

則式(3)可寫成

wl(m,k)

(5)

(6)

式中，

(7)

進(jìn)一步地，將聯(lián)合了L個接收站的所有信息表示為

(8)

式中，

(9)

1.2 膨脹算法原理

膨脹算法通常用來處理二值圖像，簡單來說就是用結(jié)構(gòu)元素作為模板在原始二值圖像上遍歷一遍，掃描圖像的每一個像素，用結(jié)構(gòu)元素中的每一個元素與其覆蓋的二值圖像作“或”運(yùn)算(假設(shè)結(jié)構(gòu)元素都為1)，如果結(jié)果為1，則二值圖像中對應(yīng)結(jié)構(gòu)元素原點位置的像素值為1，否則為0。

膨脹操作其實將圖像與核進(jìn)行卷積。核也稱作結(jié)構(gòu)元素，可以是任何的形狀和大小，它擁有一個單獨定義出來的參考點，多數(shù)情況下，核是一個小的中間帶有參考點和實心正方形或者圓盤，而膨脹算法用于本文算法實則是用來求局部最大值，將核與圖像卷積，即計算核覆蓋區(qū)域的像素點的最大值，并把這個最大值賦值給參考點指定的所有像素。膨脹操作后，圖像中會表現(xiàn)出高亮區(qū)域逐漸增長。

2 基于膨脹算法提取目標(biāo)的多目標(biāo)直接定位算法

2.1 基于MUSIC的直接定位算法

MUSIC算法是基于信號空間與噪聲空間的譜估計分析方法，首先根據(jù)式(8)中的信號模型求得接收信號的協(xié)方差矩陣：

(10)

然后，利用信號空間與噪聲空間的正交性[12]，求得相應(yīng)代價函數(shù)：

(11)

式中，

(12)

由于應(yīng)用MUSIC算法時需要已知目標(biāo)數(shù)目，而本文假設(shè)目標(biāo)個數(shù)是未知的，所以這里利用AIC定階方法[13]來確定目標(biāo)的個數(shù)。由式(11)可知，F(xiàn)(p,α)的最大值取決于p和α，需要對參數(shù)空間進(jìn)行2(L-1)+D維搜索才能得到確定。該問題可以采用一定的矩陣變換進(jìn)一步地降維，其具體思路如下：

(13)

式中，

(14)

式中，Λ(m)是以接收基站對應(yīng)的陣列響應(yīng)為對角元素的對角矩陣，IL是L×L維單位矩陣，1N是全1的N×1維向量，?是克羅尼克乘積。

上述過程可將發(fā)射源位置參數(shù)與衰減系數(shù)進(jìn)行解耦合并分離，以用于后續(xù)的降維處理，式(11)中的代價函數(shù)可重新表示為

(15)

從上式可以看出，F(xiàn)2(p,b)的最大值對應(yīng)于矩陣Z(p)的最大特征值，Z(p)定義如下：

(16)

F3(p)?λmax[Z(p)]

(17)

上式表示位置p處對應(yīng)的代價函數(shù)值為矩陣Z(p)的最大特征值。因此，由上式可知，對感興趣區(qū)域進(jìn)行二維網(wǎng)格搜索，計算并保存每個網(wǎng)格點代表的位置坐標(biāo)對應(yīng)的代價函數(shù)值，即可獲得代價函數(shù)平面。

2.2 應(yīng)用膨脹算法提取目標(biāo)

當(dāng)目標(biāo)發(fā)射波形未知時，應(yīng)用基于MUSIC的直接定位算法可得到代價函數(shù)平面，由于MUSIC算法具有較高的分辨率，能直觀地從該代價函數(shù)平面上看出目標(biāo)的大概個數(shù)及大致位置區(qū)域。但是，只有成功估計出目標(biāo)個數(shù)并確定目標(biāo)的位置，才能進(jìn)一步從誤差角度分析針對每個目標(biāo)算法的定位性能。

根據(jù)膨脹原理，當(dāng)參考點在局部極大值位置時，參考單元內(nèi)的所有值都相同且為最大值，此時局部極大值所在的區(qū)域亮度將增長。在得到進(jìn)行膨脹操作處理后的圖像(亦是一個矩陣，矩陣的元素即代價函數(shù)平面每個網(wǎng)格點處保存的代價函數(shù)值)后，將該圖像和原圖像進(jìn)行對比，兩者相匹配的多個像素點即為代價函數(shù)平面上目標(biāo)的位置。膨脹操作的輸入為代價函數(shù)平面，輸出設(shè)定為目標(biāo)位置的橫縱坐標(biāo)。由于膨脹算法應(yīng)用于實際場景中時是基于一定虛警概率的，所以同時可得到目標(biāo)數(shù)目以及位置的估計值。

總結(jié)應(yīng)用膨脹算法提取目標(biāo)的多目標(biāo)直接定位算法(IE-DPD-MT)流程圖如圖1所示。

圖1 算法流程圖

3 算法性能分析

3.1 仿真場景設(shè)置

假設(shè)陣列雷達(dá)系統(tǒng)中有3個接收基站，每個接收基站配備4個天線單元且陣列間距為半波長的ULA。發(fā)射信號為窄帶高斯隨機(jī)信號，定位結(jié)果基于10個頻點上的100個快拍。接收端衰減系數(shù)幅度設(shè)定為服從均值為1、方差為0.1的正態(tài)分布的隨機(jī)數(shù)，相位衰減分布服從[-π,π]均勻分布。目標(biāo)發(fā)射機(jī)以及接收基站位置分布情況如圖2所示，發(fā)射源的坐標(biāo)為(-3,-1;0,5;3,1.5)km，接收基站的位置為(-6,-6;-2,-6;2,-6;6, -6) km。信噪比取值為-15∶3∶15(dB)，對每一個信噪比取值點，所執(zhí)行的蒙特卡洛仿真迭代次數(shù)為200次。應(yīng)用膨脹算法所選參考單元大小為2個網(wǎng)格點，虛警概率為1×10-5。

圖2 定位場景圖

算法性能由目標(biāo)有效提取率Pr和目標(biāo)均方根誤差(Root Mean Square Error, RMSE)兩個指標(biāo)評價，定義如下：

(18)

(19)

式中，H為蒙特卡洛仿真次數(shù)，xj,yj為第j次實驗得到的目標(biāo)位置估計值，Gj為第j次實驗提取得到目標(biāo)位置落在真實目標(biāo)位置指定范圍內(nèi)的目標(biāo)個數(shù)。目標(biāo)有效提取率為在N次獨立的定位實驗中，有效提取得到的目標(biāo)總數(shù)與真實目標(biāo)總數(shù)的比值。有效提取率越高，定位準(zhǔn)確的目標(biāo)數(shù)越多，即定位算法越有效。

3.2 應(yīng)用膨脹算法提取目標(biāo)的定位算法有效性驗證實驗

圖3中顏色較深的紅色區(qū)域表示該區(qū)域的目標(biāo)代價函數(shù)值較大，其中顏色較深的3塊區(qū)域里的最大值分別對應(yīng)3個目標(biāo)的位置。對圖3(a)中的代價函數(shù)平面進(jìn)行膨脹處理，能得到圖3(b)所示高亮度區(qū)域增長的平面，再將基于門限處理后的平面與原始代價函數(shù)平面作對比，只有原始平面上局部極大值的位置在兩個平面上的值是相同的，提取出這些位置，即得到目標(biāo)個數(shù)及對應(yīng)位置的估計值，如圖3(c)所示。

圖3 基于膨脹算法的目標(biāo)提取過程分析圖

統(tǒng)計在每個信噪比值下每次蒙特卡洛實驗中得到的目標(biāo)個數(shù)及位置的估計值后，基于統(tǒng)計的概念，利用式(18)和式(19)可得單個信噪比值下目標(biāo)有效估計率與位置均方根誤差。

在圖2所示定位場景下，利用提出的IE-DPD-MT方法得到的目標(biāo)有效提取率Pr以及各目標(biāo)位置估計的RMSE隨信噪比變化關(guān)系分別如圖4和圖5所示。

圖4 目標(biāo)有效提取率Pr隨SNR變化曲線

圖5 目標(biāo)位置估計的RMSE隨SNR變化曲線

從圖4可以看出，在信噪比較高時，利用膨脹算法能有效地提取目標(biāo)并估計出目標(biāo)的個數(shù)，而在信噪比較低時，由于利用AIC確定模型階數(shù)時也給造成一定估計誤差，進(jìn)一步地，目標(biāo)提取也會不太準(zhǔn)確。當(dāng)目標(biāo)位置估計值得到后，根據(jù)式(19)可以得到如圖5所示的各目標(biāo)位置估計的RMSE隨信噪比的變化趨勢，從圖中可看出，隨著信噪比增大，目標(biāo)的RMSE呈下降趨勢，當(dāng)信噪比高于0 dB左右，定位誤差趨于穩(wěn)定。

3.3 臨近目標(biāo)提取有效性影響因素分析實驗

考慮到對于臨近目標(biāo)的定位問題，都會面臨在信噪比較低、天線陣元數(shù)目較少、干擾較強(qiáng)的情況下，所有目標(biāo)都成功提取的難度加大，研究此時膨脹算法的應(yīng)用的可行性及有效性具有很大的必要性及價值。下面將考慮目標(biāo)的個數(shù)、天線陣列陣元的數(shù)目，膨脹算法應(yīng)用時參考單元的大小對目標(biāo)有效提取的影響情況。

對比場景：考慮多個沿一條平行于橫坐標(biāo)的直線均勻相隔1 km放置的發(fā)射機(jī)目標(biāo)。中心目標(biāo)的位置坐標(biāo)為(0,-1) km，其他的參數(shù)同上文所述。

3.3.1 目標(biāo)數(shù)目對目標(biāo)有效提取性能的影響

考慮目標(biāo)數(shù)目對目標(biāo)有效提取率的影響，其他參數(shù)與前述相同。目標(biāo)個數(shù)分別為1,3,5,7時，目標(biāo)提取率隨信噪比變化曲線如圖6所示。

從圖6可以看出，在目標(biāo)數(shù)目不同時，目標(biāo)有效提取率都隨信噪比提高而增大。而目標(biāo)個數(shù)增多使得在信噪比較高時，Pr才能收斂到1，同時，當(dāng)目標(biāo)個數(shù)過多時，目標(biāo)提取率在信噪比很高時也無法收斂到1，即此時不是每次實驗都能準(zhǔn)確提取并定位所有目標(biāo)，原因是臨近目標(biāo)數(shù)目過多導(dǎo)致目標(biāo)之間干擾增強(qiáng)，目標(biāo)函數(shù)平面上目標(biāo)所屬區(qū)域相互影響，使得目標(biāo)提取時也出現(xiàn)阻礙。

圖6 目標(biāo)數(shù)目不同時目標(biāo)有效提取率隨SNR變化曲線

3.3.2 陣元個數(shù)對目標(biāo)有效提取性能的影響

考慮陣元數(shù)目對目標(biāo)有效提取率的影響，其他參數(shù)與前述相同。陣元個數(shù)分別為2,3,5,8, 12時，目標(biāo)提取率隨信噪比變化曲線如圖7所示。

圖7 陣元個數(shù)不同時目標(biāo)有效提取率隨SNR變化曲線

從圖7可以看出，在陣元數(shù)目不同時，目標(biāo)有效提取率都隨信噪比提高而增大。陣元數(shù)目越多，基于MUSIC的應(yīng)用，代價函數(shù)平面對應(yīng)的目標(biāo)所在位置的區(qū)域越集中，即此時利用提出算法提取目標(biāo)的優(yōu)勢越明顯，表現(xiàn)為目標(biāo)有效提取率就越大。

3.3.3 參考單元大小對目標(biāo)有效提取性能的影響

考慮參考單元大小對目標(biāo)有效提取率的影響，其他參數(shù)與前述相同。參考單元大小分別為1,2,7,10,15,18個網(wǎng)格點時，目標(biāo)提取率隨信噪比變化曲線如圖8所示。

從圖8可以看出，在應(yīng)用膨脹算法選取的參考單元大小不同時，目標(biāo)有效提取率都隨信噪比提高而增大，而參考單元在一定范圍內(nèi)增大時，對有效提取率的影響基本可忽略，此時單個目標(biāo)的中心未被其余目標(biāo)經(jīng)過膨脹后的中心區(qū)域覆蓋；而參考單元進(jìn)一步增大使得在信噪比較低時，出現(xiàn)了覆蓋的現(xiàn)象，當(dāng)增大到一定值時，一個或多個目標(biāo)的中心被其他目標(biāo)膨脹后的中心區(qū)域覆蓋，此時這些目標(biāo)無法成功提取而后得到目標(biāo)位置，導(dǎo)致在信噪比較高時目標(biāo)有效提取率無法收斂到1。

圖8 參考單元大小不同時目標(biāo)有效提取率隨SNR變化曲線

4 結(jié)束語

為解決有效定位多個發(fā)射未知信號的發(fā)射機(jī)目標(biāo)的定位問題，本文方法結(jié)合DPD技術(shù)與MUSIC算法，能實現(xiàn)同時準(zhǔn)確提取目標(biāo)并進(jìn)一步確定目標(biāo)位置。首先，基于MUSIC算法，可以獲得基于特征分析的關(guān)于目標(biāo)位置的代價函數(shù)；然后，利用圖像膨脹算法處理代價函數(shù)平面，得到目標(biāo)個數(shù)及位置的估計值；之后，根據(jù)膨脹處理的結(jié)果分析了定位精度受信噪比的影響情況；最后，進(jìn)一步分析了影響提取有效性的主要因素。仿真結(jié)果表明，提出算法可以有效地提取并確定多個發(fā)射機(jī)目標(biāo)的位置。