胡凱麗，李 巖

(陜西師范大學(xué) 計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，陜西 西安 710119)

0 引 言

隨著計(jì)算機(jī)科學(xué)的迅猛發(fā)展，計(jì)算機(jī)技術(shù)越來(lái)越多地服務(wù)于各行各業(yè)，如教育、醫(yī)療、交通等。在數(shù)學(xué)領(lǐng)域，也逐漸興起了與計(jì)算機(jī)相結(jié)合的學(xué)科，即計(jì)算機(jī)代數(shù)。20世紀(jì)60年代早期，誕生了最早的計(jì)算機(jī)代數(shù)系統(tǒng)，科學(xué)家用LISP語(yǔ)言編寫了第一個(gè)符號(hào)積分程序，隨后一些專業(yè)化計(jì)算機(jī)代數(shù)程序也開始問(wèn)世。計(jì)算機(jī)代數(shù)也被稱為符號(hào)代數(shù)計(jì)算(簡(jiǎn)稱符號(hào)計(jì)算)，是數(shù)學(xué)、計(jì)算機(jī)科學(xué)和人工智能等領(lǐng)域新興的交叉學(xué)科。

在不斷探索和解決各種復(fù)雜問(wèn)題的過(guò)程中，人們發(fā)現(xiàn)非線性這一現(xiàn)象普遍存在于自然界、人類社會(huì)等眾多領(lǐng)域。20世紀(jì)60年代以來(lái)，研究非線性現(xiàn)象獲得了巨大的進(jìn)展，其應(yīng)用也變得較為廣泛，由此發(fā)展形成了研究非線性現(xiàn)象的普遍規(guī)律學(xué)科，即非線性動(dòng)力學(xué)。隨著科學(xué)技術(shù)的不斷發(fā)展，非線性動(dòng)力學(xué)已經(jīng)廣泛地滲透到了各個(gè)領(lǐng)域，例如通信技術(shù)、計(jì)算機(jī)技術(shù)、材料科學(xué)、生命科學(xué)、動(dòng)力系統(tǒng)等。因此，非線性偏微分方程的求解問(wèn)題成為了研究的重點(diǎn)。近年來(lái)，人們提出了多種求解非線性偏微分方程的方法，例如齊次平衡法[1]、Tanh函數(shù)展開法[2-4]、Hirota雙線性展開法[5]、Jacobi橢圓函數(shù)展開法[6]、(G'/G)-展開法[7]等。文獻(xiàn)[8]提出了推廣的(G'/G)-展開法—(G'/G2)-展開法，實(shí)踐表明，(G'/G2)-展開法在求解非線性微分方程時(shí)具有簡(jiǎn)單、快捷等優(yōu)勢(shì)，已求解了部分方程[9-16]。因此，文中利用該方法研究Benjamin-Bona-Mahony[17-19]方程。

文中應(yīng)用符號(hào)計(jì)算系統(tǒng)Maple并借助PDEtools工具包，結(jié)合(G'/G2)-展開法求解BBM方程，當(dāng)精確解中的常數(shù)取特殊值時(shí)得到方程的孤波解，利用plots工具包繪制出孤波解的三維圖。

1 (G'/G2)-展開法

考慮如下形式的非線性偏微分方程：

P(u,ux,ut,uxx,uxt,utt,…)=0

(1)

其中，u=u(x,t)是未知函數(shù)，P是關(guān)于u及u的各階偏導(dǎo)數(shù)的多項(xiàng)式。利用(G'/G2)-展開法求解方程1的具體步驟如下：

第1步：對(duì)方程1作行波變換u=u(ξ),ξ=x-Vt,得到如下常微分方程。

Q(u,u',u'',u''',…)=0

(2)

第2步：假設(shè)方程2有如下形式的解。

(3)

其中,G=G(ξ)且滿足二階線性常微分方程。

(4)

其中，αi,a,b是待定常數(shù)；m可以通過(guò)齊次平衡法得到。

利用Maple求解方程4的具體過(guò)程如下所述：

(1)調(diào)用Maple的PDEtools工具包，輸入方程4；

(2)利用dsolve()方法直接求解方程4，得到G(ξ)的值；

具體代碼如下：

>restart：with(PDEtools)：

>eq1:=diff(diff(G(xi),xi)/G(xi)^2,xi)=a+b*(diff(G(xi),xi)/G(xi)^2)^2;

>eq2:=psi(xi)=diff(G(xi),xi)/G(xi)^2;

>eq3:=dsolve(eq1,G(xi));

>eq4:=dsubs(eq3,eq2);

由上述過(guò)程，方程4有以下三組解：

(1)當(dāng)ab>0時(shí)

(5)

(2)當(dāng)ab<0時(shí)

(6)

(3)當(dāng)a=0，b≠0時(shí)

(7)

其中，C1,C2為任意常數(shù)。

第3步：將式3代入方程2，借助方程4，可以得到關(guān)于(G'/G2)的多項(xiàng)式，令其各次冪的系數(shù)為零，可得到一組關(guān)于αi,a,b的代數(shù)方程組，通過(guò)求解方程組得到αi,a,b的值。

第4步：將第3步得到的結(jié)果代入方程3和方程4，即可得方程1的解。

2 (G'/G2)-展開法的應(yīng)用及實(shí)現(xiàn)

根據(jù)第1節(jié)中的算法步驟，借助Maple，現(xiàn)考慮如下形式的BBM方程。

ut+ux+uux-uxxt=0

(8)

將行波變換u(x,t)=u(ξ),ξ=x-Vt代入式8，然后對(duì)其兩邊積分，取積分常數(shù)為零，得到：

-Vu+u+(1/2)u2+Vu''=0

(9)

由齊次平衡法得N=2。因此，設(shè)方程8的解為：

(10)

利用式4和式10，分別求出u'',u2的值，將u'',u2的值代入式9，得到：

(11)

令(G'/G2)的各次冪系數(shù)分別為零，可以得到以下兩組參數(shù)：

(12)

(13)

Maple符號(hào)計(jì)算代碼如下：

>PDEeq:=diff(u(x,t),t)+diff(u(x,t),x)+u(x,t)*diff(u(x,t),x)-diff(u(x,t),x,x,t);

>ode1:=dsubs(u(x,t)=u(x-V*t),PDEeq);

>ode2:=subs(x-V*t=xi,ode1);

>ode2:=convet(ode2,diff);

>ode3:=int(ode2,xi);

>ode4:=dsubs(u(xi)=alpha[0]+alpha[1]*psi(xi)+alpha[2]*psi(xi)^2,ode3);

>ode5:=dsubs(diff(psi(xi),xi),ode4);

>ode6:=collect(ode5,psi);

>ltt:=[ ]：

for i from 1 to nops(ode6)

do p(i):=coeffs(coeffs(op(i,ode6)),psi(xi))；

ltt:=[p(i),op(ltt)]；

end do:

ltt;

>solve(ltt,{alpha[0],alpha[1],alpha[2],V});

則方程8的解為：

(14)

(15)

把方程4的解即(G'/G2)的值分別代入式14和式15,可得BBM方程的精確解。

第一種情況，將方程4的解代入式14：

(1)當(dāng)ab>0時(shí)，得到的三角函數(shù)通解為

(16)

(2)當(dāng)ab<0時(shí)，得到的雙曲函數(shù)通解為：

(17)

對(duì)于式17，考慮以下兩種特殊情況，可獲得如下形式的孤立波解：

(a)當(dāng)C1≠0,C2=0時(shí)，其孤立波解為:

(18)

若將式18中的常數(shù)分別取值為：a=0.5,b=0.9,V=1，利用Maple中的plots工具包可繪制出孤波解的三維圖，如圖1所示。

圖1 孤波解的三維圖(x=0…10,

(b)當(dāng)C1=0,C2≠0時(shí)，其孤立波解為：

(19)

(3)當(dāng)a=0,b≠0時(shí)，得到有理函數(shù)解為：

第二種情況，將方程4的解代入式15：

(1)當(dāng)ab>0時(shí)，得到三角函數(shù)通解為：

(21)

(2)當(dāng)ab<0時(shí)，得到的雙曲函數(shù)通解為：

(22)

對(duì)于式22，考慮以下兩種特殊情況，可獲得其如下形式的孤立波解。

(a)當(dāng)C1≠0,C2=0時(shí)，其孤立波解為:

(23)

若將式23的常數(shù)分別取值為：a=2,b=3.7,V=0.21，利用Maple中的plots工具包可繪制出孤波解的三維圖，如圖2所示。

圖2 孤波解的三維圖(x=-10…10,

(b)當(dāng)C1=0,C2≠0時(shí)，其孤立波解為：

(24)

(3)當(dāng)a=0,b≠0時(shí)，得到的有理函數(shù)解為:

(25)

3 結(jié)束語(yǔ)

采用(G'/G2)-展開法研究了BBM方程，在符號(hào)計(jì)算系統(tǒng)Maple的幫助下，得到了方程的三角函數(shù)、雙曲函數(shù)以及有理函數(shù)形式的精確解，且當(dāng)雙曲函數(shù)解中部分參數(shù)取特殊值時(shí)，得到了方程的孤立波解，從而豐富了BBM方程的精確解系。從求解過(guò)程及求得的精確解來(lái)看，該方法簡(jiǎn)單、高效，是求解非線性方程的較好選擇。